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Appunti di Fisica II

Appunti di fisica 2 per studenti di Ingegneria Elettronica e Informatica.

Testi di riferimento:
- "Fisica 2 - Gettys (McGraw Hill)"
- "Fisica 2 - Mazzoldi, Nigro"

Argomenti trattati:
- Elettrostatica
- Elettrodinamica
- Cenni su Onde elettromagnetiche

Esame di Fisica 2 docente Prof. F. Longo

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ESTRATTO DOCUMENTO

spira percorsa da corrente,

Nel caso di una abbiamo un momento che tende ad

⃗ ⃗ ⃗

allinearla perpendicolarmente alle linee del campo magnetico, dato da .

=I

Τ S × B

Possiamo anche introdurre il momento di dipolo magnetico e in modo simile

⃗ =I

m S

al caso elettrico abbiamo ⃗ ⃗ ⃗

=⃗

Τ m× B U=−⃗

m∙ B

Il movimento di cariche genera un campo magnetico. Tale fenomeno è descritto dalla

Legge di Biot e Savart

μ ⃗

Id l × r

⃗ 0

=

d B 2

4 π r −7

=4

Dove .

μ π ∙ 10

0

FLUSSO MAGNETICO E LEGGE DI GAUSS PER CAMPI MAGNETICI

=⃗

ϕ ⃗

d B ∙ d s

Dalla definizione di flusso del campo magnetico data da: , otteniamo la

B

corrispondente legge di gauss per i campi di induzione magnetica

∯ ⃗

ϕ = ⃗ =0

B ∙d s

B

Che scritta in forma differenziale ci dà la II EQUAZIONE DI MAXWELL.

⃗ ⃗

∇ =0

∙ B

LEGGE DI AMPERE

∮ ⃗ ⃗ =μ

B ∙ d l I

0 c ⃗

La Legge di Ampere ci dice che l’integrale di linea di lungo un percorso chiuso,

B

dipende soltanto dalle correnti concatenate a tale percorso (ovvero che lo

attraversano).

In forma differenziale abbiamo

⃗ ⃗ ⃗

∇ =μ

× B j

0

LEGGE DI AMPERE SECONDO MAXWELL

Nella formulazione della Legge di Ampere appena data, ci sono alcuni casi in cui la sua

validità dipende dalla superficie scelta, cosa che non dovrebbe accadere. Per questo

Maxwell ha fornito una formulazione più generale data da

( )

ϕ

d

∮ ⃗

⃗ E

B ∙ d l=μ I

0 c 0 dt

Dove il termine aggiunto è definito come corrente di spostamento. Scritta in forma

differenziale otteniamo la IV EQUAZIONE DI MAXWELL

( )

∂ E

⃗ ⃗ ⃗

∇ ϵ

× B j+

0 0 ∂t

Breve riepilogo formule differenziali campo elettrico e magnetico

{

¿⃗

E ≠0

¿ =0

B

La divergenza è l’equivalente microscopica del flusso attraverso una superficie chiusa

a livello macroscopico. ⃗

Il fatto che la divergenza di può essere diversa da zero significa che esistono dei

E

punti in cui si genera del campo elettrico. Ciò avviene attorno a delle cariche; qui il

flusso del campo è prevalentemente uscente (nel caso di carica positiva) quindi la

divergenza positiva. Viceversa nel caso magnetico non esistono mai dei punti in cui si

genera del campo magnetico, perché questo è generato dal movimento di carica

elettrica. Quindi per qualsiasi superficie chiusa si scelga le linee entranti ed uscenti del

campo saranno sempre equivalenti e il flusso nullo.

{ ⃗ =0

rot E

rot B ≠0

Il rotore è l’equivalente microscopica della circuitazione su un percorso chiuso a livello

macroscopico. ⃗

Il fatto che il rotore di sia sempre nullo è dovuto alla simmetria del campo

E

elettrico. Questo significa che l’indole del campo a mettere in rotazione una carica è

sempre nulla perché le forze di rotazione si elidono a vicenda. Viceversa per il caso

magnetico il rotore è sempre diverso da 0 perché il campo non è simmetrico e quindi

in ogni punto il campo tenderà a far ruotare in modo più o meno forte una carica.

INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

La variazione del flusso del campo magnetico concatenato con un circuito, genera una

forza elettromotrice e quindi una corrente indotta. La Legge di Faraday esprime

questo fatto.

ϕ

−d B

ξ= dt ϕ

La variazione di flusso attraverso un conduttore può essere ottenuta in due

B

modi: variando il campo magnetico o muovendo meccanicamente il circuito. Nel primo

caso, la variazione del campo magnetico genera un campo elettrico (indotto) non

conservativo che determina un movimento di cariche e quindi una corrente elettrica.

Nel secondo caso invece non si genera alcun campo elettrico ma essendo valida

⃗ ⃗ ⃗ , questa forza genererà comunque una corrente indotta. In entrambi i

=q

F V × B

casi, essendoci un movimento di cariche, si genera a sua volta un campo magnetico

(indotto) il cui comportamento è descritto dalla Legge di Lenz.

ϕ

d

La Legge di Lenz ci dice che l’aumento di genera una corrente il cui verso

B

determina un campo magnetico indotto che si oppone a quello iniziale. Nel caso in cui

ϕ

d diminuisce invece, il campo magnetico indotto ha verso concorde con quello

B

iniziale.

È possibile sfruttare questo fatto per convertire un movimento meccanico in corrente

elettrica. Questo è il compito di generatori e alternatori.

Come abbiamo detto il campo elettrico indotto è non conservativo, infatti si ottiene

ϕ

−d

∮ ⃗

⃗ B

E ∙ d l= dt

Che è la Legge di Faraday in forma integrale. Scritta in forma differenziale, ci dà la III

EQUAZIONE DI MAXWELL.

−∂ B

⃗ ⃗

∇ =

× E ∂t

AUTOINDUZIONE E MUTUA INDUTTANZA

L’autoinduzione è il caso in cui il campo magnetico a cui è sottoposto ad esempio una

spira, sia generato proprio dalla corrente che attraversa la spira.

Nel momento in cui in una spira inizia a passare corrente grazie alla presenza di una

batteria, si genera un campo magnetico. Ma poiché l’intensità di corrente inizialmente

non è costante, allora il flusso del campo magnetico concatenato varia e quindi si

genera una f.e.m che si oppone a quella della batteria. Diremo che si genera una

corrente autoindotta.

ϕ

−d B

=

ξ L dt I

Dalla Legge di Biot e Savart sappiamo che se è costante allora il campo

ϕ =LI L

magnetico, e quindi anche il flusso, è proporzionale alla corrente: . è il

B

coefficiente di autoinduzione o semplicemente induttanza della spira. Nel caso

non stazionario possiamo comunque assumere che le correnti varino lentamente nel

f.e.m. autoindotta

tempo e quindi la è data da

di

=−L

ξ L dt ε

Il senso di è dato dalla Legge di Lenz applicata alle correnti.

L

CIRCUITO LR

All’interno di un circuito, un’induttanza ha lo scopo di evitare variazioni brusche di

corrente (anche se in realtà qualsiasi componente circuitale è caratterizzato da una

propria induttanza). La corrente autoindotta nell’induttanza ha verso opposto alla

corrente che fluisce nel circuito nel caso in cui questa stia aumentando e quindi ne

rallenta la crescita. Ha verso concorde nel caso in cui la corrente stia diminuendo e in

questo caso ne rallenta la decrescita.

Batteria collegata

( )

−R

ξ t

L

( )=

i t 1−e

R

Batteria scollegata

−R t

L

( )=i

i t e

0

ENERGIA IMMAGAZZINATA IN UN’INDUTTANZA

In una induttanza hanno luogo due trasformazioni energetiche. La prima consiste nella

dissipazione di una parte dell’energia dei portatori di carica per effetto Joule, essendo

l’induttanza caratterizza da una propria resistenza interna. La seconda si verifica

quando varia l’intensità di corrente. Infatti l’energia potenziale elettrica dei portatori di

carica varia quando i portatori si muovono in un elemento di circuito in cui c’è una

differenza di potenziale. Di conseguenza quando l’intensità di corrente aumenta

nell’induttanza si genera una f.e.m. di senso opposto e quindi i portatori perdono

energia che aumenta invece nell’induttanza (si può pensare che l’induttanza stia

compiendo lavoro negativo per “frenare” i portatori). Viceversa se l’intensità di

corrente diminuisce, la f.e.m. autoindotta ha lo stesso verso e quindi i portatori

acquistano energia che diminuisce nell’induttanza (che sta compiendo lavoro positivo).

