Appunti Fondamenti decisionali per l'economia

Metodo degli alberi decisionali

Aiuto per una scelta dal lavoro attuale

A inizio settembre, uno studente, decide di valutare un’offerta lavorativa per il mese seguente:

• 1^o offerta: 1.200 € al mese, valida fino a fine ottobre. Offerta certa.
• 2^o offerta: offerta possibile da discutere a metà novembre per l’agosto successivo.

È possibile rinviare la comunicazione dell’intenzione di lavoro, verso gennaio/febbraio ma ancora non si conoscono le offerte.

Non è ammesso accettare la prima offerta, in attesa dei dettagli della seconda per poi, eventualmente, licenziarsi.

Quale strategia suggerite allo studente?

1. 1^o passo: definizione del criterio decisionale e lo stipendio.
2. 2^o passo: costruzione dell’albero decisionale (è un modo sistematico per separare decisioni e fonti di incertezza).

• La prima decisione è accetto o meno la prima offerta?
• La seconda decisione è: Seconda se ave rifiutato la prima la seconda arriva?

La prima fonte di incertezza: arrivo o meno della seconda offerta

La seconda fonte d’incertezza: l’entità della offerta dell’agenzia

Le decisioni si rappresentano con un quadrato (nodo decisionale), mentre le fonti d’incertezza si rappresentano con un cerchio (nodo evento). L'albero decisionale è una rappresentazione cronologica di nodi decisionali e eventi.

I rami uscenti dal nodo-evento devono rappresentare eventi mutualmente esclusivi (non si possono verificare contemporaneamente) e collettivamente esaustivi (rappresentano tutti gli esiti possibili).

3^o passo: Identificazione degli esiti del nodo evento e delle loro probabilità(deve essere uguale a 1).

• L'azienda ha stimato che lo stipendio della offerta 3,£ era di:
• 1,200€ (0,5 probabilità), di 1,680€ (0,25 probabilità), di 2,000€ (0,4 probabilità),
• di 600€ (0,25 probabilità) e di 0€ (0,05 probabilità).

4^o passo: Valutazione dei rami finali.

6^o passo: Risoluzione del problema iniziale con "induzione all'indietro". Calcolo la media del criterio scelto nei nodi evento. Nei nodi decisionali opto per l'alternativa maggiore sulla base del criterio scelto. Riparto i passi dai rami finali fino al nodo iniziale A

Media in E: 0,0,5×1,660 + 0,25×1680 + 0,1×2200 + 0,25×600 =

Media in B: 0,6×6900 + 0,4×2255 = 3,692,8€

Trova C = 690€

Esercizio09 - 10 - 2003S, deve scegliere tra due alternative: se se sceglie la 10 si vincono tre euro. Se si sceglie la 2^o, si lancia una moneta non truccata e, se esce testa vincono 10,€, altrimenti non si vince nulla.

Media: 10,0⁵×70,6 = 56 (Cinemica media con 1 alternativa)Moltiplica tutte le vincite per 10⁵. Se si sceglie la 1^o vinco 3×10⁵ e, se si sceglie la 2^o vinco mediamente 6×10⁵, e la strategia resta la stessa: rifiuta 3×10⁵sicuri e punta sulla 2^o alternativa.

Le situazioni casuali sono eventi di cui non si può sapere, a priori, l'esito, ma esiste, comunque, un certo grado di prevedibilità, in quanto esiste un insieme “S” (spazio dei campioni) che contiene tutti i possibili esiti. Un sottoinsieme di “S” è chiamato evento.

Assioni di probabilità:

Primo: P(A) ≥ 0, ∀A ⊂ C

Secondo: la probabilità dell'insieme “S” (spazio dei campioni) è 1

P(S) = 1, S ⊂ C

Terzo: dati due eventi mutuamente esclusivi: la probabilità dell'evento unione è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi.

A₁ ∩ A₂ = ϕ, P(A₁ ∪ A₂) = P(A₁) + P(A₂)

Alcune conseguenze (corollari) dei teoremi:

• se B ⊆ A, P(B) = P(A) e P(A - B) = P(A) - P(B)
• detto A' = A, P(A') = 1 - P(A)
• purché S = S ∪ ϕ ⇒ P(ϕ) + P(S) = P(S)
• se A e B NON sono mutuamente esclusivi, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Se “S” è uno spazio dei campioni con “n” eventi semplici (mutuamente esclusivi e collettivamente esauritivi), non necessariamente equiprobabili:

P(S) = Σ P(A_i ∪ A_i ∪ ... ∪ A_n) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_n) = 1

[P(A_i) = ¹/_n]

Esercizio

Prendiamo un mazzo non truccato di 32 carte ed estraiamone una.

