Appunti esame Psicometria

VERIFICA DELLE IPOTESI SULLE RELAZIONI TRA VARIABILI

Coefficiente di correlazione lineare r di Pearson

La serve a mettere in evidenza la relazione esistente tra due variabili: stabilire il tipo di relazione,

correlazione

stabilire il grado (forza o intensità) di tale relazione e stabilire la direzione di tale relazione. Ad esempio età e

peso, tempo di esecuzione di un compito e numero di errori, stress e sintomi psicosomatici.

Es. 6 soggetti cui chiediamo la loro intenzione di esercitarsi all’uso del computer durante la settimana

successiva; inoltre chiediamo loro se pensano sia difficile esercitarsi al computer.

Vogliamo verificare se esiste una relazione fra intenzione e percezioni di controllo e osserviamo una certa

distribuzione di punteggi. 47

Diagramma di dispersione:

Coordinate I=x C=y Punto = coppia di valori

x = intenzione y = controllo y= f(x)

La nube dei punti si sviluppa secondo una retta, la relazione è lineare.

1. Calcolare il punto le cui coordinate sono le medie.

Covarianza: misura del grado di associazione di due variabili.

Covxy = E (x-Mx)(y-My) / n

Può assumere valori positivi e negativi, quando è 0 x e y sono indipendenti, aumenta al crescere del

grado di dipendenza tra x e y.

Limite: misura relativa, dipende dall’unità di misura delle variabili.

2. Misurare dispersione della nube di punti, ossia la deviazione standard di x e y. Il coefficiente r è una

sorta di covarianza standardizzata: r = Ezxizyi / n, media dei prodotti dei punteggi xi e yi standardizzati.

Il costituisce un indice della bontà di adattamento della retta, ottenuta con il metodo

coefficiente r di Pearson

dei minimi quadrati (minimizza la somma delle distanze tra i punti e la retta), ai dati campionari. Misura la

forza della relazione (valore), la direzione della relazione (segno), è sempre compreso tra -1 e 1 inclusi, può

essere usato solo con variabili misurate almeno su scala a intervalli.

Può essere calcolato anche attraverso queste 3 formule, equivalenti alla precedente: vedere 6 schemi.

r = covarianza standardizzata, rapporto tra la covarianza (Sxy oppure Covxy) e le deviazioni standard (Sx e Sy)

di x e y, quindi è indipendente dall’unità di misura di x e y.

Interpretazione di r:

se r = +-1 relazione lineare perfetta

se r = 0 assenza di relazione lineare

se r < |.20| relazione molto debole

se |.20| < r < |.40| relazione moderata

se |.40| < r < |.60 relazione abbastanza forte

se r > |.60| relazione forte (+ esempi)

Es. calcolo: abbiamo 6 soggetti cui chiediamo la loro intenzione di esercitarsi all’uso del computer durante la

settimana successiva; inoltre chiediamo loro se pensano sia difficile esercitarsi al computer. Vogliamo

verificare se esiste una relazione fra intenzione e percezioni di controllo. Per usare la formula bisogna

moltiplicare x per y ed elevare x e y al quadrato, poi facciamo una somma.

Trasformazione in unità standard: si perdono le unità di misura originali di ogni variabile. r: numero

indipendente dall’unità di misura. Cambiamento ordine delle variabili non determina cambiamento del

coefficiente di correlazione (r: media dei prodotti delle variabili standardizzate): la correlazione non ci dice

nulla sulla direzione dell’effetto (quale variabile influenza l’altra). Influenza reciproca: al variare di una varia

anche l’altra.

Verifica delle ipotesi su r di Pearson: come posso valutare se la relazione sintetizzata tramite il coefficiente di

correlazione è significativa, cioè probabilisticamente diversa da zero?

Verifica dell’ipotesi su P (rho), parametro nella popolazione corrispondente alla statistica r.

L’ipotesi viene verificata trasformando la r in una t. Sono anche disponibili dei valori critici del coefficiente r

(per piccoli campioni), ma solo per ipotesi monodirezionali. Quindi usare t è una scelta spesso più comoda e

generale.

Una popolazione da cui estraiamo un campione e vi misuriamo due variabili metriche (covarianza): uso la

normale bivariata (spazio cartesiano a tre assi, tridimensionale) e quindi la distribuzione t. 48

1. Scelta del test statistico: si calcola r e si trasforma in t

2. Definizione dell’ipotesi

3. Fissare il livello di significatività alfa e calcolare i gradi di libertà: si delinea la regione di rifiuto in base

a alfa (= .05; .01; .001; ecc.), gdl=n- 2, H1 (mono/bi-direzionale) trovando un tcritico sulla tavola

4. Associare una probabilità ad H0 calcolando e trasformando r in t

t = r x radice n-2 / 1-r^2

5. Decisione: il confronto avviene tra t e tcritico, |t| < |tcritico| = p > alfa, si accetta H0, al contrario si

accetta H1 (+ esempio).

Indagare la relazione esistente tra due variabili significa:

- stabilire l’esistenza di una relazione:la verifica dell’ipotesi sul valore del coefficiente di correlazione

ottenuto attesta la presenza o meno di una relazione lineare significativa;

- stabilire il grado (intensità o strettezza) di tale relazione: il valore del coefficiente di correlazione indica

la forza della relazione lineare (ad esempio: valori di r attorno a .70 indicano una relazione molto forte,

attorno a .20 debole);

- stabilire la direzione della relazione: il segno del coefficiente di correlazione indica la direzione della

relazione lineare (ad esempio, se r è positivo indica che al crescere di x cresce y)

Per interpretare la correlazione dobbiamo chiederci: la relazione è (significativamente) diversa da zero? Qual

è il verso della relazione? Quanto è forte la relazione? In base alle risposte a queste domande interpretiamo il

risultato.

