Appunti Elaborazione Statistica dei Segnali M - Parte 4

con m_i = 2

lim_z→ρi [(X(z) + c_i) z^-m] = lim _z→ρi d/dz [(t - ρ_i)² X(z) z^m-1]

Proprietà della Trasformata z

• linearità

Z[α X₁(mT) + 5 X₂(mT)](z) = α Z[X₁(mT)](z) + b Z[X₂(mT)](z)

Dim.

Z[α X₁(mT) + 5 X₂(mT)](z) = ∑_m=-∞^+∞ (α x₁(mT) + b x₂(mT)) z^-m

= α ∑_m=-∞^+∞ x₁(mT) z^-m + b ∑_m=-∞^+∞ x₂(mT) z^-m

= α X₁(z) + b X₂(z)

N.B. z^-1[α X₁(z) + x₂(z)](mT) = α x₁(mT) + b x₂(mT)

• Time SHiFT

Z[x(m+ m₀T)](z) = z^m₀ X(z) com m₀ ∈ ℤ

Dim.

Z[x(m₁+ m₀T)](z) = ∑_m=-∞^+∞ x(m₁+m₀T) z^-m = ∑_m=-∞^+∞ x(mT) z^-[r-m₀]

= z^m₀ ∑ _r=-∞^+∞ x(rT) z^-r = z^m₀ X(z)

• CAMBIO DI SCALA (Completa)

Z[W^m x(mT)] = X(Wz) W,ω ∈ ℝ

Z[δ^m x(mT)] = X(z/ω)

Dim.

Z[W^m x(mT)] = ∑_m=-∞^+∞ [W^m x(mT)] t^-m = ∑_m=-∞^+∞ x(mT) (Wz)^-m = X(Wz)

• Convoluzione reale

  _k=-∞ ∑^∞ X₁(kT) X₂(mT-kT) = X₁(z) X₂(z)

• Teorema del valore iniziale

  z-trasformo nella forma

  X(z) = N(z) / D(z) = _k=0 ∑^∞ cₖ z^-k / zⁿ + _i=1 ∑ⁿ bᵢ z^n-i

  Se M ≥ N ⇒ X(mT) = 0 ∀ m < 0

  Per un segnale tempo discreto consideriamo sempre un tempo iniziale t=0

• Teorema del valore finale

  X(∞) = lim_z→1 (z-1) X(z)

  E usato per determinare lo stato stazionario del segnale (sistema)

Alcune trasformate z di segnali elementari:

• Impulso

  X(mT) = δ(mT) X(z) = _m=-∞ ∑^∞ δ(mT)z^-m = 1 _m=0 0 m≠0

  X(mT) = δ(mT-mT) ⇒ X(z) = z^m_m=-∞ ∑^∞ δ(mT) = z^m

  Proprietà dello TIMESHEET

X(t) = ¹/_{(z² - z)(z + ¹/2)}

1. Th. delle unità inizialei_N = 0, n = 2 ⇒ X(mt) = 0 ∀ m ∈ 0
2. Fermione integrandeI(z) = X(z)z^m+1 = ^zm/_{z(z - 1)(z + ¹/2)}3 poli      z₁ = 0,    z₂ = 1,    z₃ = ¹/₂I(z) ho un polo in zero   ⇒   I(z) Devo essere calcolato separetemente
3. Calcolo X(mt) con m = 0

I(z) |_m=0 = ¹/_{z(z - 1)(z + ¹/2)}

X(0) = lim_z→0 I(z)|_m=0 + lim_z→1 I(z)|_m=0 + lim_z→1/2 I(z)|_m=0

= ¹/_{(z + 1)(z + 1)}|_z=0 + ¹/_{z(z + 1)}|_z=1 + ¹/_{z(z - 1)}|_z=1/2 =

Tempo invariante

La risposta del sistema ad un input arbitrario non dipende dal tempo dell’applicazione dell’ingresso.

y(mT - kT) = R{ x(mT - kT) } ∀k ∈ Z

Esempio

y(mT) = R{ x(mT) } = 7x²(mT - T)

è tempo invariante

R{ x(mT - kT) } = 7x²(mT - T - kT) = φ(mT - kT)

y(mT) = R{ x(mT) } = (mT)² x(mT + 2T)

R{ x(mT - kT) } = (mT)² x(mT + 2T - kT) ≠ y(mT - kT)

Causalità

Possiamo sapere se un sistema è causale se le sue risposte non dipende dai valori futuri in ingresso.