Poiché i portatori possono sia acquisire che perdere energia, questa energia è

recuperabile, per cui si può parlare di energia immagazzinata nell’induttanza

(altrimenti si parlava di energia dissipata come nella resistenza).

2

Li

U= 2

DENSITÀ DI ENERGIA

Come nel caso elettrico essendo l’energia immagazzinata in un’induttanza

proporzionale al volume occupato dal campo, possiamo definire la densità di energia

del campo magnetico

1 2

=

u B

B 2 μ

0 energia immagazzinata nel campo magnetico.

Questa densità di energia viene detta

Infatti quando l’intensità di corrente aumenta in un’induttanza, si produce un campo

magnetico crescente e nel campo magnetico viene immagazzinata dell’energia. Se

l’intensità di corrente diminuisce, anche il campo magnetico diminuisce e l’energia

viene restituita dal campo magnetico ai portatori di carica del circuito.

MUTUA INDUZIONE

Si verifica quando si hanno due bobine vicine tra di loro. Se in una scorre corrente, si

genera un campo magnetico che influenza anche l’altra. Quindi se il flusso varia, viene

indotta corrente anche nella bobina vicina. Si può dimostrare che il flusso del campo

magnetico in una bobina, è proporzionale alla corrente che scorre nell’altra bobina,

ovvero ϕ ϕ

=M =M

N i N i

1→ 2 A 1 2 →1 B 2

Quindi ricaviamo la f.e.m. indotta in ciascuno dei due circuiti, e dovuta alla presenza

della corrente che scorre nell’altro. d i d i

1 2

=−M =−M

ξ ξ

1→ 2 A 2→ 1 B

dt dt

M M

Si verifica che e dipendono solo dalla geometria del circuito e hanno

A B =M =M

M

carattere reciproco. Quindi viene chiamato coefficiente di mutua

A B

induzione.

TRASFORMATORI

Un trasformatore è un dispositivo che fa uso della mutua induttanza. È costituito da un

nucleo di ferro su cui troviamo due avvolgimenti, primario e secondario. Il nucleo fa in

ϕ

modo che il flusso magnetico sia identico attraverso ciascuna spira sia del

B ϕ

primario che del secondario. Quindi se varia, in ciascuna spira di entrambi gli

B

avvolgimenti sarà indotta la stessa f.e.m.

Perciò se sul primario viene applicata una tensione elettrica alternata sinusoidale, per

effetto dell'induzione magnetica si crea nel nucleo un flusso magnetico con

andamento sinusoidale. Per la legge di Faraday, questo flusso variabile induce nel

N

secondario una tensione sinusoidale il cui valore dipende dal numero di spire . Le

s

tensioni indotte sono =N =N

V ξ V ξ

s s P P

Da cui

i V N

P S S

= =

i V N

S P P

CIRCUITI OSCILLATORI

I circuiti oscillatori sono quei circuiti che contengono due elementi in grado di

immagazzinare energia, ovvero condensatore e induttanza.

CIRCUITI LC

Si tratta di un circuito ideale perché privo di resistenza che ha forti analogie con il

comportamento di un oscillatore armonico senza attrito. Un condensatore carico e

un’induttanza sono collegati in serie. L’energia dei portatori è inizialmente elettrica

(conservata nel campo elettrico). L’induttanza fa sì che la corrente aumenti

lentamente, a causa del contemporaneo aumento del campo (e anche del flusso)

magnetico diretto nel verso opposto. In questa fase il condensatore si sta scaricando,

l’energia si sta trasformando da elettrica a magnetica e di conseguenza il campo

elettrico diminuisce, quello magnetico aumenta. Quando la corrente raggiunge il

valore massimo il condensatore è completamente scarico e l’energia del circuito è

interamente magnetica. A questo punto, per inerzia la corrente continua a fluire da

un’armatura all’altra del condensatore, finché l’energia non è nuovamente elettrica e il

condensatore caricato in modo opposto. Il procedimento si ripete in modo inverso fino

a ritornare alla situazione di partenza.

