Appunti di Fisica II

=−W =−U

W f elettrica f esterne

L’energia elettrostatica è un concetto che riguarda una distribuzione di cariche.

Essa è definita come il lavoro compiuto (da forze esterne) per “costruire” la

distribuzione di cariche, o come abbiamo appena visto, in modo equivalente come il

lavoro compiuto (dalla forza elettrica) per “smontare” la distribuzione di cariche

(portarle a distanza infinita).

Si consideri dunque un sistema di cariche puntiformi. Per disporre nello spazio la prima

=0

q W

carica elettrica non si compie lavoro, e quindi (non vi sono cariche). Per

1 1

d

portare la seconda carica a una distanza dalla prima, il lavoro compiuto da forze

1 d

esterne (ovvero l’energia potenziale della carica a distanza dalla prima) è

1

−q ( )

q q q

1 1

1 2 1 2

= − =

W 2 ϵ ϵ

4 π ∞ d 4 π d

0 1 0 1 q q q q

1 3 2 3

= +

W

Per la terza carica si ha analogamente . Allora

3 ϵ ϵ

4 π d 4 π d

0 2 0 3

+W +

U=W W .

1 2 3

In generale ( )

n q q

1 1 ∑ i j

⋅

U= ϵ

4 π 2 r

i≠ j

0 ij

ENERGIA IMMAGAZZINATA IN UN CONDENSATORE

Quando una batteria carica un condensatore, compie lavoro contro le forze del campo

elettrico per trasferire i portatori di carica da un’armatura del condensatore all’altra.

Questo lavoro compiuto costituisce l’energia elettrostatica immagazzinata nel

condensatore. 2 2 QV

Q CV U=

U= U= 2

2 C 2

DENSITÀ DI ENERGIA

Poiché l’energia elettrostatica immagazzinata è proporzionale al volume occupato dal

campo, possiamo definire la densità di energia come energia potenziale per unità di

volume

1 2

ϵ

=

u E

E 0

2

Questo ci dice che è possibile associare l’energia elettrostatica di una certa

distribuzione di cariche al campo elettrico prodotto dalla distribuzione stessa. Come

energia immagazzinata nel

vedremo anche per il caso magnetico si può parlare di

campo elettrico.

DIELETTRICI

Ponendo un materiale isolante (dielettrico) tra le lamine di un condensatore carico,

se manteniamo costante la carica o il voltaggio, alcuni valori del condensatore

k

aumentano, mentre altri diminuiscono di un fattore che dipende dal dielettrico e

costante dielettrica relativa.

che chiamiamo

Q costante

Q

Nel caso di costante, a causa della polarizzazione del dielettrico, la differenza di

potenziale diminuisce. V E U

DIMINUZION 0 0 0

=

V E= U=

E k k k

=k

C=k C ε ε /

AUMENTO 0 0

V costante V

A causa della comparsa delle cariche di polarizzazione, ed essendo mantenuta

costante, aumenta la carica del condensatore.

DIMINUZION / / /

E =k

C=k C Q=k Q ε ε

AUMENTO 0 0 0

POLARIZZAZIONE DEI DIELETTRICI

Le molecole di un dielettrico sono costituite da atomi che contengono un nucleo carico

positivamente, circondato da elettroni carichi negativamente. Poiché questi ultimi

sono attratti dal nucleo, il centro della distribuzione di carica negativa coincide con il

centro del nucleo. Tuttavia quando l’atomo viene posto in un campo elettrico, la forza

esercitata dal campo sul nucleo ha direzione opposta alla forza esercitata dal campo

sugli elettroni. Per questo motivo, all’equilibrio, la posizione del nucleo e il centro della

distribuzione di carica negativa non coincidono più. Si genera così un momento di

dipolo dal centro di carica negativa verso il centro del nucleo. Si dice che l’atomo è

stato polarizzato. Le cosiddette molecole polari sono quelle che presentano già in

natura una configurazione corrispondente a quanto detto (come le molecole

dell’acqua).

Quindi in ogni caso quando un dielettrico viene posto in un campo elettrico, prima di

tutto se le molecole del dielettrico non sono polari le forze del campo inducono dei

dipoli, poi questi, che siano indotti o meno, si allineano con le linee del campo. Questo

processo è detto polarizzazione del dielettrico. A causa di ciò, sulle facce del

σ

dielettrico si genera una densità di carica e conseguentemente anche un campo

p

elettrico “interno”.

Se il dielettrico polarizzato è posto all’interno di un condensatore, si ha

k−1

| |

= ∨σ ∨¿

σ p l

k

CORRENTE E RESISTENZA

Applicando una differenza di potenziale ai capi di un conduttore, al suo interno si

genera un movimento di carica che chiamiamo intensità di corrente elettrica

A

(Ampere ) dQ =qnS

= I v

I d

dt v

I è misurata attraverso una sezione del conduttore, mentre con abbiamo

d

indicato la velocità di deriva, ovvero la velocità media costante dei portatori di

carica.

Il movimento delle cariche positive è opposto a quello delle cariche negative. Per

convenzione, il verso della corrente è quello delle cariche positive.

