Appunti Elaborazione Statistica dei Segnali M - Parte 5

Filtri Analogici

Schema generale

b_n dⁿ N_o(t) + ... + b₁ d/dt N_o(t) + b₀N_o(t) = Q_n dⁿ S_i(t) + ... + Q₁ d/dt S_i(t) + Q₀ S_i(t)

L = {

dS_i(t) / dt |_t=0 = ... = dⁿS_i(t) / dtⁿ|_t=0=0

dN_o(t) / dt |_t=0= dN_o(t) = ... = dⁿN_o(t) / dtⁿ |_t=0 = 0

No cariche nei condensatori e negl'induttori

b_nSⁿ V_o(s) + ... + b₂ S²V₆(s) + b₀ V_o(s) = Q_m s^MV_i(s) + ... + Q₁ S V_i(s) + Q₀V_i(s)

H(s) = V_o(s) / V_i(s) = m=1 H₀∏_i=1^M (s-z_i)/ (s-p_i)

= H(jw) = |H| = H(w) e^jΔ(w) risposta in Frequenza

jw - z_i = |H₀|∏_i=1^m |γ| / ∏_i=1ⁿ |γ_pi(w) ; θ(w) = arg(H_b) +  ^m_i=1 γ_zi(w) -  ⁿ_i=1 Δp_i(w)

{_{H0=0 ; H0=2}}

Per motori sperimentali sono stati presentati metodi di approssimazione in termini di FUNZIONE DI ATTENUAZIONE

In fine

L(w₂^N) = 1 + w^2N

Da L(w₂ⁱ) dobbiamo derivare H(s)

w = _s⁄i

L(-s²) = L(-s²)^N = ∏_i=1^2N (s - z_i)

z_i = {e^-(2i-1)π/τ e^{i -(2i+1)π/τ} N pari

Notiamo che |z_i| = 1 (Zeri di L(-s²) è sulla circ. unitaria)

N dispari

Ne devo prendere 1 per ogni coppia allora prendo solo quelli nel semipiano negativo

Come anticipato prima per ogni z_i esiste il suo negativo

Poiché N zeri di L(-s²) devono essere selezionati come poli di H(s) noi selezioniamo quelli nel semipiano sinistro del

N.B.

A(0)=

• A_c N è dispari
• ∅ N è pari

L (-5)=L + ε² T_N² (S_i) = Π / i=1 (5-Z_i)

γ tra sono su un ellisse di equazione

(Ω² / sinh² (u) ) + (W² / cosh²(u) ) = 1

con u = ± 1/N sinh^-1(1/ε)

N=5

Q_i = ± sinh (1/N sinh^-1 (1/ε)) sin (2i-1/2N Π)

Z_i= ± cosh (1/W sinh^-1 (1/ε)) cos (2i-1/2W Π)

• i=1 , ..., N

H(s) = H₀ / i=1 (s-Q_i)

H₀ =

i=1 (1-Q_i) N dispari

i=2 (1-Q_i) N pari

N ≥ cosh^-1 (JD) / cosh^-1(w_c/w_p)

con

D = 10^{〈A_c/10〉 -1} / 10^{〈A_c/10〉-1}

Infine

∑_m=0^N-1h(mT)[cos(wT)sin(wmT) - cos(wmT)sen(wT)] = 0

∑_m=0^N-1h(mT)sin(wτ - wmT) = 0

Soluzione: date

τ = (^N-1/₂) T

h(mT) = h((N-1-m)T) con 0 ≤ m ≤ N-1

Ritardo di fase costante per i filtri FIR

h(mT) è simmetrico rispetto al punto centrale

N+1/2 gradi di libertà

N/2 gradi di libertà

In questo caso si prediligono quelli dispari poiché mi restano più gradi di libertà.

