Appunti di Fisica II

Fisica II

Francesco Longo, Pierluigi Monaco

Elettrostatica

Carica elettrica

In natura esistono due tipi di cariche: positiva e negativa. I corpi quindi possono essere caricati positivamente, negativamente o essere globalmente neutri, in base alla quantità di cariche positive e negative. Cariche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si attraggono.

Le leggi fondamentali delle cariche elettriche

• Conservazione: In condizioni statiche, la carica elettrica totale contenuta in un certo volume fissato si conserva.
• Quantizzazione: Le cariche elettriche sono distribuite a quanti e si presentano quindi in numeri interi e multipli della carica elementare \( e = 1,60 \times 10^{-19} \) C.
• Legge di Coulomb: Permette di determinare la forza elettrica che agisce tra due cariche.

\( F = \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{4\pi \varepsilon_0 \cdot r^2} \)

Principio di sovrapposizione

La forza elettrica che agisce su una carica è data dalla somma delle singole forze elettriche.

Campo elettrico

Il campo elettrico in un punto (generato da una carica) è definito come la forza elettrica per unità di carica esercitata in quel punto.

\( E = \frac{F}{q_0} \)

Caso discreto

Applicando la legge di Coulomb si ottiene il campo elettrico in un punto generato da una carica:

\( E = \frac{k \cdot |q|}{4\pi \varepsilon_0 \cdot r^2} \)

Per il principio di sovrapposizione, nel caso di più particelle, si ha:

\( E = \sum_{i} \frac{k \cdot |q_i|}{4\pi \varepsilon_0 \cdot r_i^2} \)

Caso continuo

Nel caso di distribuzione continua di cariche avremo:

\( dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{dq}{r^2} \)

Per cui:

\( E = \int \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 \cdot r^2} \)

Dove possiamo opportunamente sostituire con la formula della densità volumica, superficiale o lineare a seconda del caso.

Dipolo

Il dipolo è un esempio importante di distribuzione discreta di cariche elettriche. Abbiamo una carica positiva e una negativa (mantenute sempre alla stessa distanza) quindi il sistema è globalmente neutro. Ogni dipolo è caratterizzato dal momento di dipolo definito come:

\( \mathbf{p} = q \cdot \mathbf{r} \)

Dove \(\mathbf{r}\) è il vettore che congiunge la carica negativa con quella positiva. Conoscendo il momento di dipolo possiamo calcolare gli effetti del dipolo sull’ambiente e viceversa.

Linee di forza del campo elettrico

Le linee di forza del campo elettrico permettono di dare una rappresentazione grafica a un campo elettrico. Queste linee sono realizzate seguendo due criteri:

• In ogni punto, la tangente della linea di forza indica la direzione del campo elettrico in quel punto.
• La densità delle linee di forza in una regione è proporzionale all’intensità del campo elettrico.

Moto di una carica in un campo elettrico

Il moto di una carica in un campo elettrico è dato da:

\( F = q \cdot E \)

Si ottengono quindi le stesse equazioni del moto uniforme e uniformemente accelerato:

\( a = \frac{q \cdot E}{m} \)

Nel caso particolare di un dipolo, dalle equazioni cardinali della meccanica si ottiene:

\( \sum \mathbf{F} = 0 \)

\( \sum \mathbf{\tau} = \mathbf{p} \times \mathbf{E} \)

Ossia, il campo elettrico non determina un’accelerazione del dipolo ma tende a farlo ruotare per allinearlo in direzione parallela alle linee del campo.

Flusso

Per definire il flusso introduciamo il vettore superficie come segue:

\( \Delta \mathbf{S} = \Delta S \cdot \hat{\mathbf{r}} \)

Dove \(\Delta S\) è l’area della superficie e \(\hat{\mathbf{r}}\) è il versore normale alla superficie.

Allora il flusso di un campo vettoriale è definito come:

\( \Phi = \mathbf{E} \cdot \Delta \mathbf{S} \)

Questo significa che il flusso sarà massimo quando il vettore superficie sarà parallelo alle linee di campo, ovvero quando la superficie sarà perpendicolare alle linee del campo.

Legge di Gauss

\( \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{s} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} \)

Si può dimostrare che la legge di Gauss implica quella di Coulomb e viceversa che la legge di Coulomb implica la legge di Gauss.

Forma differenziale

La divergenza di un campo vettoriale è definita come:

\( \nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \)

Questo significa che dato un certo volume infinitesimo, se il flusso del campo vettoriale è principalmente positivo quindi uscente, allora la divergenza è positiva. Al contrario, se è principalmente negativo quindi entrante, la divergenza è negativa.

Quindi l’operatore Nabla che effettivamente è un vettore, se applicato a uno scalare (prodotto vettore per uno scalare) restituisce un campo vettoriale (una funzione). Invece, se applicato a un vettore (prodotto scalare) restituisce un campo scalare. Allora la legge di Gauss può essere espressa in forma differenziale utilizzando la definizione di divergenza come:

\( \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \)

Proprietà elettriche di un conduttore

I conduttori sono quei materiali che hanno un gran numero di cariche libere al loro interno e quindi facilitano il passaggio di corrente. In condizioni statiche, il campo elettrico all’interno di un conduttore deve essere nullo perché altrimenti le cariche libere si muoverebbero e ci sarebbe un flusso di corrente. Da ciò segue che anche il flusso interno è nullo e quindi le cariche sono disposte sulla superficie del conduttore. Per lo stesso ragionamento il campo elettrico deve essere perpendicolare alla superficie in ogni punto perché altrimenti ci sarebbe un movimento di cariche. Allora si ottiene:

\( \mathbf{E} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \)

Potenziale elettrico

La forza elettrica è una forza conservativa, ovvero il lavoro compiuto per spostare una carica dipende solo dalla posizione iniziale e da quella finale.

