Appunti esame: Fisica II (2)

Fisica II

Elettrostatica nel vuoto

Forza di elettricità: capacità che hanno certe bacchette resinose di attirare pezzetti di materiale leggero (elettro, da ambra, materiale usato per sperimentare questo sistema). Scoperto da Gilbert.

Ci può essere o una forza di attrazione o una forza di repulsione (distanza che aumenta e i corpi sono liberi).

È una forza che dipende sia dagli oggetti sia dalla distanza, che agisce sulla retta d'azione che congiunge i due punti.

Agisce tra entità fisiche che devono poter essere sia negative che positive (le cariche elettriche).

• Particelle fondamentali stabili in natura:
  • elettrone
  • protone
  • neutrone
• dotati di massa, così piccola però che la forza di gravità si può trascurare

Quantità di carica elettrica:

Misurata in coulomb (C)

Elettrone:

e = -1,602·10^-19 C (carica negativa)

m = 0,911·10^-30 kg

Particella indivisibile, non ha una struttura interna

Protone:

particella formato da 3 particelle fondamentali: quarks

te = +1,602·10^-19 C (carica positiva)

non esistono in natura cariche inferiori a questa

mp = 1,67·10^-30 kg

Neutrone:

formato da 3 quarks ed ha carica nulla

mn ≈ mp

Il modello planetario di Bohr è stato superato a favore della concezione dell'elettrone come onda che occupa degli orbitali

Elettroni e protoni sono dei FERMIONI, cioè che obbediscono al principio di esclusione di Pauli

I protoni non si respingono perché a distanze così piccole agisce una forza ancora più forte, cioè la forza nucleare forte

Interazioni fondamentali:

• gravitazionale
• elettromagnetica
• nucleare forte: responsabile dell'attrazione tra neutroni e protoni nel nucleo
• nucleare debole: descrive i fenomeni legati alla radioattività

FORZA DI COULOMB (O ELETTROSTATICA) tra cariche elettriche puntiformi e ferme nello spazio

F = k ^{q₁ q₂}/ _r²

Bilancia di torsione:

• forza di torsione del filo, si comporta come una molla circolare (k)
• carica elettrica

All'equilibrio F_torsione = F_elettrica

Una possibilità è quella di misurare q direttamente da F_e e da r E = ^q/_r² e definisce []_E, [F_r] come unità elettrostatiche (non usata)

Si decide di assegnare una misura di grandezza fisica alla carica elettrica con unità di misura Coulomb

k = 9 · 10⁹ N m²/C²

PERMEABILITÀ DIELETTRICA DEL VUOTO (₀) tale che k = ¹/₄₀

₀ = 8,854 · 10^-12 C²/N m²

Lavoro della forza F

w = F · Δs

• Se F costante lungo Δs

F · Δs = F · Δs cosθ ➝

proiezione di Δs sulla direzione di F

Δs F_cosθ ➝

proiezione di F sulla direzione di Δs

• Se F non è costante durante il moto considero il lavoro infinitesimo dovuto ad uno spostamento infinitesimo ds nel tempo infinitesimo dt intorno all'istante t, calcolato a partire dalla forza istantanea.

dw = F · ds

In differentiale invece il lavoro non può essere espresso come differenza tra uno stato finale e iniziale

w_c = ∫F · ds con F = k q₀Q _q ^r2

Q: sorgente del campo

q₀: carica di prova

Q fissa in un punto

q₀ spostata lungo il tragitto A ➝ B

F · ds = F d_s cosθ ➝ k _{q0Q ⁰} d cosθ ➝

w_c = ± ∫_A^B k _{q0Q cosθ ➝ dr = ± k q0Q (1 ra)}

La forza elettrostatica risulta conservativa.

∮F · ds_A^B = k _{q0Q = 0} (_{rf = ro)}

Posso definire una funzione U della sola posizione tale che:

F · ds_A^B = U_i - U₀ ➝ U_i - k _{A0Q = k S U0 : k q0Q ^ro}

w_c - ΔU

Energia potenziale elettrostatica

Lavoro della forza elettrostatica

Qualsiasi funzione U_i k _{q0Q ⁰} soddisfa la definizione di U_i, U_f - U₀ ⌠F · ds_A^B

d_x = y_o dθ

d tg θ

dθ

1

d_x =

cos² θ

y_o

r cos θ = y_o

|E| = ∫_θo^θ₁ kλ y_o dθ / cos² θ =

cos θ kλ / y_o ∫_θ0^θ_max 1 / cosθ dθ

kλ/y_o (sen θ_max - sen θ_o) = 2kλ sen θ_max / y_o

=

2kλ y_o

L/√(L² + y_o²) â

E_s

filo rettilineo indefinito carico (ogni punto si può considerare

mediana del filo) L >> y₀.

Per ogni punto È normale al filo

uscente E = 2kλ

y_o

r del cilindro

(da pensare in 3

dimensioni, geometria

cilindrica)

|E| = λ

2πy_o

Calcolo del potenziale elettrostatico per distribuzioni estese di carica

E_s

Potenziale elettrostatico generato da un anello uniformemente carico con densità lineare λ sul suo asse

V(p) = kq / r

dV = k dq / r

V(p) = k ∫_l dq

V(y_o) = 0

V(x) = k ∫₀^2π λ dl / r

V(x) = kλ ∫

2πR

√(R² + x²)

V(x) ≈ λk 2πR / 2ε₀ (L² + x²)³/²

V = kλ 2πR / r

è costante

come se tutta la caricaλ

fosse

a distanza r

Teorema di Gauss

Per il flusso del campo elettrostatico

Superficie aperta ha un contorno, la superficie chiusa no (contorno definito come una linea chiusa), con una superficie chiusa identifico unicamente uno spazio finito

Per convenzione si prende il versore normale uscente dalla superficie

Flusso infinitesimo

Integrale su una superficie

con una carica puntiforme e poi si generalizza:

proiezione di ds sulla superficie normale alle linee di E (radiali)

Angolo solido

è l'angolo in 3D - adimensionale

Se S₀ = tutto la sfera

massimo angolo solido

dS . dS cosθ

L'angolo solido Ω è lo stesso, quindi i contributi sono uguali e opposti

Integrale composto da termini a due a due uguali e

Il potenziale:

Flusso → E V

V(A) - V(B) = ∫_B^A E⃗ · dS⃗

Per la lastra con spessore (caricata positivamente)

Scelgo V(0) = 0

V(x) - V(0) = ∫₀^x E dx = ∫₀^x ρx/ε₀ dx = ρ/2ε₀ [ x² ]₀^x = ρx²/2ε₀

con d₁ ≤ x ≤ d₂

V(d₂) = -ρd₂²/8ε₀

V(x) - V(d₂) = ∫_x^d₂ E dx = ∫_x^d₂ ρd/2ε₀ dx = ρd/2ε₀ (d₂ - x)

con |x| > |d₂|

V(x) = ρd₂²/4ε₀ + V(d₂) - ρdx/2ε₀

= ρd₂²/8ε₀ pdx/2ε₀

E_x = -dV/dx

Teorema di Gauss in forma differenziale

⨌ E⃗ · û_n dS = Σq_int/ε₀

Divergenza di un vettore: ∇ · E⃗ = dV E⃗

E⃗ = (E_x, E_y, E_z)

prodotto scalare tra ∇⃗ e E⃗

∇⃗ E⃗ = δE_x/δx + δE_y/δy + δE_z/δz (E è uno scalare)

Misura [E/M]

Variazione infinitesima di E⃗ su tre assi