Psicometria - appunti

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DEL RETTANGOLO CHE CORRISPONDE ALL'ORDINATA, CON LA FORMULA: Ordinata = frequenza : ampiezza Il valore da rappresentare sull'ordinata non corrisponde alla frequenza della classe, ma al valore che si ottiene dividendo ciascuna frequenza per l'ampiezza dell'intervallo. Solo quando l'ampiezza dell'intervallo non varia da classe a classe è consentito rappresentare in ordinata direttamente le frequenze poiché esse sono proporzionali all'altezza dell'istogramma. Quando le classi hanno diversa ampiezza, avremo una serie di rettangoli aventi basi diverse uguali all'ampiezza delle classi e altezze da calcolarsi, in modo che le frequenze siano proporzionali alle aree dei rispettivi rettangoli.

Diagrammi cartesiani a segmenti Sono impiegati per rappresentare graficamente caratteri quantitativi discreti, non divisi in classi, e possono configurarsi a segmenti verticali. Es numero dei componenti per famiglia, numero delle stanze delle

abitazioni, numero di unità locali delle aziende e così via. Essi si costruiscono come gli usuali diagrammi cartesiani aventi due assi perpendicolari: l'asse delle ascisse (x) e l'asse delle ordinate (y), aventi origine comune in zero. Ogni coppia ordinata di valori (xi, yi) determinerà un punto nel piano e l'insieme di tutte le coppie (xi = modalità quantitativa i-esima, yi = frequenza della modalità i-esima) determinerà l'insieme dei punti nel piano che costituiscono la rappresentazione grafica della distribuzione considerata. Per rendere maggiormente visibili tali punti, si tracciano dei segmenti verticali congiungenti l'ascissa (xi) con il punto del piano corrispondente all'ordinata (yi).

È da notare che in questo caso è scorretto costruire il poligono o spezzata di frequenza congiungendo tra loro i punti poiché il carattere considerato è discreto e quindi, per sua natura, non possiede

i valori intermedi a quelli indicati dalle modalità quantitative. Una spezzata di frequenza che unisse tra loro le modalità, infatti, attribuirebbe anche valori intermedi alle modalità stesse. POLIGONO E CURVE DI FREQUENZA PER VARIABILI CONTINUE I diagrammi cartesiani ortogonali sono impiegati anche per rappresentare graficamente i caratteri quantitativi continui (come ad esempio età, prezzi) o, nel caso delle serie storiche, per quei caratteri che si suppone si modifichino con continuità nel tempo. La costruzione di tali diagrammi è del tutto analoga a quella vista fino ad ora salvo che, in questo caso, una volta ottenuti nel piano cartesiano i punti (xi, yi) rappresentanti la distribuzione considerata, essi vanno uniti mediante una spezzata detta poligono di frequenza. All'aumentare del numero di unità rilevate il poligono di frequenza si approssima sempre più a una linea continua, detta curva di frequenza, la qualetalvolta è esprimibile anche mediante l'ausilio di funzioni matematiche. Problemi di scala Questi grafici rappresentano la stessa distribuzione ma l'andamento della serie viene percepito in maniera diversa. ● Il grafico a sinistra mostra un trend stabile per circa 10 anni, seguito da una moderata crescita. ● Riducendo la scala sull'asse delle ordinate (grafico a destra), risultano più evidenti le variazioni intervenute nei primi dieci anni e sembra più marcata la crescita dell'ultimo periodo. Rappresentazioni di tipo informatico Ne possiamo distinguere 4 tipologie principali: A ramo e foglia (STEM AND LEAF) => organizza dati e rami in modo tale che i valori di ogni gruppo (ossia le foglie) si estendano alla destra di ogni riga. Il vantaggio principale di questo tipo di rappresentazione grafica risiede nella possibilità di visualizzare la distribuzione dei dati e la loro concentrazione. es. Si considerino i dati relativi ai voti dimaturità di 10 ragazzi: 65 74 79 83 83 86 88 92 97 99

• Il primo passaggio è quello di dividere le decine dalle unità
• Il secondo passaggio è quello di raggruppare i ramiposizionando le relative foglie una accanto all’altra

N.B. Nella rappresentazione a ramo e foglia si considerano le due cifre iniziali del quoziente di intelligenza come rami e la terza cifra come foglia

Questa tipologia di rappresentazione grafica pone immediatamente in evidenza sia quali sono i dati aventi come prima cifra 6, 7, 8, 9 sia il loro numero.

In tal modo è possibile visualizzare più modalità quantitative che differiscono tra diloro, ad esempio, sulle unità.

Da questa tabella potremmo dunque evincere che un solo ragazzo ha un voto di maturità pari a 65, tre superiori a 90.

