Appunti Econometria dei mercati finanziari

Lezione 16/02

La volatilità non è costante nel tempo come si può notare nei grafici rappresentanti i rendimenti giornalieri, il che fa di loro una misura non vincolante. E in seguito si può notare come in corrispondenza dei crolli dei prezzi si registrano aumenti nelle varianze dei rendimenti.

Corsi strutturati su:

• Rendimenti finanziari e la loro dinamica temporale
• Rischio
• Interdipendenza tra variabili/mercati finanziari

Regressione lineare

Relazione tra variabili economiche (una dipendente dalle altre)

Yi = Β0 + Β1xi1 + Β2xi2 + ... + Βkxin + Εi

per i=1, ..., N osservazioni

variabile esplicativa per i errore

Obiettivo è minimizzare la somma dei residui al quadrato ∑ ε_i² = min

La nostra funzione obiettivo è

S(β₀, β₁, ... β_n) = ∑_i=1^N (y_i - β₀ - ∑_j=1ⁿ β_j x_i,j)²

minimizzare → derivate prime = 0

Caso semplice: 1 variabile esplicativa

Y_i = β₀ + β₁ X_i + ε_i

S(β₀, β₁) = ∑_i=1^N (Y_i - β₀ - β₁ x_i)²

1) ∂S(β₀, β₁) / ∂β₀ = 0

2) ∂S(β₀, β₁) / ∂β₁ = 0

Sistema e due equazioni:

Lezione 23/02

Le ipotesi 3 e 4 servono per verificare l'efficienza dello stimatore OLS, ovvero è minima varianza. La violazione della 4, può pregiudicare la correttezza dello stimatore.

CAPM (modello di regressione lineare) e relazione con lo stimatore OLS

CAPM: modello di equilibrio nei mercati finanziari nel quale gli investitori devono allocare le loro risorse in forme di investimento che massimizzano il rendimento atteso minimizzando il rischio (TRADE OFF RISCHIO-RENDIMENTO).

Pt = PV (Pt+1 + Dt+1)

• PV: present value (valore attuale di somme disponibili un periodo dopo)
• D: dividendo

1+rt+1 = (Pt+1 + Dt+1) / Pt

Rendimento che otteniamo possedendo nel periodo successivo.

In termini econometrici, per testare la validità del CAPM si determina un modello lineare simile a quello del CAPM aggiungendo una costante (α) e lo si stima tramite l'OLS. Se questa costante risulta essere uguale a 0 il modello del CAPM permette di spiegare la realtà, se risulta diverso vuol dire che occorre usare un modello più sofisticato

_r̅Jt = α_J + β_J r̅_mt + E_Jt

Questo si rappresenterebbe un modello lineare diverso dal CAPM poiché prevede il termine α.

lezione 02/03

Varianza dello stimatore OLS (VAR(β))

Matrice varianza-covarianza di β̂ OLS

β̂_Px1 con k fattori

∑β̂ = V(β̅_OLS) = E[(β̂_OLS - β)(β̂_OLS - β)′]

β₀ = β₀

IPOTESI VERIFICATA ( H₀: β₁ = 0 )

t - test =

se risulta significativo (≠ 0)

vuol dire che il mercato non è efficiente

se consideriamo un AR(1)

Nel caso di un AR(h) si fa un test f dove l'ipotesi nulla

H₀: β₁, β₂, β... , β_n = 0

L'autocorrelazione di solito influisce sull'efficienza del stimatore OLS

Ciò non vale nei modelli AR

Modelli di serie storica statici: Y_t = β₀ + β₁ X_t + Ε_t in questi l'autocorrelazione influisce solo nell'efficienza

Modelli di serie storica dinamici : Y_t = β₀ + β₁Y_t-1 + Ε_t

in questi, la violazione dell'ipotesi

in questo caso l'ipotesi

la violazione della

fa violare le

Proprietà modellate:

E(ε_t) = 0 applicando

E[E(ε_t | I_t-1) ⋅ E(σ_t z_t | I_t-1)]

Dato il set di informazioni I_t-1, conoscendo σ_t, possiamo portarlo fuori dal valore atteso

E[σ_t E(z_t | I_t-1)]

σ_t E(z_t) = 0 (da proprietà)E[σ_t E(z_t)] = 0

C.V.D

Ipotesi (i) OLS presentato

ARCH(1):

σ_t² = α₀ + α₁ ε_t-1²

Per garantire σ_t² > 0 sempre dobbiamo imporre due vincoli ai parametri

• α₀ > 0
• α₁ ≥ 0

Continuo proprietà dopo *

Sotto quali condizioni K > 3?

Per descrivere le caratteristiche dei mercati

per avere K < ∞ e K > 0 deve essere:

• 0 < 1 - 3α₁² < 1
• 0 < α₁ < 1/√3

Se vale questa condizione si ottiene anche

verificando la condizione sopra citata.

Se α₁ = 0 (nuvole destrutturate) σ_costante → K = 3 (mai scenderla più su ARCH)

Se 0 < α₁ < 1/√3 → K > 3

Quindi abbiamo ristretto i vincoli del modello ARCH

• Vincolo: 0 < α₁ < 1/√3

Per questa condizione il modello ARCH rispecchia le caratteristiche dei mercati e quindi può essere utilizzato per le analisi.

Problemi del modello ARCH:

• Vincoli stringenti difficilmente soddisfatti nelle pratica 0 < α₁ < 1/√3
• Per poter spiegare dati reali, è necessario stimare il modello con ritardi molto elevati.

Extremum:

• Modello GTR-GARCH

σ_t² = α₀ + α₁ε_t-1² + β₁σ_t-1² + γ₁Π[ε_t-1 < 0]ε_t-1²

Effetto di ε²_t-1 su σ²_t

• se ε²_t-1 > 0 ⇒ α₁
• se ε²_t-1 < 0 ⇒ α₁ + γ₁

Se stimiamo γ₁ ci si aspetta che γ₁ > 0

• Modello Exponential GARCH (EGARCH)

ln σ²_t = α₀ + β₁ln σ²_t-1 + α₁[| ε_t-1 | / σ_t-1 - E( | ε_t-1 | / σ_t-1 )] +

per evitare di porre vincoli per avere σ²_t > 0

γ₁ ci aspettiamo che sia negativo perché se ε_t-1 è negativo allora si amplifica su positivo σ²_t aumentando l’aspettativa di volatilità.

Es. Se oggi siamo in t e il VaR in un'assetto H ad un certo livello di probabilità α, è quel numero tale per cui Prob ( perdita ≥ VaR) = 1-α

VaR 95% orizzonte di 1 giornoProb ( perdita ≥ VaR) = 5%3% di probabilità che possiamo perdere più del valore corrispondente al 5% delle distribuzione

VaR 95%

Al 95% di probabilitàla perdita massima che possiamo ottenere è 40 $E abbiamo solo il 5% di probabilità di perdere di più.

VaR (assoluto) = W₀ - W*VaR (relativo) = E(W) - W*