φ²_NDC γ(w) = -τω + γ₀ (considero nel caso γ₀ = π/2)

Con alcune manipolazioni matematiche si arriva a

H(t) =

h(mT) z^m = h(0) +

h(-mT) z^m + h(mT) z^m

H(z) = ∑ a_n (z^-n + zⁿ)

con a_n = {h(0) m=0, 1h₂ other}

Tuttavia il filtro è ancora non causale.

Filtro causale

Poiché stiamo usando h(nT) con

N-1 / 2 ≤ n ≤ N-1 / 2 introduciamo un time shift.

H'(z) = z^{-N-1 / 2} H(t)

In termini di risposta in frequenza z = e^jwT

z = e^{-j(N-1 / 2)T} e^{j(-N+1 / 2)T}

con |e^-jw(T-mt)| = 1

-> 3 [ms] shift simmetrica rispetto al punto centrale = 9.5 msc

Progetto del filtro LP

H(w) = {1 com |w| ≤ w_c ||

o w_c ≤ |w| ≤ w_s / 2}

h(mT) = 1 / w_s ∫ h(w) e^jwmt dw

= 1 / w_s e^jwmt = e^jwmt / jmw_s

Specifiche del filtro e minimo ordine

A_p = 20 log₁₀ ^{1 + δ_p}/_{1 - δp} ripple in PB

A_a = -20 log₁₀ δ_a ripple in AB

B_t = ω_s - ω_p banda di transizione

Specifiche ➔ Filtro Design ➔ coefficenti del filtro

Target

Modulo

M_t(ω) = { 1, 1∣ < ω ∣ ≤ ω_c0, ω_c < ∣ ω ∣ ≤ ω_s }

⇒ M(ω) = ∣ H(ω) ∣ = ^ω_n/₂ ∑ a_k cos (ω_k T)

Per tenere conto di come differisce M(ω) da M_t(ω) definiamo una funzione errore

E(ω) = W(ω) ( M(ω) - M_t(ω) )

W(ω) = { 1, ∣ ω ∣ ≤ ω_p δ_p / δ_a, ω_a ≤ ∣ ω ∣ ≤ ω_s / 2 }

Trasformata discreta di Fourier

La DFT è una funzione continua nella variabile "f" e prende in input un segnale tempo discreto.

X_d(f) = ^∞∑_m=-∞ X(mT) e^-j2πfmT

• X_d(f) è una funzione periodica
• T è un fattore di scala e può essere omesso
• Nelle applicazioni reali abbiamo N campioni di X(mT) e ne vogliamo conoscere la caratterizzazione di Fourier

Campioniamo il periodo di base di X_d(f) in N punti dove X_d(f) è stimato con N campioni nel tempo.

X_d(f)_k = ^N-1∑_m=0 X(mT) e^-j2πfmTcon k = 0, ..., N-1

L⥬X(mT), la nuova notazione si indipendente dal tempo.

X_k = ^N-1∑_m=0 X_n e^-j2πkm/N

Questo è la trasformata discreta di Fourier (DFT).È quindi possibile definire la trasformata inversa IDFT

X_m = ¹⁄_N ^N-1∑_k=0 X_k e^j2πkm/N

all'iterazione 2 - 1

i = 0, 1, ..., ^N/₂ - 1

X_{L-1, i, 0}(0) = X_{L, 2i}(0) + W_N° X_{L, 2i+1}(0) ; X_{L-1, i, 0}(1) = X_{L, 2i}(0) - W_N° X_{L, 2i+1}(0)

X_{L-1, i, 0}(0) = X_{L, i}(0) + Wⁱ_rNX_{L, i, 3}(0) ; X_{L-1, i, 1}(1) = X_{L, i, 2}(0) - Wⁱ_rNX_{L, i, 3}(0)

X_{L-1, N/2}(0) = X_{L, N}(0) + Wⁱ_rNX_{L, 2N}(0) ; X_{L-1, N/2}(1) = X_{L, N+2} (0) - Wⁱ_rNX_{L, a}(0)

Esempio con N=8

Come si può conoscere che è X_{L, i}(0)?

Basta invertire i bit della rappresentazione binaria di i