Appunti di tutte le lezioni di Applicazioni di geometria descrittiva

SUPERFICI

− Geometria sintetica: le superfici sono classificate rispetto alla loro genesi, e

cioè rispetto procedimento adoperato per costruirle.

− Geometria analitica: le superfici sono classificate rispetto al grado delle

equazioni che le descrivono

− Geometria differenziale: le superfici sono considerate classi bidimensionali di

punti nello spazio che soddisfano determinate condizioni locali che possono

riguardare il piano tangente, la normale, la curvatura. Possono perciò essere

classificate rispetto alla curvatura gaussiana.

GEOMETRIA SINTETICA

Essa considera la genesi delle superfici come luoghi geometrici

Un luogo è l’insieme dei punti che soddisfano una certa condizione e che godono di

determinate proprietà.

Immaginiamo una curva che si muove nello spazio secondo una determinata legge. Il

luogo delle infinite posizioni che la curva può assumere è una superficie di cui la curva

è generatrice.

La legge del moto è anch’essa espressa per mezzo di una o più linee detta direttrice.

Esse possono essere di 5 tipi:

1. Superfici di traslazione: formate dal movimento di una curva che trasla lungo

un’altra curva.

2. Superfici di rivoluzione: formate dalla rivoluzione di una curva intorno ad un

asse.

3. Superfici di rototraslazione: formate dal movimento combinato curva che

ruota intorno ad un asse e trasla lungo l’asse medesimo.

4. Superfici rigate: superfici che hanno generatrici rettilinee. Su queste superfici è

sempre possibile disporre una riga.

5. Superfici sviluppabili: superfici che hanno generatrici rettilinee tangenti alla

direttrice, che si chiama spigolo di regresso. Queste superfici sono rigate e

hanno la proprietà di essere sviluppate nel piano.

GENESI PROIETTATA

Genesi per proiezione di una curva da un centro proprio o improprio.

Anche in questo caso la superficie è luogo geometrico, il luogo delle rette che

proiettano i punti di una curva in una relazione di natura proiettata.

Alcune superfici possono essere generate per trasformazioni omologiche di altre

superfici.

Come nel piano le coniche possono essere costruite per trasformazioni proiettive

del cerchio, così nello spazio le quadriche non rigate possono essere costruite

come trasformazioni proiettive della sfera, se consideriamo la sfera come un caso

particolare di ellissoide avente i tre assi uguali.

SUPERFICI DI INTERPOLAZIONE

In tutti i movimenti che abbiamo descritto la generatrice e la direttrice sono rigide, il

che significa che non cambiano forma durante il movimento.

Di recente, gli studi sulla modellazione digitale delle forme libere, come gli scafi delle

imbarcazioni o le carrozzerie delle auto hanno portato a equazioni parametriche capaci

di descrivere anche movimenti non rigidi.

Le superfici di interpolazione sono perciò il risultato dell’interpolazione di una o più

curve generatrici e di una o più curve direttrici.

La generalità di questa genesi permette di descrivere qualsiasi superficie, come ben

dimostrato dalle applicazioni della rappresentazione matematica.

GEOMETRIA ANALITICA

GRADO DI UNA SUPERFICIE

Dal punto di vista analitico il grado di una superficie è il grado dell’equazione che la

descrive.

Dal punto di vista sintetico il grado di una superficie si definisce ordine ed è il numero

di punti che la superficie ha in comune con una retta che la attraversa.

− Se la retta incontra la superficie in un numero finito di punti, la superficie si dice

algebrica.

− Se la retta incontra la superficie in un numero infinito di punti la superficie si

dice ricorsiva.

Le superficie algebriche godono delle seguenti proprietà:

Due superfici algebriche si intersecano secondo una curva (piana o sghemba) il cui

ordine è dato dal prodotto degli ordini delle superfici. La curva intersezione si può

spezzare in più parti di ordine inferiore.

Ne consegue che: le curve sezioni piane di una superficie algebrica hanno lo stesso

ordine della superficie.

Due superfici algebriche si intersecano secondo una curva (piana/sghemba) il cui

ordine è dato dal prodotto degli ordini delle due superfici. La curva intersezione si può

spezzare in più parti di ordine inferiore.

Consideriamo ad esempio un toro, descritto da una equazione di grado 4.

Se sezioniamo il toro con un piano otteniamo due curve di grado 2.

Se costruiamo la curva (q) intersezione del toro con un ellissoide generico, che ha

grado 2, la curva avrà necessariamente grado 8.

LE QUADRICHE

Le superf. Quadriche sono descritte da una equazione algebrica di grado 2.

Se sezioniamo con un piano queste superfici otteniamo una curva di secondo grado e

cioè una conica (propria/degenere).

LE CUBICHE

Superf. Descritte da una equazione algebrica di grado 3

LE QUARTICHE

Superf. Descritte da una equazione algebrica di grado 4.

Classificazione delle superfici rispetto alla curvatura gaussiana

La geometria differenziale non considera le figure geometriche nella loro struttura

complessiva, ma si occupa delle linee e delle superfici in un intorno di uno qualsiasi dei

loro punti.

Se una figura geometrica continua ha una determinata proprietà geometrico

differenziale in ognuno dei suoi punti è possibile dedurre delle proprietà generali

riguardanti la struttura complessiva della figura.