In analogia con il comportamento dell’oscillatore armonico meccanico (pendolo), la

situazione di partenza corrisponde alla fase in cui il pendolo è spostato da forze

esterne dal suo punto di equilibrio. Così facendo l’energia potenziale (insieme alla

tensione del filo) determina una forza di richiamo. Nel circuito, questa corrisponde alla

differenza di potenziale ai capi del condensatore dovuta all’energia del campo elettrico

(che quindi corrisponde all’energia potenziale nel caso del pendolo). Non appena il

pendolo viene lasciato muoversi, questo acquista energia cinetica che diventa

massima nel punto centrale a scapito di quella potenziale che contemporaneamente

diminuisce. In modo equivalente, nel circuito, l’energia elettrica diminuisce così come

la d.d.p. e contemporaneamente quella magnetica (energia cinetica) aumenta fino a

raggiungere il valore massimo. Per inerzia il filo non si ferma nel punto centrale, così si

passa alla seconda fase. Ora l’energia cinetica (magnetica) diminuisce nuovamente

mentre quella potenziale (elettrica) torna ad aumentare. Poiché non vi è dissipazione

di energia e ci troviamo alla situazione opposta a quella iniziale, il tutto riprende e

continua all’infinito.

CIRCUITI RLC

In questo caso, essendoci una resistenza, parte dell’energia del circuito viene

dissipata. Se, con un determinato valore della resistenza, si ha un andamento sotto

−x

smorzato, la carica nel circuito diminuisce con un andamento di .

e

CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Sono tutti quei circuiti in cui è presente una sorgente di corrente alternata e la

tensione varia sinusoidalmente con il tempo.

=V

V sin(ωt)

m

CIRCUITI PURAMENTE RESISTIVI

)=iR

V sin(ωt

m

Da cui V V

m m

( )= =

i t sin(ωt) I m

R R

Quindi la resistenza limita l’ampiezza della corrente.

CIRCUITI PURAMENTE CAPACITIVI

q

(ωt )=

V sin

m C

Da cui ( )

V V

π

m m

( )= + =

i t sin ωt I m

X 2 X

c c

1

=

X

Dove è la reattanza capacitiva che quindi limita l’ampiezza della

c ωC

corrente. A una data frequenza, più piccola è la capacità del condensatore, maggiore

sarà il suo ostacolo al passaggio di corrente.

CIRCUITI PURAMENTE INDUTTIVI

di

(ωt )=L

V sin

m dt

Da cui ( )

V V

π

m m

( )= =

i t sin ωt− I m

X 2 X

L L

=ωL

X

Dove è la reattanza induttiva che quindi limita l’ampiezza della corrente.

L

A una data frequenza, più grande è l’induttanza, maggiore sarà l’opposizione al

passaggio di corrente.

CIRCUITI RLC A CORRENTE ALTERNATA

Per la legge delle maglie abbiamo di q

(1) +iR + =V

L dt C

con

=V

V sin(ωt)

m (ωt +ϕ)

i=I sin

Vogliamo determinare un’espressione della corrente nella forma ,

m

I ϕ

quindi dobbiamo determinare l’ampiezza massima e la fase . Utilizziamo il

m

+V + =V

V V

metodo dei fasori. La (1) equivale a che sono i valori delle tensioni

L R C

istantanee. Questa relazione può essere riscritta in termini di fasori come

⃗ +⃗ ⃗ =⃗

+

V V V V . Dall’analisi dei circuiti appena visti, sappiamo che i moduli di questi

L R C =I =I =I

V X V R V X

vettori sono , e . Dalla rappresentazione grafica

Lm m L Rm m Cm m C

si ricava la relazione

2 2 2

( )

