Appunti Elaborazione Statistica dei Segnali M - Parte 3

Problemi nell'indipendenza delle stime

L'idea è che ho i campioni da -N a N e mi devo procurare un certo numero di stime indipendenti quindi divido i campioni in diverse finestre. Il bias non cambia ma la varianza dovrebbe essere 1/4 di quella precedente. Questa è la teoria ma ci sono in pratica alcuni problemi:

1. Abbiamo supposto che le mie stime siano indipendenti, cioè i campioni rossi devono essere indipendenti da quelli blu ma non sarà così perché gli ultimi campioni rossi saranno molto simili ai primi campioni blu. E così via. Non è vero che i campioni su cui faccio le stime sono indipendenti e quindi le stime non saranno indipendenti.
2. Supponiamo di avere in totale N campioni e vorremmo farci w finestre e per semplicità non facciamo overlap. Questo vuol dire che nella finestra rossa ci sono N/w campioni come nelle altre finestre, quindi ogni blocco di stima non usa tutti i campioni N di cui poteva disporre ma ne usa un numero che è tanto più piccolo quanto più aumenta w.

piccolo tanto più uso un numero di finestre alto. Ma il biassvaniva asintoticamente solo per N che tende all'infinito quindi aumentando il numero difinestre diminuiscono il numero di campioni per ogni finestra e di conseguenza il bias cresce.

L'unico modo per evitare ciò è usare un altro stimatore. L'idea è che visto che io voglio ridurre la varianza il bias inevitabilmente aumenterà, e dato che il bias è una deviazione tra il profilo vero e il profilo che stimerò, voglio trovare il modo che tale deviazione si concentri in caratteristiche di questo profilo che meno mi interessano. Ad esempio a volte mi occorre sapere se ci sono picchi, altre volte dove sono i picchi, quanto sono alti ecc. Osservo lo spettro per sapere cose diverse, quindi poiché so che c'è il bias è quello che vedrò non sarà lo spettro vero voglio che quello che sto cercando non venga alterato troppo dalla polarizzazione.

Per fare ciò uso il Periodogramma modificato che utilizza sempre le finestre per ridurre la varianza ma poi fa un operazione ulteriore. La modifica sta nel fatto che io prima di inserire un campione dentro il meccanismo del Periodogramma lo moltiplica per un coefficiente wt che dipende dalla sua posizione dentro la finestra. Questo mi da dei gradi di libertà. In questo caso quando faccio la convoluzione restituisco per quella frequenza f la media un valore che è la media dei valori nell'interno, ma poiché i valori nell'interno sono tutti uguali al mio valore centrale poiché il profilo è liscio fare questa media non è un problema. Se avessi usato il segnale precedente avrei restituito un valore sballato poiché avrei restituito la media non solo del valore centrale ma anche di frequenze molto lontane dalla centrale. C'è una lista di profili di wk da cui è possibile prenderli per utilizzarli a seconda del nostro.scopo. Supponiamo di avere un profilo spettrale e sappiamo che per noi lo spettro è la distribuzione di potenza lungo l'asse delle frequenze, se io potessi predisporre un filtro con una certa banda attorno ad una certa frequenza f barrato tutte le volte che voglio sapere quale è la potenza che esce dopo aver filtrato con tale filtro il mio segnale x posso prendere la barra del filtro integrare lo spettro di potenza lungo quella banda e otterrei la potenza in uscita. Ora l'idea è di far sì che questo filtro sia il più stretto possibile attorno alla frequenza f barrato. Idealmente, se riuscissi a fare un filtro con una banda estremamente stretta attorno a f barrato e calcolare la potenza che esce dopo aver fatto questo filtraggio dividendo per la banda infinitesima del filtro, otterrei una stima dello spettro di potenza. Perché otterrei quanta potenza è concentrata intorno a f barrato. Risposta impulsiva del filtro più stretto cheposso pensare di fare secondo questo criterio che però lascia passare f barrato. Mi manca adesso la potenza in uscita dopo il filtraggio. Già so che per calcolare la potenza in uscita di un segnale filtrato con una certa risposta impulsiva basta che io faccia: potenza_uscita = potenza_ingresso * |H(f)|^2 Questo non è uno spettro, è la potenza in uscita dal filtro, ci stiamo però dimenticando di dividere per la banda del filtro. Quello che in genere si fa è usare la formula così come è, supponendo che la banda del filtro sia costante e indipendente da f barrato. Se è così vuol dire che io dovrei dividere per una costante che è indipendente da f barrato. Questo di sicuro fa cambiare il valore ma non il profilo spettrale quindi posso supporre che esista una costante k che è l'inverso della banda del filtro più stretto possibile attorno a f barrato. Se io plotto il profilo di f barrato vedo che quello che sto perdendo è la moltiplicazione.per uno scalare. Quindi tutte le caratteristiche spettrali che voglio vedere sono i varianti rispetto alla banda del filtro che ho appena calcolato. In pratica devo partire dai campioni e l'idea è che da essi io stimi la Rx. Una volta fatto ciò posso fare tutto il grafico di tale espressione ed è completamente definita una volta che ho il passo di campionamento e la frequenza a cui voglio calcolare lo spettro. Basta far variare la frequenza tra -1/2pi e 1/2pi e otterrò il grafico di tutto lo spettro. Il problema è che mi serve la stima di Rx. Per definizione Rx è data da: Predizione lineare, esiste il principio di ortogonali che ci dice che se ho dei dati allineati in un vettore di v.a. reali o complesse, se voglio predire in base a questi dati una v.a. w scalare reale o complessa posso predisporre un predittore lineare definito da dei coefficienti da a0 a an-1 supponendo che siano n i dati che ho. Tali coefficienti li posso ordinare in un

vettore a tale percui la mia stima è:Ha la stessa correlazione di un processo bianco per questo W viene chiamato sbiancatore. Lacorrelazione in questo caso è fatta come una delta di Croneker, quindi il suo spettro sarà piattopoiché per il teorema di Wiener - Kinchine per sapere lo spettro di potenza di un processostazionario posso trasformare la correlazione e poiché la correlazione è nulla eccetto in Eminquando la vado a trasformare ho uno spettro piatto. Dunque so che in uscita avrò uno spettropiatto e so anche che l'integrale su tutto lo spettro da - 1/2P a 1/2P è la potenza del processoche è pari ad Emin. So anche che epsilonk esce da un filtro ed è quindi pari allo spettro dipotenza in ingresso moltiplicato per il modulo quadro della funzione di trasferimento del filtro.L'idea è quella di prendere questa uguaglianza e rovesciarla per tentare una stima dello spettrodi potenza.Se si ha un

Il processo che è tempo discreto e stazionario può essere decomposto in due componenti: una componente predicibile e una componente regolare. Quindi, il campione xk del tuo processo stazionario può essere scritto come la somma di un campione xk di un processo predicibile e un campione xk di un processo regolare.

In pratica, questo teorema afferma che ci sono due grandi spazi, quello dei predicibili e quello dei regolari, e qualsiasi processo può essere decomposto e ha una componente predicibile e una regolare. Inoltre, queste due componenti sono ortogonali tra di loro.