Appunti Economia politica, anno 2023/2024

L’INSIEME DI TUTTE LE CURVE DI INDIFFERENZA, DETTO “ MAPPA DI INDIFFERENZA”

FORNISCE UNA DESCRIZIONE COMPLETA SULLE PREFERENZE DEL CONSUMATORE

C’è un ulteriore assioma che normalmente viene supposto valere per le curve di

indifferenza

4 assioma LE CURVE DI INDIFFERENZA SONO CONVESSE.

L’insieme dei punti che stanno sopra

la curva prende il nome di epigrafe.

Data una qualsiasi coppia

nell’epigrafe di una curva convessa,

il segmento che li unisce sta

all’interno dell’epigrafe ma non tutte

le coppie di punti nell’epigrafe di

una curva concava, se uniti, restano

nell’epigrafe stessa.

Anche in questo caso la curva è

convessa poiché i punti che stanno

nell’epigrafe, se collegati, restano

nell’epigrafe

Si può fare una distinzione tra CDI strettamente convesse(fig 1) e debolmente

convesse(fig 2)

Tale proprietà ha diversi modi con cui può essere interpretata dal punto di vista

economico. Ci concentriamo su uno di essi.

Consideriamo una curva di indifferenza strettamente convessa. La sua stretta

convessità implica che riduzioni costanti della quantità posseduta di uno dei due beni

(nel caso raffigurato del bene ‘x’) devono essere rimpiazzate da aumenti crescenti del

bene ‘y’. Il bene ‘y’, per così dire, sostituisce il bene ‘x’, ma solo in maniera imperfetta:

di conseguenza il consumatore accetta di cedere quantità costanti del bene ‘x’ solo se

viene «risarcito» con aumenti crescenti di bene ‘y’ (La stretta convessità delle curve di

indifferenza sta dunque a indicare che i beni sono sostituti imperfetti). Questo viene

definito “caso intermedio”.

Consideriamo ora il caso di una curva di indifferenza debolmente convessa: una retta

decrescente. In questo caso la convessità debole fa sì che riduzioni costanti della

quantità consumata di un bene devono essere rimpiazzate da aumenti costanti della

quantità consumata dell’altro. In questo caso si dice che un bene è sostituto perfetto

dell’altro.

Un esempio di questo caso si ha se consideriamo come beni ‘x’ la quantità di quaderni

piccoli e come bene ‘y’ quella di quaderni grandi. Supponendo che la quantità di carta

di un quaderno grande sia doppia di quella di un quaderno piccolo un consumatore

che è interessato soltanto alla quantità di carta sulla quale scrivere sarà sempre

disposto a rimpiazzare due quaderni piccoli con uno grande.

Questo viene definito “caso estremo”.

Ulteriore caso estremo è quello di beni perfettamente complementari (ovvero beni che

vanno consumati insieme)

??????????????

In sintesi: Rapporto di impiego

Riduz costante di un costante- PERFETTA

bene deve essere

Rapporto di COMPLEMENTARIETA’

rimpiazzato da aumento

sostituzione costante – cost dell’altro-

PERFETTA IMPERFETTA

SOSTITUIBILITA’ GRADO DI SOSTITUIBILITA’ FRA

SOSTITUIBILITA’ BENI:

Esiste un indicatore del grado di sostituibilità di un bene con l’altro. Si tratta del

cosiddetto saggio marginale di sostituzione. Esso è definito come il rapporto tra le

variazioni delle quantità consumate che lasciano il consumatore indifferente (cioè,

sulla stessa curva di indifferenza).

Prendo un paniere a, da cui sottraggo una certa quantità di bene x e aumento di una

certa quantità il bene y( ∆x < 0; ∆Y> 0). ∆x e ∆y così individuati stanno sulla CDI, cioè,

lasciano il consumatore indifferente. Consideriamo il loro rapporto:

Δy =SMS ( rapporto/ saggio di sostituzione)

Δx

Es: ∆x= 10, ∆y=12 12/10= 1,2 cioè la quantità di y che il consumatore vuole

affinché rinunci ad una unità di x.

Il pendice ‘I’ sta appunto a indicare che le due variazioni di cui si considera il rapporto

non devono spostare il consumatore dalla curva di indifferenza iniziale.

Dal punto di vista geometrico, SMS è pari al coefficiente angolare della retta

secante la curva di indifferenza nei punti a e b.

Va ancora osservato che essendo un rapporto tra variazioni di segno opposto, il saggio

marginale di sostituzione è una grandezza negativa (la retta secante la curva di

indifferenza in a e b è decrescente). È evidente che il valore di questo rapporto

dipende dall’entità delle variazioni considerate.

Se anziché considerare le variazioni ∆x e ∆y che fanno passare il consumatore dal

paniere a al paniere b considerassimo le variazioni ∆x′ e ∆y′ che fanno passare il

consumatore dal paniere a al paniere b′, il saggio marginale di sostituzione sarebbe

diverso, in particolare sarebbe maggiore (minore in valore assoluto) e viene letto come

coefficiente angolare della retta secante da cdi nei punti a e b’, la retta secante la

curva I in a e b′ è sempre decrescente ma risulta meno inclinata di quella secante in a

e b. A seconda dell’ampiezza della variazione iniziale ∆x, trovo un ∆y e di conseguenza

un SMS diversi.

Questo elemento costituisce un limite della nozione di saggio marginale proposta, in

quanto fa dipendere il grado di sostituibilità fra due beni dall’ampiezza delle variazioni

considerate. Per evitare questa arbitrarietà si conviene di considerare variazioni

“molto piccole” o “infinitesimali” o “marginali” delle quantità consumate dei due beni.