A scatola (BOXPLOT), la quale consente di disporre delle principali caratteristiche di una distribuzione semplice.

es.Figura dunque un rettangolo in

cui:​ a)​ I lati inferiore e superiore indicano rispettivamente il 1° quartile (Q1 ) e il 3°quartile (Q3 ) della distribuzione considerata​ b)​ La linea tratteggiata all’interno del rettangolo indica la posizione della mediana(Q2=2° quartile)​ c)​ Il simbolo ‘‘+’’ rappresenta la media aritmetica​ d)​ La linea verticale tratteggiata (whiskers) indica l’estensione della distribuzioneprima di Q1 e dopo Q3 .Le facce di Chernoff,​ ovvero una rappresentazione grafica particolare,➔ introdotta nel 1973 ed eseguibile soltanto tramite computer e softwareapposito, in cui si utilizzano i tratti di un volto (occhi, naso, bocca) perrappresentare le diverse componenti di un’informazione.Tali rappresentazioni sono adatte sia per distribuzioni statistiche semplici chemultiple.Un limite di queste rappresentazioni, originali ed efficaci, è rappresentato dalfatto che non sempre è immediatamente chiaro quali elementi

Dei grafici rappresentano i dati. La forma e l'espressione del viso, infatti, possono risultare dalla combinazione dei valori corrispondenti a più variabili e l'informazione che se ne ricava sarà più di tipo qualitativo (somiglianze, dissomiglianze) che quantitativo.

Ideogrammi o pittogrammi, cioè rappresentazioni grafiche aventi carattere molto divulgativo perché si avvalgono di figure, simboli, generalmente tutti simili tra loro, aventi un immediata attinenza con il carattere considerato (figure umane, oggetti ecc.) e di grandezza o numero variabile per indicare l'entità della frequenza o dell'intensità del carattere rappresentato. Qualsiasi carattere statistico (qualitativo o quantitativo) può essere rappresentato con questa tipologia di grafici. Tuttavia, tali rappresentazioni possono prestarsi ad equivoci perché non sempre è agevole leggerli ed essi hanno una scarsa utilità.

Rappresentazioni grafiche di caratteri qualitativi:

1. Grafici a barre
2. Diagrammi circolari
3. Diagrammi in coordinate polari
4. Cartogrammi, mappe tematiche

Grafici a barre:

Se la rappresentazione grafica riguarda una serie sconnessa, l'ordine in cui saranno poste le modalità è arbitrario; se si tratta invece di una serie rettilinea (es. titolo di studio), le modalità saranno poste nell'ordine naturale che esse presentano nella serie.

Diagrammi circolari:

I diagrammi circolari (o aereogrammi) per la loro forma circolare, sono comunemente noti come "diagrammi a torta". Sono particolarmente adatti alle serie sconnesse o rettilinee. Sono efficaci per mettere in evidenza l'importanza relativa delle singole modalità rispetto al totale. Ne esistono di vari tipi e principalmente:

• A spicchi o a settori variabili, con angoli al centro corrispondenti alle frequenze assolute (o relative) delle singole modalità.

modalità e raggio fisso;

A spicchi o a settori fissi, con angoli al centro uguali e raggio variabile★ corrispondente alle frequenze assolute (o relative) delle singole modalità.

DX: In questa rappresentazione grafica sia il punto di partenza sulla superficie circolare sia l'ordine della modalità (spicchi) è arbitrario.

SX: Rappresentazione grafica particolarmente idonea nel caso di caratteri qualitativi ordinati (es. graduatorie), in cui l'ordinamento è stabilito a priori in funzione delle frequenze assolute.

● Diagrammi in coordinate polari

Quando le variabili che intendiamo porre sono ad esempio inerenti al tempo, dunque ore, mesi, giorni, anni, parliamo di serie temporali o di serie storiche.

Le strategie di rappresentazione grafica delle serie temporali coincidono con quelle viste finora. Questi diagrammi si utilizzano dunque per rappresentare le serie cicliche, ovvero distribuzioni di mutabili che dispongono di un

ordinamento naturale ma non di una prima e un'ultima modalità.​ es. I nati, i matrimoni, le vendite di determinati prodotti, fenomeni astronomici o atmosferici e così via secondo i mesi dell'anno, i giorni della settimana ecc.​ Se il carattere ciclico può considerarsi continuo​, ossia soggetto a subire variazioni continue nel tempo, si possono congiungere gli estremi dei raggi vettori al fine di dare maggiore rilievo all'andamento del fenomeno.

Cartogrammi, mappe tematiche ​I cartogrammi sono grafici utili per rappresentare serie territoriali​. Per costruire un cartogramma occorre disporre di una carta geografica o topografica in cui siano chiaramente delimitate le diverse zone, regioni, circoscrizioni (geografiche, politiche, amministrative) rispetto alle quali viene analizzata l'intensità o la frequenza di uno o più caratteri (es. nati, morti, reddito pro capite, secondo le Regioni, Province, Comuni). Le mappe tematiche consentono,

anche se molto empiricamente e in prima approssimazione, di tener conto dell'autocorrelazione spaziale, intesa come possibilità che un fenomeno che interessa un certo territorio sia influenzato nelle sue manifestazioni dalla contiguità spaziale esistente tra i luoghi in cui il fenomeno è osservato. Quando ad essere rappresentate sono le frequenze, proporzioni, percentuali cumulate si possono costruire Poligoni o Ogiva. OGIVA L'ogiva o Grafico delle Frequenze cumulate è una curva in cui vengono utilizzati i valori centrali dei poligoni di frequenza cumulata. POLIGONO DI FREQUENZA Il poligono di frequenza (o "spezzata di frequenze") è simile all'istogramma ma sono utilizzati i valori centrali uniti da una linea. Curva di frequenza Quando l'ampiezza di ciascuna classe...