=V + −V

V V

m Rm Cm Lm I

Da cui sostituendo, si ricava l’ampiezza massima di

V

(• m

=

I √

m

) 2 2

( )

+ −

R X X

C L

√ 2

2 ( )

L’impedenza è l’equivalente, nei circuiti in corrente alternata,

= + −

Z R X X

C L

della resistenza nei circuiti a corrente continua. Dalla rappresentazione grafica si

ricava anche la fase

−X

X C L

ϕ=

tan R X X

Questo ci dice che, in base ai valori di e , il comportamento del circuito

C L

>

X X i V

cambia. In particolare se , è in anticipo rispetto a quindi il circuito è

C L <

X X i V

capacitivo,

prevalentemente se , è in ritardo rispetto a quindi il

C L =X

X

induttivo.

circuito è prevalentemente Se la corrente e la tensione sono in

C L

resistivo.

fase e il circuito è X X

Inoltre, (•) ci dice che i valori di e influenzano anche l’ampiezza massima

C L resistivo

della corrente. In particolare questa è massima quando il circuito e ovvero

=X

X X X ω C L

. Poiché e dipendono da , e , allora è possibile

C L C L

I C L

modificare in due modi: variando e mantenendo costante la pulsazione

m

ω , o viceversa. Quest’ultimo caso riguarda la frequenza di risonanza.

RISONANZA ω

=

f

ω f

Se la pulsazione varia, varia anche la frequenza essendo . Quindi,

2 π

per quanto detto, l’ampiezza massima della corrente può essere modificate facendo

variare la frequenza della sorgente di c.a. In particolare la frequenza angolare di

I

risonanza è quella frequenza che rende massima. Dai passaggi appena svolti si

m =X

I X

Z

nota che è massima quando è minima ovvero quando . Questa

m C L

1

=

ω pulsazione

condizione impone (che in realtà sarebbe la di risonanza).

0 √ LC

C L ω

Se manteniamo costanti e e facciamo variare , si ottiene un

comportamento differente del circuito. In particolare

1 1

⟺ ⟺

> <

X X ω< X X ω>

C L C L

√ √

LC LC

Quindi a frequenza molto minori di quella di risonanza il circuito è prevalentemente

capacitivo e la corrente è limitata principalmente dalla reattanza capacitiva (come già

ω

visto in precedenza). Viceversa a frequenze molto maggiori di , il circuito è

0

prevalentemente induttivo e la corrente è limitata dalla reattanza induttiva.

POTENZA IN UN CIRCUITO RLC IN SERIE A CORRENTE ALTERNATA

Essendo la frequenza della sorgente di c.a. generalmente molto elevata, siamo

interessati principalmente alla potenza media più che istantanea. A differenza della

resistenza, condensatore e induttanza immagazzinano e rilasciano continuamente

energia quindi la loro potenza media è nulla. Per cui la potenza media del circuito sarà

potenza dissipata. In generale la potenza media dipende dal valore medio di

V i

grandezze che in questo caso variano sinusoidalmente ( e ). Per cui conviene

considerare i valori efficaci di tali grandezze

I V

√ √

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

2 m 2 m

= = = =

I i V V

√ √

eff eff

2 2

2

La potenza dissipata è data allora da . Da cui considerando la media,

P=i R

⟨ ⟩ 2

=i

P R

eff =I =I

V R=V R

Inoltra dall’uguaglianza , si ottiene

m m eff eff

R

⟨ ⟩ ϕ

=V =V

P i i cos

eff eff eff eff

Z

ϕ

cos

Dove è il fattore di potenza. Essendo la potenza media proporzionale alla

corrente massima, l’andamento di queste due grandezze sono molto simili. In

particolare, anche in questo caso, se ci troviamo alla frequenza di risonanza,

⟹ ⟹ ϕ=1

=X

X Z=R cos , ovvero la potenza media è massima. Infatti, per quanto

C L

abbiamo visto, in questo caso la corrente è massima quindi anche a potenza dissipata

per effetto Joule sarà massima. Inoltre entrambe le curve sono caratterizzate dal

Q

fattore di merito che caratterizza la “larghezza” delle due curve.