Studiare la curvatura di una superficie significa studiare il comportamento in un punto

rispetto al suo piano tangente.

I punti di una superficie che ammettono un piano tangente si chiamano punti regolari,

gli altri si chiamano punti singolari.

La geometria differenziale classifica le superfici rispetto alla loro: CURVATURA

GAUSSIANA.

GEOMETRIA DIFFERENZIALE

Il fascio di piani che ha n come retta di sostegno seziona la superficie secondo linee

curve, ognuna delle quali ammette una tangente in P.

L'insieme di queste tangenti costituisce un fascio di rette (di centro P) che descrive il

piano tangente alla superficie.

Il piano tangente può essere esterno alla superficie oppur può sezionarla.

− Se esterno il punto P si dice ellittico

− Se la sezione il punto P si dice iperbolico

Le linee intersezione del piano tangente con la superficie si chiamano linee

asintotiche.

Costruiamo la normale ad una superficie qualsiasi in un suo punto P e il fascio di piani

che ha la normale come retta di sostegno.

Questo fascio seziona la superficie secondo diverse curve, sezioni normali della

superficie, ognuna delle quali avrà una diversa curvatura in P.

Fra queste ci saranno due curve (dette sezioni principali) che hanno P valori massima e

minima che si chiama curvatura principali della superficie. (Eulero dimostrò che le

curvature principali appartengono a piani perpendicolari fra loro)

La curvatura gaussiana di una superficie è data dal prodotto delle due curvature

principali.

La curvatura gaussiana può essere: positiva, negativa o nulla, perché dipende dal

valore delle curvature principali.

1. Positiva: quando il prodotto delle curvature principali è positivo e cioè quando i

relativi cerchi osculatori sono della stessa parte rispetto al piano tangente la

superficie nel punto.

2. Negativa: quando il prodotto delle curvature principali è negativo e cioè quando

i relativi cerchi osculatori si trovano da una parte e dall’altra rispetto al piano

tangente la superficie nel punto.

3. Nulla: quando il prodotto delle curvature principali è nullo, ovvero quando una

delle due curvature principali è nulla, condizione che si verifica quando una

delle due sezioni principali è una retta.

Le superfici possono avere una curvatura gaussiana:

− Costantemente positiva

− Costantemente negativa

− Costantemente nulla

− Mista

La curvatura gaussiana può essere positiva, negativa oppure nulla, perché dipende

dal valore delle curvature principali.

LINEE DI CURVATURA

In ogni punto di una superficie le tangenti alle sezioni principali hanno direzioni

principali diverse. Possiamo allora costruire delle linee che appartengono alla

superficie e che hanno in ogni punto le direzioni principali di curvatura.

Queste linee si chiamano linee di curvatura della superficie, la coprono senza lacune e

sono, per costruzione perpendicolari fra loro.

Esiste però una classe di punti in cui le direzioni principali di curvatura sono

indeterminate, perché i valori di curvatura di tutte le sezioni normali sono uguali.

Questi punti si chiamano ombelichi.

Gli ombelichi sono gli unici punti di una superficie che non sono coperti dalle linee di

curvatura.

Esistono superfici interamente formate da ombelichi, e sono il piano e la sfera.

Anche in punti iperbolici può accadere che due curvature principali siano uguali.

Questi punti hanno alcune analogie con gli ombelichi. Le superfici formate da questo

genere di punti si chiamano MINIME.

In ogni punto di una superficie le tangenti alle sezioni principali hanno direzioni

principali diverse. Possiamo allora costruire delle linee che appartengono alla

superficie e che hanno in ogni punto le direzioni principali di curvatura.

Queste linee si chiamano linee di curvatura della superficie, la coprono senza lacune

e sono, per costruzione, perpendicolari fra loro.

Esiste però una classe di punti in cui le direzioni principali di curvatura sono

indeterminate, perché i valori di curvatura di tutte le sezioni normali sono uguali. Questi

punti si chiamano ombelichi.

Gli ombelichi sono gli unici punti di una superficie che non sono coperti dalle linee di

curvatura. Esistono superfici interamente formate da ombelichi, e sono il piano e la

sfera.

2 superfici che condividono un bordo sono in continuità G0

2 superfici che ammettono per tutti i punti di un bordo in comune lo stesso piano

tangente, sono in continuità G1

2 superfici sono in continuità G2 se per tutti i punti del bordo: costruita la normale e per

questa un fascio di piani, le curve intersezione dei piani del fascio con le superfici sono

nel punto in continuità di curvatura.

Strumenti diagnostici di controllo della qualità delle superfici

Lo strumento più efficace per il controllo della qualità delle superfici è il GRAFICO

DELLE ZEMBRE.

Questo grafico si basa sulle isofote (curve a uguale illuminazione) che hanno la

proprietà di avere una continuità di un grado inferiore a quello della superficie a cui

appartengono oppure sulle linee di riflessione, ottenute per proiezione di rette parallele

secondo una direzione assegnata.

10° Lezione

SUPERFICI RIGATE

Una superficie rigata o più semplicemente una rigata è formata dal movimento di una

linea retta nello spazio secondo una determinata