\( L = \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{4\pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_f}\right) \)

\( U = \frac{k \cdot q_0 \cdot q}{4\pi \varepsilon_0 \cdot r} \)

Dove \( U \) è l’energia potenziale sulla carica \( q_0 \) dovuta alla presenza della carica \( q \). Il potenziale elettrico in un punto è definito come l’energia potenziale in quel punto per unità di carica:

\( V = \frac{U}{q_0} \)

In generale si ha:

\( \Delta U = q_0 \cdot \Delta V \)

Campo elettrico e potenziale elettrico sono legati dalla seguente relazione:

\( \mathbf{E} = -\nabla V \)

Poiché il vettore \(\nabla\) identifica la discesa massima in un campo scalare, allora in ogni punto il campo è diretto verso la maggior diminuzione di potenziale elettrico. Inoltre, poiché dalla legge di Gauss si ha:

\( \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \)

Sostituendo si ottiene l’equazione di Poisson:

\( \nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \)

Il campo elettrostatico inoltre è conservativo ovvero:

\( \nabla \times \mathbf{E} = 0 \)

Questo significa che in condizioni statiche il campo elettrico è sempre perfettamente simmetrico e quindi tutte le “forze” di rotazione sono controbilanciate. In altre parole, questo significa che partendo da un certo punto e seguendo le linee del campo, non è possibile ritornare al punto di partenza senza andare contro le linee del campo elettrico.

Superfici equipotenziali

Una superficie equipotenziale è una superficie sulla quale il potenziale è costante. Se il potenziale è costante, anche l’energia potenziale rimane costante, quindi se una carica si muove lungo una di queste superfici, il lavoro compiuto dalle forze elettriche è nullo. Ciò è confermato anche dal fatto che le linee di forza del campo elettrico sono perpendicolari alle superfici equipotenziali in ogni punto di intersezione. Infatti se per assurdo \(\mathbf{E}\) avesse una componente tangenziale a una superficie equipotenziale, quando una carica si muove lungo di essa, le forze del campo compierebbero lavoro, cosa che non può accadere essendo il potenziale costante.

Conduttori e condensatori

Poiché, come abbiamo visto, il campo elettrico all’interno di un conduttore è nullo, per definizione il potenziale elettrico al suo interno sarà costante. Per questo motivo possiamo parlare di “potenziale di un conduttore”.

La capacità elettrica \([C]\) di un conduttore determina la quantità di carica immagazzinabile per unità di differenza di potenziale:

\( C = \frac{Q}{V} \)

Un condensatore è un dispositivo costituito da due conduttori isolati (detti armature) posti l’uno vicino all’altro in modo che vi sia induzione totale, ovvero in modo che tutte le linee di forza che partono da un conduttore raggiungano l’altro. I due conduttori hanno cariche uguale in valore assoluto ma di segno opposto, quindi la carica totale del condensatore è sempre nulla. Poiché il potenziale elettrico aumenta linearmente all’aumentare della distanza dall’armatura caricata negativamente, ed essendo \( E = \frac{V}{d} \), si ha:

\( C = \frac{\varepsilon_0 \cdot A}{d} \)

Carica di un condensatore con batteria

Una batteria, internamente, divide chimicamente cariche positive e cariche negative. Essa è caratterizzata quindi da una differenza di potenziale indice della carica immagazzinata. Se colleghiamo una batteria a un condensatore scarico (senza carica) stiamo applicando una tensione ai suoi capi. Questo determina un movimento di cariche positive verso una delle due armature e un movimento di cariche negative verso l’altra armatura. Stiamo caricando un condensatore. A mano a mano che ciò avviene aumenta il campo elettrico tra le due armature e di conseguenza anche la differenza di potenziale (diretta in verso opposto). Ciò continua finché tale potenziale non equivale a quello iniziale della batteria. Raggiunto questo limite il condensatore è caricato con carica \( +Q \) da un lato e \( -Q \) dall’altro e un certo potenziale \(\Delta V\) non per forza uguale a quello iniziale della batteria. Tuttavia, carica e potenziale sono sempre proporzionali e la costante di proporzionalità che lega queste due grandezze è la capacità elettrica:

\( Q = C \cdot V \)

Energia elettrostatica di una distribuzione di cariche puntiformi

L’energia potenziale \( U \) è un concetto che riguarda una singola carica. È definita come l’opposto del lavoro (compiuto dalla forza elettrica) necessario per portare una carica da una distanza infinita a una distanza \( r \) da \( q_0 \). Ma l’opposto del lavoro compiuto da una forza è uguale al lavoro compiuto contro questa forza. Quindi se noi avviciniamo due cariche di segno concorde, la forza elettrica compie lavoro negativo, quindi l’energia potenziale è positiva e aumenta a mano a mano che le due cariche si avvicinano. Essa infatti coincide con il lavoro compiuto da forze esterne per avvicinare le due cariche il quale è anche positivo (la forza ha la stessa direzione dello spostamento).

\( -W_f = -U_e \)

L’energia elettrostatica è un concetto che riguarda una distribuzione di cariche. Essa è definita come il lavoro compiuto (da forze esterne) per “costruire” la distribuzione di cariche, o come abbiamo appena visto, in modo equivalente come il lavoro compiuto (dalla forza elettrica) per “smontare” la distribuzione di cariche (portarle a distanza infinita). Si consideri dunque un sistema di cariche puntiformi. Per disporre nello spazio la prima carica elettrica non si compie lavoro, e quindi \( W_1 = 0 \) (non vi sono cariche). Per portare la seconda carica a una distanza \( d \) dalla prima, il lavoro compiuto è necessario per vincere l’attrazione o la repulsione.