L

Q=ω 0 R

ONDE

In generale un’onda è una qualsiasi perturbazione, impulsiva o periodica, che si

propaga con una velocità ben definita. Si parla di onda quando si verifica una

perturbazione delle condizioni di equilibrio di un campo scalare (temperatura, densità

di un fluido, ecc.) o vettoriale (elettrico, magnetico, ecc.).

Questa perturbazione di un campo che, prodotta da una sorgente, si propaga nello

( funzione d’onda.

f x , y , z , t)

spazio viene rappresentata con una funzione detta

Le onde piane sono quelle che dipendono da una sola coordinata spaziale, quindi

(x

f , t)

descritte dalla funzione d’onda . Le funzioni d’onda che descrivono la

propagazione di un’onda piana, sono individuate dalle soluzioni dell’equazione

differenziale

2 2

∂ f 1 ∂ f

− =0

2 2 2

∂ x v ∂t f x

Si può verificare che le soluzioni sono tutte le funzioni che dipendono da e

t in uno dei seguenti due modi:

(x−vt ) (x+

f f vt)

=¿

v

Con cost. Con questa forma infatti, queste funzioni descrivono un fenomeno di

x v t

propagazione lungo con velocità costante . Per ogni istante che fissiamo,

x

abbiamo una funzione della sola che raffigura l’immagine istantanea della

propagazione. Se scegliamo due istanti diversi, la funzione d’onda avrà la stessa

t f

“forma” ma traslata. Quindi se all’istante la funzione assume il valore nella

0 0

x =f (x −v )

f t

posizione (quindi ), lo stesso valore sarà assunto in un qualsiasi

0 0 0

0 >

t t x

(t−t )

v

x

istante successivo nella posizione traslata di rispetto a ,

0

0 0

ovvero ( )

( ) ( )

( )

−v =f =f + −vt =f (x −v )

f x t x−vt x v t−t t

0 0 0 0 0 0

L’equazione generale di un’onda è

2 2 2 2

∂ f ∂ f ∂ f 1 ∂ f

+ + − =0

2 2 2 2

∂z

∂x ∂ y v ∂t

Che può essere riscritta come

2

1 ∂ f

2

∇ − =0

f 2 2

v ∂t

ONDE ELETTROMAGNETICHE

Consideriamo le quattro equazioni di Maxwell per un campo elettromagnetico privo di

sorgenti. Vogliamo studiare onde elettromagnetiche piane quindi assumiamo che i

⃗ ⃗ x

campi e dipendano dalla sola coordinata spaziale e dal tempo

E B

(graficamente, in un preciso istante, abbiamo uno campo vettoriale tridimensionale

y z x

con vettori che non variano lungo e lungo , ma solo lungo ). Questo ci

dice che tutte le derivate parziali di qualsiasi componente di rispetto a qualsiasi

E

x t

variabile oltre a e sono nulle. Apportando queste modifiche alle equazioni di

∂ E ∂ E ∂ B ∂ B

x x x x E B

= =0 = =0

maxwell, si ottiene che e , ovvero che e

x x

∂x ∂t ∂x ∂t

non variano né nello spazio né nel tempo ma rimangono costanti. Non danno perciò

alcun contributo all’onda che vogliamo studiare, di conseguenza possiamo annullarli.

Con alcuni calcoli si verifica che le altre componenti dei due campi rispettano x

l’equazione delle onde. Avendo supposto la direzione di propagazione lungo ,

questo ci dice che le onde elettromagnetiche sono trasversali, o anche linearmente

yz

polarizzate lungo una qualsiasi direzione nel piano . Dalle stesse equazioni si

⃗ ⃗

ricava anche che in un’onda elettromagnetica, e sono tra loro ortogonali.

E B

In generale vale la relazione

⃗ ⃗

= ⃗

E B × c

c c

Con vettore che ha direzione di propagazione e modulo .


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daddets

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5 mesi fa


DETTAGLI
Esame: Fisica 2
Corso di laurea: Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica
SSD:
Università: Trieste - Units
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher daddets di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trieste - Units o del prof Longo Francesco.

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