Appunti + Esempi + esercizi teoria dei sistemi

Rappresentazione esplicita dei sistemi a tempo discreto

Xt−t t−1−τy(t) = CA x(t ) + CA Bu(τ ) + Du(t)0 0 τ =t0

Definizione (Sommatoria di convoluzione): La sommatoria nell’espressione di x(t) e quella nell’espressione di y(t) vengono dette sommatorie di convoluzione.

Definizione:

• tΦ(t) = A : matrice di transizione di stato
• t−1H(t) = Φ(t−1)B = A B: matrice delle risposte impulsive nello stato
• tΨ(t) = CΦ(t) = CA : matrice di trasformazione delle uscite
• ( t−1−CΦ(t 1)B = CH(t) = CA B, se t > 0
• W (t) = D, se t = 0: matrice delle risposte impulsive in uscita

Definizione (Rappresentazione esplicita): La rappresentazione esplicita di un sistema a tempo discreto è data da:

Xt−t t−1−τy(t) = Φ(t t )x(t ) + H(t τ )u(τ ) (2.39)0 0 τ =t0

Xt−t t−1−τy(t) = Ψ(t t )x(t ) + W (t τ )u(τ ) (2.40)0 0 τ =t0

Definizione (Evoluzione libera ed evoluzione forzata):

t−t −x(t ) = Φ(t t )x(t ): dipende dallo stato iniziale e viene detta evoluzione libera nello stato x (t)

L• t−1t−1 t−1−τ PP −H(t τ )u(τ ): dipende dall’ingresso e

A Bu(τ ) = τ =tτ =t 00viene detta evoluzione forzata nello stato x (t)

F• t−t −CA x(t ) = Ψ(t t )x(t ): dipende dallo stato iniziale e viene detta

0 0 0 0evoluzione libera in uscita y (t)

L• t−1 tt−1−τP P −CA Bu(τ ) + Du(t) = W (t τ )u(τ ): dipende

τ =t τ =t0 0dall’ingresso e viene detta evoluzione forzata in uscita y (t)

F• Dimostrazione per x:

Sappiamo che: t−1X− −x(t) = Φ(t t )x(t ) + H(t τ )u(τ )0 0 τ =t0

Scriviamo al posto di:⇒– t t0⇒– t t +1

Allora: tX −x(t + 1) = Φ(1)x(t) + H(t + 1 τ )u(τ ) = Φ(1)x(t) + H(1)u(t)τ =t

Calcoliamo: 1Φ(1) = A = A1−1H(1) = A B = B

Allora:

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t)

CAPITOLO 2. ANALISI DEI SISTEMI LINEARI STAZIONARI IN T

Dimostrazione per y:

Sappiamo che:

tẊ - y(t) = Ψ(t, t0)x(t0) + ∫W(t, τ)u(τ)dτ

Similmente al caso di x calcoliamo:

C = Ψ(0)

D = W(0)

Quindi: y(t) = Cx(t) + Du(t)

Osservazione:

Possiamo fare analoghe considerazioni sul grafico di H di quelle fatte nel caso continuo (cioè fatte per W e poi estese ad H). La H(t, τ) si comporta come un peso per la u(t) e si ha quindi una media pesata (il grafico non sarà più continuo ma dato da una sequenza di punti).

La matrice di transizione:

Vogliamo ricavare l'espressione di A:

A diagonale:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢λ ... 0 λ ... 0⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ = A = ⎢ ⎥

⎣0 ... λ 0 ... λ⎦ ⎣ ⎦

A digonalizzabile con autovalori reali distinti:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢λ ... 0 λ ... 0⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ = Λ = ⎢ ⎥

