Appunti esame Elettrotecnica

Elettrotecnica

Nell'universo esistono 4 forze fondamentali:

• 1. Forze gravitazionali
• 2. Forze nucleari, deboli
• 3. Forze nucleari, forti
• 4. Forze elettromagnetiche, interazioni tra cariche elettriche

L'approccio seguito è quello galileiano: fenomeno fisico → si costruisce modello matematico → sottoposto a validazione sperimentale.

1. Per fenomeni elettromagnetici si utilizzano equazioni di Maxwell

• 1. rot E = -∂B/∂t = 0
• 2. div B = 0
• 3. rot H = J + ∂D/∂t
• 4. div D = ρ

e equazioni costitutive:

• D = εE
• B = μH
• J = γ(E - E_o) + J_o

Risolvendo le equazioni di Maxwell posso conoscere l'andamento del campo elettromagnetico in ogni punto dello spazio e in ogni istante di tempo.

E(x, y, z, t) = E_xx + E_yy + E_zz

H(x, y, z, t) = H_xx + H_yy + H_zz

Ammetto valgano E̅ e H̅ in ogni istante t₀, è molto difficile calcolarlo con Maxwell.

1. Per questo si usano delle semplificazioni:

1. Ipotesi semplificative → modelli semplificati → soluzioni approssimate
2. Ipotesi: utilizzare modello a costanti concentrate

Il campo elettromagnetico si propaga a velocità infinita, ovvero in un tempo nullo (in linea di principio, lo zero non si vincola, ma esistono situazioni in cui è quasi vero).

Il campo elettromagnetico dipende solo dal tempo, equazioni diventano ordinarie

• I fenomeni sono caratterizzati da TENSIONE O DIFFERENZA DI POTENZIALE V(t)
• CORRENTE ELETTRICA I(t)

→ Conseguenze sulle equazioni di Maxwell che si semplificano in:

• Equazioni topologiche, LEGGI DI KIRCHHOFF, algebriche in V(t) e I(t)
• Relazioni costitutive, differenziali in V(t) e I(t) descrivono il comportamento dei singoli componenti

Es.

V₁(t) + V₃(t₀) - V_S(t) = 0 (Legge di Kirchhoff)

I(t) = 4 dV(t)/dt (equazione costitutiva)

...

attraverso un approccio semplificato riesci a conoscere la tensione e la corrente per ogni pezzo nel tempo t

Corrente

Cariche q in movimento generano corrente => I(t) = Δq/Δt     I(t) = lim (Δq/Δt) Δt→0 = dq/dt

Poichè la carica non si crea ne si distrugge, in ogni Δt la quantità di carica è la stessa

1. Si può definire un'unica corrente, essendo la stessa attraversio qualsiasi sezione di filo
2. Si misura in Ampere [A]     1 A = 1 Coulomb/1 secondo
3. Per indicare il verso in cui scorre si segue un verso di riferimento

q(t) = q(t₀) + ∫ (da t₀ a t) I(τ) dτ

Δq = q(t) - q(t₀) = ∫ (da t₀ a t) I(τ) dτ

Tensione

Ad ogni carica è associato un'energia w, si definisce POTENZIALE ELETTROSTATICO V = w/q

La variazione di potenziale da A a B non dipende dal percorso: V_AB = V_A - V_B = [w(A) - w(B)]/q

Si definisce TENSIONE o DIFFERENZA DI POTENZIALE: V_AB = Δw/q

1. Si misura in Volt [V]     1 V = 1 Joule/1 Coulomb
2. Il verso di riferimento è detto POLARITÀ (+ -)
3. Avanzando da A (+) a B (-) la carica riduce la sua energia
4. V_BA = - [V_A - V_B] = - V_AB

Tra tutte le linee quelle che interessano sono linee che non intersecano il bipolo, o se lo intersecano, lo intersecano solo in uno dei suoi due terminali.

A fini della soluzione del circuito servono solo alcune equazioni topologiche legate alla struttura geometrica del circuito.

A ogni circuito si associa un grafo: ente geometrico unione di archi/rami tramite nodi/vertici

• ramo: segmento che congiunge due nodi
• nodo: punto di contatto di due o più rami

(ramo ↔ bipolonodo ↔ morsetto)

A un circuito corrisponde un grafo.A un grafo corrispondono infiniti circuiti.