La densità di corrente è invece l’intensità di corrente nei singoli punti della sezione. Se

questa è uniforme abbiamo I j=qn v

j= d

S

Nel caso non uniforme

⃗ ⃗

dI= j∙ d s

CONSERVAZIONE DELLA CARICA ELETTRICA

Consideriamo il movimento di carica all’interno di una superfice gaussiana e definiamo

il flusso di corrente come

dQ

∯ ⃗

ϕ = ⃗ =

j∙ d s

j dt

La variazione di carica interna dipende dalla variazione di carica uscente, ovvero:

∫ ¿ . Allora abbiamo

dQ=−d Q ¿ Q

∫ ¿ −dρ

d ⃗ ⃗

∇ =

∙ j

dt dt

ϕ =−¿

j

RESISTENZA E LEGGE DI OHM

Per la maggior parte dei materiali conduttori, l’intensità di corrente è direttamente

proporzionale alla differenza di potenziale. Chiamiamo resistenza il fattore di

Ω

proporzionalità (Ohm ). Otteniamo allora la legge di Ohm

=RI

V ohmici.

I materiali che rispettano la legge di Ohm sono detti

La resistenza in un conduttore può essere espressa anche come

ρl

R= S

ρ=¿ l=¿ S=¿

Con resistività, lunghezza ed area sezione.

Anziché imporre una differenza di potenziale, è possibile generare una corrente anche

applicando un campo elettrico a un conduttore. In questo caso la densità di corrente

sarà proporzionale al campo. Il fattore di proporzionalità è la conducibilità elettrica

del conduttore.

⃗ ⃗

j=σ E 1

=

σ

Che può essere espressa anche come .

ρ

SEMICONDUTTORI

I semiconduttori sono una categoria di materiali intermedia tra conduttori e isolanti. In

questi materiali, a causa dell’agitazione termica, parte degli atomi sono ionizzati

ovvero vi sono degli elettroni liberi di muoversi.

DROGAGGIO DEI SEMICONDUTTORI

Per aumentare la conducibilità dei semiconduttori e quindi diminuire la resistività si

procede con il drogaggio, ovvero vengono aggiunte al materiale delle impurità che

alterano queste caratteristiche.

Se tali impurità determinano un aumento di carica negativa, si parla di

semiconduttori di tipo n, mentre se determinano un aumento di carica positiva, si

parla di semiconduttori di tipo p.

CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA

Affinché in un circuito circoli con continuità una corrente, c’è bisogno di un elemento

sorgente di energia elettrica. Un tale dispositivo è detto generatore o sorgente di

forza elettromotrice. Il compito del generatore è quello di mantenere una differenza di

potenziale costante ai suoi capi e per far ciò il generatore deve separare e mantenere

separate cariche positive da un lato e cariche negative dall’altro. In questo modo

quando un generatore è collegato a un circuito, le cariche positive sono costrette ad

attraversare il circuito per poter raggiungere un punto a potenziale più basso

generando così un flusso di corrente. Poiché cariche positive e negative in natura si

attraggono, il lavoro compiuto dal generatore avviene contro le forze del campo

elettrico. La forza elettromotrice è allora definita come

W

ξ= q

Ovvero è il lavoro per unità di carica che viene compiuto per separare le cariche.

Tuttavia quando ciò avviene e le cariche attraversano il generatore, esse incontrano

resistenza interna

una resistenza detta che in genere aumenta con l’utilizzo del

generatore ideale

generatore. Allora un è un generatore che mantiene ai suoi capi una

=ξ

V

d.d.p. pari alla forza elettromotrice, ovvero . Nella realtà però, a causa della

resistenza interna del generatore, la d.d.p. è minore della forza elettromotrice.

=ξ−Ir

V

Se consideriamo come generatore una batteria, quanto detto vale nel momento in cui

la batteria è in scarica ovvero quando le cariche “abbandonano” la batteria. Invece nel

processo di carica, semplicemente il senso della corrente è opposto, quindi le cariche

si accumulano nella batteria. In questo caso vale

=ξ+

V Ir

Questo ci dice che in un generatore non ideale l’energia elettrica immagazzinata è

minore di quella fornita a causa sempre della resistenza interna.

Definiamo la potenza di un elemento di circuito come

∆U =VI

P= ∆t

Questo ci dice che seguendo il verso della corrente, nei dispositivi che determinano

una diminuzione di potenziale la potenza sarà negativa, mentre nei dispositivi che

determinano un aumento di potenziale la potenza sarà positiva. Più in generale se la

P

crescita di potenziale ha lo stesso verso della corrente sarà positiva, altrimenti

negativa. Si parla di potenza in ingresso quando la potenza è positiva, mentre si

parla di potenza dissipata (in calore) quando la potenza è negativa (come nel caso

delle resistenze). Per una batteria vale

{ {

=ξ−Ir =ξ+

V V Ir

2 2

−I +

P=ξI r P=ξI I r

Per il ragionamento fatto in precedenza questo ci dice che sia in fase di carica che di

scarica si ha una perdita di potenza (in entrata o in uscita in base al caso).

LEGGI DI KIRCHOFF

I Legge

∑ =0

V

maglia

II Legge

∑ ∑

=

I I

entrante uscente

CARICA E SCARICA DI UN CONDENSATORE

Carica ( )

−t

RC

( )=ξC

q t 1−e

−t

ξ RC

( )=

i t e

R q

t →∞ q=ξC

Si può notare che se , . Chiamiamo questa quantità . L’energia

∞ 2