Sistema causale ⇒ {

• x_I(mT) = x_c(mT) ∀m ≤ k
• R{ x_I(mT) } = R{ x_c(mT) } ∀m ≤ k

Stabilità di un sistema in termini di funzioni di trasferimenti

y(mT) = h(mT) * x(mT)

dominio z

Y(z) = ∑h(mT) {z} X(z)

∑h(mT) = Y(z) / X(z) = H(z)

Funzione di Trasferimenti

Per un generico sistema digitale LTI la funzione di trasferimento può essere ricavata a partire dalle equazioni alle differenze:

y(mT) = ∑_i=0^N a_i x(mT-iT) - ∑_j=1^N b_j y(mT-jT)

z-trasform → incremento , time - shift

Y(z) = ∑_i=-∞^N a_i z⁻ⁱ X(z) - ∑_j=1^N b_j z⁻ʲ Y(z)

⇒ H(z) = Y(z) / X(z) = ∑_i=0^N a_i z⁻ⁱ / 1 + ∑_j=1^N b_j z⁻ʲ

Lo scopo è imporre ∑_k=-∞^+∞ |h(kT)| < ∞ in una funzione di trasferimento.

h(mT) = z⁻¹ [H(z)|{mT}] = 1 / (2πj) ∮_Γ H(z)z⁻(m+1) dz

Um sistema LTI causale

p = ∑_i=1^p ℓ_co [H(z)] z⁻(m⁻¹)

Consideriamo il sistema con MES (Td . solves indide)

Realizzazione diretta

Hp.: Sistema digitale causale LTI

H(z) = ^Y(z)/_X(z) = ^{∑_i=0n a_i z-i}/_{1 + ∑i=1^tbiz^-i} = ^N(z)/_{1 + D(z)}

⇒ Y(z) (1 + D(z)) = N(z) X(z)

Y(z) = N(z) X(z) - D(z) Y(z)

Questa rete rappresenta le funzione di trasferimento iniziale? D(z)? N(z)?

Entrambi i termini rappresentano i sistemi non ricorsivi

Consideriamo che N(z) (e idem applico per D(z))

N(z) = ∑_i=0^w Q_i z^-i = Q₀ + z^-1∑_i=1 Q_i z^-i+1 = Q₀ + z^-1N₁(z)

Le Diverse Reti

Modulatore e impulsi

Tool matematico     Formule somme di Poisson∑_m=-∞^+∞ χ(mT) = 1/T ∑_m=-∞^+∞ ∫ χ(mT) (mβs)Dove χ(t) è un segnale tempo continuoevoluzione su t = mT

Si parte da χ(t) definiamoun segnale tempo discreto edimponiamo χ(mT) = 0 per m < 0

Di conseguenza applichiamo le formule di Poisson a unsegnale χ(t) = 0 per t < 0. Sappiamo anche che in caso didiscontinuità le somme di Poisson nel dominio diFourier converge alle media del limite destro e sinistro.

∑_m=-∞^+∞ χ(mT) = ∑_m=-∞^∞ χ(mT) + lim_t→0 χ(t) ⊆ ∑_m=1^∞ χ(mT) == χ(0^-) + χ(0⁺) + ∑_m=1^∞ χ(mT)---------2

Quindiχ(0⁺) + ∑_m=0^∞ χ(mT) = 1/T ∑_m=-∞^∞ χ(mβs)---------2

• Imponiamo χ(0) = χ(0⁺) per ottenere il nostro segnale DT

Processo

x(t) e y(t) come un segnale tempo discreto

Filtro anti

Aliasing tale che

x(s)=∅₁x+s₂

Seguendo questo schema è possibile mappare il metodo utilizzato nel design del filtro analogico nelle caratteristiche del filtro tempo discreto.