Il grafo si orienta nel verso della corrente nel circuito.

ALBERO: è un sottoinsieme di rami del grafo che unisce tutti i nodi senza formare percorsi chiusi.

Tutti i rami che non appartengono all'albero appartengono al CO-ALBERO.

CONNESSO: se è possibile andare da un nodo ad un altro attraverso un percorso dettato dai rami.

Consideriamo sempre circuiti connessi con R rami, N nodi. R indipendente da N ma R cresce più rapidamente.

Dato un circuito connesso con R rami e N nodi:

• Albero: N - 1 rami.
• Co-albero: R - (N - 1) = R - N + 1 rami.

MAGLIA: è un sottoinsieme di rami del grafo che creano un percorso chiuso privo di diramazioni (in un nodo o non arriva nessun ramo o al massimo due)

2. Teorema di Telegen

Dati due circuiti con stesso grafo

Allora

Dimostrazione

P(t) =

P(t) =

P(t) =

P(t) =

P(t) =

P(t) =

grafo e lo = stesse matrici

Esempio due circuiti con stesso grafo:

Le LKC e LKT sono indipendenti tra di loro: in ogni equazione compare un'incognita che non compare nelle altre

P(t) = V(t) · I(t) = L dI(t); I(t) ≥ 0

∫P(t)dt

t₀ = -∞

= E(t₀) + ∫P(t)dt = E(t₀) + L I²(t) - L I²(t₀)

2 2

E(t₀) = 0; E(t₀) = 0

I > 0 - E(t) > 0 trasferimento

I < 0 - E(t) < 0 reversibile

vincolato

=> È passivo

- Affinché sia lineare ⋏ V ∈ R primaria potenza, non argomento di altre funzioni

⋏ indipendente da V e I

- Affinché sia permanente ⋏ indipendente da t

=> Tutti questi componenti sono naturalmente passivi

4 GENERATORE (ideale) INDIPENDENTE DI TENSIONE impone tra A e B una V(t)

V(t) = f(t) = costante

cos(t)

e^t ...

I(t) = qualsiasi ↔ determinata dal circuito

es.

V(t) I(t)

A +

V_R(t) R

-

B

[ VR(t) = V(t) = f(t) = 3 [V]

R = 5 [Ω]

Ir = VR = 3 [A]

R 5

LKC : I(t) - I_R = 0

I(t) = I_R = V(t) = 3 [A]

R 5

P(t) = V(t) · I(t); I(t) ≥ 0 trasferimento reversibile => ATTIVO

non vincolato

∫ P(t) dt = ∫ V(t) I(t) dt ≥ t ≥ 0

- ∞ - ∞

E IDEALE perché non tengo conto di alcuni fenomeni

5. GENERATORE (ideale) INDIPENDENTE DI CORRENTE: impone una I(t)

costante

I(t) = g(t) = cos(t)

e^t

V(t) = qualsiasi

es.

A R = 4[Ω]

I(t) = 2 [A]

B I_R = I(t) = 2 [A]

V_R = R I_R = 8 [V]

V_R = V(t) = 8 [V]

Nullore: rete 2-p

• I₁, I₂
• V₁, V₂

Nullatore:

• è un cortocircuito
• è circuito aperto

Noratore:

• Non impone né tensione né corrente
• è attivo

V₁ = 0

I₁ = 0

I₂ e V₂ qualsiasi

determinati dal circuito

le equazioni riguardano solo le grandezze relative alla 1 porta

Esrema idealizzazione dei generatori controllati

• VCVS

V₁ I₁

V₂:

V₂ = AV₁

• I₁ = 0
• V₁ = V₂/A
• lim_A→∞ V₁ = lim_A→∞ V₂/A = 0

Nullore ≡ VCUS il cui guadagno (α)

Transistor:

• VCCS
• I_C = g_mV_be

• I_SB = 0
• V_BE = lim_gm→∞ I_C/g_m = 0

Transistor equivalente a un nullore sbilanciato

Amplificatore operazionale (OP-AMP ideale)

• VCVS

A≡

V_IN

• I_IN = 0
• V_o = AV_IN
• V_IN = lim_A→∞ V_o/A = 0

Per A→∞ operativo equivalente a un nullore sbilanciato