Coefficienti di correlazione non parametrici

Spesso capita di non avere a disposizione delle misure di tipo metrico per le due variabili, x e y, che si pensa

possano essere associate. Se si hanno scale dicotomiche o ordinali, vi sono una varietà di coefficienti

concettualmente simili alla r di Pearson.

Se si dispone di frequenze, un coefficiente calcolato su una tabella di contingenza consente di indagare ipotesi

di associazione. Immaginiamo di aver osservato i comportamenti aggressivi e quelli oppositivi di 14 adolescenti

durante le loro interazioni con i genitori. Preferiamo misurare le due variabili come due graduatorie (dal meno

aggressivo al più aggressivo; dal meno oppositivo al più oppositivo). Non possiamo utilizzare r di Pearson (la

graduatoria indica il livello di misura ordinale; non abbiamo misure metriche).

I coefficienti non parametrici devono essere utilizzati anche quando una sola delle due variabili in relazione

non raggiunge il livello metrico di misurazione.

ranghi: rs di Spearman

Coefficiente di correlazione tra

Va calcolato quando i dati sono costituiti da ranghi (graduatorie) oppure quando una delle variabili è ordinale,

e l’altra metrica (previa trasformazione in rango).

Si basa sulle differenze d tra i ranghi attribuiti a ciascuna coppia di valori e può essere calcolato tramite la

formula:

rs = 1 - 6Ed2i / N(N^2 - 1)

di = differenza tra i ranghi di ciascuna coppia di punteggi

n = numero dei soggetti (o coppie di punteggi)

Quando i ranghi delle due graduatorie coincidono tutte le d = 0 quindi: 6Ed2 = 0, rs = 1-0 = 1 (correlazione

positiva perfetta), oppure quando le posizioni in graduatoria sono esattamente opposte il coefficiente sarà rs

= -1 (correlazione negativa perfetta). 49

Es. comportamenti aggressivi (x) e oppositivi (y) di 14 adolescenti.

Ciascun soggetto è stato classificato sulla base di due variabili ordinali (graduatorie). Il coefficiente risulta: 0.29

Verifica delle ipotesi: come posso valutare se la relazione sintetizzata tramite il coefficiente di correlazione rs

è significativa, cioè probabilisticamente diversa da zero?

Con la Verifica dell’ipotesi su Ps (rhos), parametro nella popolazione corrispondente alla statistica rs, dunque

si procede in modo analogo a r di Pearson. Vanno però distinti due casi: se n ≤ 30, i valori rs critici sono tabulati

per due livelli di alfa (.05 e .01) e ipotesi monodirezionale in funzione del numero dei soggetti (non gdl);

se n > 30, così come per il coefficiente r di Pearson, esiste una relazione tra rs e t di Student.

Una popolazione, un campione, due variabili ordinali:

1. Scelta del test statistico: si calcola rs

2. Definizione dell’ipotesi: confronto con la popolazione di riferimento H0: Ps =0 H1: Ps diverso 0

(bidirezionale solo se n > 30)

Ps > o < 0 (monodirezionale se n < 30)

3. Fissare il livello di significatività alfa: si delinea la regione di rifiuto in base a alfa (= .05; .01; .001; ecc.),

n (per n<30) oppure gdl=n-2 (per n>30), H1 (monodirezionale per n < 30), H1 mono-/bi-direzionale

per n > 30), trovando un rs critico (per n < 30) oppure tcritico (per n > 30) sulla tavola.

4. Associare una probabilità ad H0: quando n < 30, si associa una probabilità ad H0 calcolando rs e

confrontandola con rs critico.

Quando n > 30, si associa una probabilità ad H0 calcolando rs , trasformandolo in t e confrontandolo

con tcritico

5. Decisione: il confronto avviene tra rs e rs critico per n < 30 oppure tra t e tcritico per n > 30.

rs < rs critico oppure t<tcritico, = p > alfa

Si accetta H0, l’ipotesi di un’assenza di relazione (Ps =0) è probabilmente vera, la relazione tra le due

variabili non è significativa. Al contrario si rifiuta H0, si accetta H1, l’ipotesi di un’assenza di relazione

(Ps =0) è probabilmente falsa e la relazione tra le due variabili è significativa (+ esempio).

Quando una o entrambe le variabili non costituiscono già una graduatoria, dobbiamo trasformale in ranghi,

es. misuriamo su sei pazienti l’autostima (0 “bassa”; 6 “alta”) e l’insonnia (numero di notti in una settimana in

cui si ha difficoltà ad addormentarsi).

Sono associate? (alfa = .05)

Le due variabili non costituiscono in questa forma delle graduatorie. Se tuttavia consideriamo ordinali le due

misure (o anche almeno una) debbo trasformarle in ranghi prima di calcolare la loro associazione.

- Trasformazione in ranghi: ordino i soggetti in modo crescente e assegno i ranghi; se due punteggi sono

uguali, assegno rango medio. Unisco le due graduatorie in un’unica tabella, stando attento a

mantenere sulla stessa riga i punteggi e i ranghi del medesimo soggetto, e calcolo dunque rs.

Per testare l’ipotesi nulla possiamo:

- usare un’approssimazione alla t (per grandi campioni)

- usare una tavola con valori «esatti» di rs (per piccoli campioni)

La tavola però prevede valori critici solo per ipotesi monodirezionali e dunque è consigliabile usare la

trasformazione in t (gdl = n – 2): confronto t con tcritico e accetto l’ipotesi in questione.

dicotomiche: rphi

Coefficiente di correlazione tra variabili

Va calcolato quando i d