⎣0 ... λ 0 ... λ⎦ ⎣ ⎦

(n×n) (n×n)
ζ 0 ... λ 0 ... λn
nX−1 0
A = U Λ U-1 = λ ui vi
i i
nX−1 0
t t
A = U Λ U-1 = λ ui vi
i i
12.5. SISTEMI A TEMPO DISCRETO 69
• A digonalizzabile con autovalori reali non tutti distinti:
Λ ... 0 Λ ... 0
1 1
... ... ...
... .... .
t. .⇒Λ = Λ =
(n×n) (n×n)
r0 ... Λ 0 ... Λr
Λ Λ
ti ... 0 λ ... 0 λi
... ... ...
... .... .
ti(µ̂. .⇒Λ = Λ =
Λ ... 0 Λ ... 0
µ µ µ µ
ri λ i
µ µ µ µ
ti 0 ... λ 0 ... λi
µ µ
rn λ i
ri µ µ
X X X X X
−1 0 0 0
t t t t t
ti ti ti ti
A = U Λ U-1 = u v = λ u v = λ
λ i i i
i i i
j=1 i=1
i=1 i=1 j=1
µ µ
n r ri
ri µ µ
X X X X X
−1 0 0 0
t t t t t
ti ti ti ti
A = U Λ U-1 = u v = λ u v = λ
λ i i i
i=1 j=1
i=1 j=1

diagonalizzabile con autovalori complessi:

  

    
λ
    
0
    
0
    
0
    
0
  
  

    
0
    
ρ cos θ
    
ρ sin θ
    
0
    
0
  
  

    
0
    
0
    
Λ
    
Λ
    
Λ
  
  

    
Λ
    
Λ
    
Λ
    
Λ
    
Λ
  
  

    
(n×n)
    
(2×2)
    
−ρ sin θ
    
ρ cos θ
    
0
  


λ ... 0 ... 0
0 ... λ ... 0
0 ... 0 ... λnt
λ ... 0 ... 0
0 ... Λ ... 0
0 ... 0 ... Λ
(n×n) (2×2) −ρ sin θ ρ cos θ
0 ... 0 ... λ
λ ... 0 ... 0
0 ... λ ... 0
0 ... 0 ... λnt
λ ... 0 ... 0
0 ... Λ ... 0
0 ... 0 ... Λ
(n×n) (2×2) −ρ sin θt ρ cos θt
0 ... 0 ... λ
tn
0 ... 0 ... λ
u ... u u ... u
U = 1 a b n
−1t t ti t −u
A = U Λ U = λ u v + ρ (cos θ t(u v +u v )+sin θ t(u v v ))
i j ja jb j ja jb j
a b n −1
−1 u ... u u ... u
U = 1 a b n

θtOsservazione:Nel caso continuo ω poteva assumere qualsiasi valore reale (da 0 a +∞) poichè era la parte immaginaria. Nel caso discreto θ è la fase e quindipuò assumere solo valori tra [0, 2π].

• A non diagonalizzabile:

   t ... 0 0 ... 0
  J 1.. . . .. . .. ..  .. ...  t  0 ... J 0 ... 0
  r tJ = ˜  t(n×n) ... 00 ... 0 J
   1.. . . .  .... .. ...  . ...  ˜t0 ... 0 0 ... Jc

• Per ogni λ con µ = µ̂ :

  i i i  
  tiλ ... 0... ....t .J =  .×µi(µ )i i  
  ti0 ... λ±2

• Per ogni α jω con γ = γ̂ :

  k k k k 
  tk tkρ cos θ t ρ sin θ tk k ... 0
  t t−ρ sin θ t ρ cos θ t 
  k kk k .. ....˜tJ =  .. .×2γk(2γ )  
  k k  t t ρ cos θ t ρ sin θ tk kk k 
  0 ... tk tk−ρ sin

θ t ρ cos θ tk k2.5. SISTEMI A TEMPO DISCRETO 713. Per ogni λ con µ̂ < µ :i i i t i ) 0(B1 ...tJ =  i ×µ(µ )i i  ti0 (B )µˆit(t−1)(t−2)t(t−1)  t−2 t−3t−1ti λ λ ...λ tλ i ii 2! 3!t(t−1) t−2t−1ti λ0 λ tλ ...  i i2!  t−1tii t tλ ...0 0 λ(B ) =  ij  . .. .. ....  . . . ...  ti0 0 0 0 λ±4. Per ogni α jω con γ̂ < γ :k k k k α ω ρ cos θ ρ sin θk k k k k kΛ = =k −ω −ρα sin θ ρ cos θk k k k k kt k(B̃ ) 01t ..˜ =J . k ×2γ(2γ )k k  tk0 (B̃ )γˆkt(t−1) t(t−1)(t−2) t−1 t−2 t−3tkΛ tΛ Λ Λ ...k k k2!