In tal caso se consideriamo variazioni di ‘x‘ e di ‘y’ via via più piccole, cosicché lo

spostamento lungo la curva di indifferenza dal paniere a porti a un paniere b sempre

più vicino ad a (anche se non coincidente con esso), la retta, da secante che era,

tende a diventare tangente alla curva di indifferenza nel punto a, e SMS diventerà il

coefficiente angolare della retta tangente la cdi nel punto a.

Dal punto di vista matematico se consideriamo variazioni infinitesime, il saggio

marginale di sostituzione andrebbe così ridefinito:

SMS = lim ∆x→0 però, per semplificare la notazione e non dover più indicare

l’operatore lim∆x→0, si conviene di denotare le variazioni infinitesimali con i simboli dx

e dy, anziché con i simboli ∆x e ∆y. Scriveremo pertanto:

ⅆ y

=

SMS ⅆ x

In definitiva, il SMS è il rapporto tra le variazioni (marginali) delle quantità consumate

che lasciano il consumatore indifferente (ovvero sulla stessa cdi)

C’è un’ultima osservazione: data una curva di indifferenza, il saggio marginale di

sostituzione varia a seconda di dove si colloca il paniere. In generale quindi scriveremo

SMS(x, y) per richiamare il fatto che il saggio marginale di sostituzione è una funzione

di x e di y.

Nel caso di sostituti perfetti, SMS è costante lungo tutta la cdi e corrisponde al

coefficiente angolare della stessa cdi.

SCELTA DEL PANIERE OTTIMO

Abbiamo ora tutti gli elementi per individuare il paniere ottimo, cioè il paniere

preferito fra quelli accessibili.

Rappresentiamo sul grafico la retta di bilancio e una curva di indifferenza che

attraversa la retta di bilancio.

Il paniere a non è ottimo perché chiaramente inaccessibile poiché sta sopra la

 rdb

B è accessibile ma non è il paniere ottimo poiché b è un paniere interno al

 vincolo di bilancio è sempre possibile individuare diversi panieri, come ad

accessibili,

esempio i panieri b′, b′′ e b′′′, che risultano al tempo stesso: in

strettamente preferiti a b,

quanto ancora interni al vincolo di bilancio, e in

quanto contenenti quantità maggiori di almeno un bene e non minori dell’altro

Deduciamo da ciò la seguente regola:

“Un paniere ottimo non può essere rappresentato da un punto interno al

vincolo di bilancio” scarto pertanto tutti i panieri che stanno sopra e sotto la rdb.

Consideriamo allora il paniere c.

 Poiché b’ è preferito a b; poiché b e c appartengono alla stessa curva di

indifferenza si ha b ∼c -- >per transitività si ha che b′ ≻ c, oppure b′′ ≻ c,

oppure b′′′ ≻ c.

Pertanto, un paniere come c non può essere un paniere ottimo.

Deduciamo così la Regola 2:

“Un paniere ottimo non può trovarsi su una curva di indifferenza che

possiede punti interni al vincolo di bilancio”.

Siamo così in grado di caratterizzare un paniere ottimo: si tratta di un paniere che si

trova al tempo stesso: a) sulla retta di bilancio

b) su una curva di indifferenza che non ammette punti interni al vincolo di bilancio.

Un paniere di questo genere può presentarsi in due modi:

ottimo interno

ottimo di frontiera

il paniere e’ costituisce un ottimo «interno», in quanto non si trova agli estremi del

vincolo di bilancio (entrambe le variabili sono positive); i panieri e′′ ed e′′′ sono invece

detti ottimi «di frontiera», perché giacciono sulla frontiera del vincolo di bilancio (una

delle due variabili è nulla). Il paniere così

individuato costituisce una posizione di «equilibrio del consumatore» in quanto, una

volta raggiunta, il consumatore non ha più convenienza a modificarla

Un ottimo interno è, come si è visto, un punto di tangenza fra la retta di bilancio e una

curva di indifferenza ed è caratterizzato dalla seguente coppia di condizioni:

spesa = reddito spesa=reddito px X+ py

 

Y= M

cdi tangente alla rdb pendenza c.d.i. = pendenza r.d.b. SMS(x;y)=

-px/ py

il paniere ottimo sarà quindi la soluzione di un sistema di due equazioni in due

incognite: x, y e tre parametri px, py, M

Le preferenze dei consumatori sono descritte da una mappa di indifferenza. Per le

curve di indifferenza incluse in questa mappa SMS è dato da:

y

(

SMS x ; y)=−2 x

Es: A( 4;1) B( 2;5) 1 1 5

⋅ ⋅

−2 −2 =−5

SMS (xa, ya) = = - SMS(xb, yb) =

4 2 2

Es: siano px= 10, py= 4, moneta disponibile= 600; calcola il paniere ottimo:

1. condizioni per il paniere ottimo:

{ ⋅ ⋅

px x+ py y=M

( ) =−px

SMS 2 ; 3 ∕ py

2. risolviamo il sistema

{ {

⋅ ⋅

+4

10 x y=600 x=80

; condizioni del paniere perfetto



⋅

−2 y ∕ x=−10 ∕ 4 y=100

Ora vediamo l’interpretazione economica:

{ ⋅ ⋅

px x+ py y=M

( ) =−px

SMS 2 ; 3 ∕ py

La seconda condizione prevede l’uguale in