Calcolare la probabilità di:

• Asso P(A) = (n_A)/n. Ci sono solo 4 assi nel mazzo → 4/32 c.q.
• Fante di cuori P(F_c) = 4/32

Teorema di Bayes

Siano ₁, ₂, ..., A_n eventi mutuamente esclusivi con P(A_i)>0, i=1, ..., n. Sia A un evento che si può realizzare dopo A₁, ..., A_n. Gli eventi A_i, A_n sono le cause potenziali di A, che si chiama effetto.

Il teorema di Bayes consente di calcolare la probabilità dell'evento A_i, i=1, ..., n.

delle cause A_j quando si verifica l'effetto A:

P(A_j|A) = P(A_j∩A) / P(A) = P(A|A_j) P(A_j) / P(A)

dove P(A) si calcola con il teorema delle probabilità totali.

Esercizio 2.5

La vostra azienda sta sviluppando un nuovo prodotto, che avrà successo se la domanda è alta e i concorrenti reagiranno lentamente. La probabilità di domanda alta è 0,6 (domanda bassa 0,4), la probabilità di reazione veloce è 0,7 (reazione lenta 0,3).

Sappiamo inoltre che, la probabilità di reazione veloce in caso di domanda alta è 0,9. Calcoliamo la probabilità di successo del nuovo servizio.

• H: "domanda alta"
• L: "domanda bassa"
• A: "reazione veloce"
• R: "reazione lenta"
• S: "successo" = (H∩O) ∪ (H∩R) ∪ (L∩R)

P(S) = P[(H∩A) ∪ (H∩R) ∪ (L∩R)] = P(H∩A) + P(H∩R) + P(L∩R) = 0,6 ∙ 0,9 + 0,6 ∙ 0,3 + 0,4 ∙ 0,2 = 0,74

P(A|H) = 0,9 = P(A∩H) / P(H) => P(A∩H) = P(A|H) ∙ P(H) = 0,6 ∙ 0,9 = 0,54

P(H∩R) = 0,6 ∙ 0,3 = 0,18

P(L∩R) = 0,4 ∙ 0,2 = 0,08

Funzione di probabilità cumulativa. Si ha la funzione F(x) = P(X ≤ x) = Σ_{w ≤ x} f_w(w)

Lo funzione non F presenta tre proprietà:

• Non è decrescente (F(x) ≤ F(y), ∀ x ≤ y)
• lim _x→-∞ F(x) = 0 e lim _x→∞ F(x) = 1
• F(x) è continua a destra lim _h→0⁺ F(x + h) = F(x), ∀ x ∈ R

F(x) = Σ_{w ≤ x} f_w(w)

Esercizio

Qual è la funzione di probabilità non congiunta nel caso di lancio per due volte di una moneta non truccata, detta X = "n. di volte uscito testa in due lanci", abbiamo che:

^{x = 0}_{x = 2}

F(x) = 1/4_{f(x₁) + f(x₂), f(x₃) + f(x₄)}

Esercizio:

Supponiamo di gestire un bar che offre colazioni. Il costo fisso di esercizio è

80€ (costo personale, tasse, ecc.). Supponiamo che il costo di produzione di

una colazione sia 0,75€. Data la domanda di colazioni, qual è il numero medio

di colazioni da preparare e qual è il costo sostenuto complessivamente dal

nostro bar?

Per costo complessivo si intende la somma di costo fisso e costo di

produzione di tutte le colazioni. Si data la seguente distribuzione del

numero di colazioni, descritta dai valori di una variabile casuale X_r che

assume un generico valore x_i:

La media delle domande di colazioni è E(X) = Σ x_i F(X_i) = 60 * 0,05 = 64 * 0,15 + ...

Il costo complessivo del bar è variabile rispetto del pd Y = Σ X * B. Calcoliamo

la media di Y

Metodo di calcolo tutti i valori di correlati corrispondenti a q con la formula y = 0,75 x_i + 75,8

Riscarca P(Y) = Σ p(y_i) = Σ y_i (px_i) = 0,2 σp X_i + 125, Σ ... = 428,25€

Metodo (y) = 0,25 + E(Y), E(X_i) = q (x_ib), medie(pi) + (im)1 img="sigma.png" (f(x), quint+2 df(f x) _{q 0.2 ∀ Σ}, F(c) ∈ Σ ...+125, (pY)(0.75)

[ul nostro caso, E(Xr) = 0,95 y₄,75 + 125, = 428.75€