Taccuino appunti Fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

GEOMETRIA DESCRITTIVA

• STUDIA LE PROPRIETÀ ATTRAVERSO UN MODELLO DIGITALE CHE DESCRIVE LE QUALITÀ DEL MODELLO DI PROGETTISTA.
• RAPPORTO CON ESATTEZZA DI UNA FIGURA GEOMETRICA DA UN SPAZIO 3D IN UN SPAZIO 2D.
• FINALITÀ: INDAGARNE LE LORO PROPRIETÀ.
• OFFRE ACCUREZZA CON CUI POSSIAMO INTERVENIRE AL NOSTRO MODELLO CON UNA GRANDEZZA DI UN µm.
• LA COSTRUZIONE - GEOMETRIA TRATTATA DI ELEMENTI ASTRATTI CON UNA VELIA DI PROCEDIMENTI CHE SI PERCORRONO NELLA REALTÀ.
• METODO DI COSTRUZIONE ESISTENZIALE – LA DIMOSTRAZIONE DI UN OGGETTO.
• VALORE ECCLESTICO DELLA RAPPRESENTAZIONE – VALORE DELLA SCOPERTA DI NUOVE PROPRIETÀ DI POLIEDRI.

METODI DI RAPPRESENTAZIONE

RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA RAPPRESENTAZIONE POLIGONALE

• DESCRIZIONE DELLE FORME TRIDIMENSI-ONALI FATTE PER MEZZO DELLE EQUAZIONI CONICHE O PER MEZZO DI EQUAZIONE NURBS.
• DESCRIZIONI DELLE FORME TRIDIMENSIONALI FATTE MEZZO DI LISTE DELLE COORDINATE DEI PUNTI, DELLE CONNESSIONI TRA QUESTI PUNTI, E DELLE FACCE DELIMITATE DALLE CONNESSIONI.

1. a)
2. b)
3. c)
4. d)

• RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA NURBS, RAPPRESENTA AZIONE DAL PUNTO DI VISTA INFORMATICO.
• RAPPRESENTAZIONE POLIGONALE E NUMERICA, PIÙ POLIGONI CI SONO, PIÙ È PRECISA.
• MENO POLIGONI
• PIÙ POLIGONI

Rapporto Matematico vs Rapporto Poligonale

• Linguaggio: Equazioni vs Liste
• Descrizione: Continua vs Discreta
• Elaborazione: Forme Continue vs Forme Discrete
• Modellazione: Geometria Accurata vs Scultorea - Approssimata
• Uso: Controllo Retorico vs Controllo Percettivo
• Dimensioni Dati: File di Piccole Dimensioni vs File di Grandi Dimensioni
• Conversioni: Da matematica a poligonale attraverso la tassellazione vs Da poligonale a matematica (problema complesso)
• Esempi di Software: Rhino, Think Design, CATIA... vs Cinema 4D, 3D Studio Max, Maya...

La conversione da matematica a poligonale è più facile da continuo a discreto, mentre il contrario è più complesso.Nei sistemi CAD i solidi sono un insieme di superfici.Su Rhino la rappresentazione è continua ma la visibilità è discretta (si vedono i poligoni) poiché altrimenti la scheda non potrebbe realizzare un chiaro-scuro su una superficie continua.Sulla rappresentazione non agisce la mesh, mentre sulla visualizzazione sì.

La linea è un insieme di punti che hanno un'inizio e una fine.Ha n equazioni.

Sulla descrizione parametrica di ogni segmento del poligono di controllo. Grazie a questo algoritmo ottengo un punto della curva e così riesco a percorrere tutti i punti della curva.

Curva di Bézier

La curva di Bézier nasce da quattro punti di controllo e riescono a descrivere delle curve molto complesse a partire da pochi punti di controllo.

Il punto di controllo definisce nel primo e ultimo segmento l'andamento delle curve alle estremità. La curva si trova nella parte concava del poligono di controllo. La curva passa soltanto per i punti estremi, non per i punti di controllo. Se modifico la posizione di un punto di controllo si modifica l'andamento globale della curva stessa. Dal punto di vista matematica si definiscono dal grado della curva, grado del polinomio che descrive quella formula stessa. Ma nelle curve di Bézier il numero dei poligoni è sempre pari al grado della curva minore. Il grado definisce la flessibilità della curva stessa.

Curve B-Spline

Funzione di base che vengono utilizzate per descrivere queste forme. Successione di Curve di Bézier incollate tra loro.

Qualità delle linee delle superfici

Una linea è bella se è liscia

• Linea di pessima qualità
• Linea di buona qualità (liscia)

Uno dei parametri che dobbiamo valutare per vedere se una linea è liscia è il fatto che esistano dei punti di flesso, che non ci siano oscillazioni casuali nel suo andamento.

L'andamento della curvatura - la curvatura della linea varia in modo fluido, continuo.

- Le loro proiezioni devono essere lisce.

La geometria differenziale

È la geometria che si occupa dello studio delle linee e superfici analizzando l'intorno dei singoli punti dell'entità, e quindi l'obiettivo di dedurre proprietà a partire dall'analisi dell'intorno infinitesimo del singolo punto.

La tangente è la retta che meglio approssima la curva nel punto P analizzato.

- Cerchio osculatore è il cerchio che bacia la curva nel punto P analizzato.

LA QUALITÀ CON CUI SI ANALIZZA L'ANDAMENTO DI UNA LINEA NON DIPENDE SOLTANTO DALLA SINGOLA ENTITÀ MA ANCHE DAL MODO CON CUI UNA ENTITÀ SI LEGA A UN'ALTRA ENTITÀ:

CONTINUITÀ DI POSIZIONE DI DUE SUPERFICI

1. UNA COPPIA CON DUE SUPERFICI CHE NON HANNO NESSUN BORDO IN COMUNE SI CHIAMA CONTINUITÀ.
2. CONTINUITÀ DI POSIZIONE IN CUI LE DUE SUPERFICI AMMETTONO SOLTANTO UN BORDO IN COMUNE (DISCONTINUITÀ DI STRISCE).
3. CONTINUITÀ DI TANGENZA - AMMETTONO ALL'INTERNO DEL BORDO ANCHE UN PIANO TANGENTE IN COMUNE (CONTINUITÀ DI POSIZIONE DI STRISCE)
4. CONTINUITÀ DI CURVATURA - DUE SUPERFICI AMMETTONO LO STESSO BORDO, LO STESSO PIANO TANGENTE E LA STESSA CURVATURA IN OGNI PUNTO DI TRANSIZIONE (CONTINUITÀ TANGENZA DI STRISCE)

CURVATURA MEDIA = (K_max + K_min) / 2; K_med

DEFINISCE UNA CARATTERISTICA DELLE SUPERFICI MINIME, DELLE SUPERFICI CHE A PARTIRE DA UN CONTORNO MINIMIZZANO L'AREA.

K_medsup minimo = 0.

POLIEDRI

SONO DELLE ENTITÀ SPAZIALI DEFINITE DA UN VOLUME COMPOSTO DA FACCE PIANE.

LE FACCE SONO LE PORZIONI DI PIANO INFINITE ESTESE DELIMITATE DA ALTRI POLIEDRI.

2- Grande Dodecaedro Stellato

Per costruirlo bisogna estendere i spigoli delle facce triangolari dell'icosaedro.

Poinsot definisce altri due poliedri regolari concavi che sono:

1. Grande Dodecaedro - in rapporto duale con il piccolo dodecaedro stellato, e grande dodecaedro stellato, di Keplero.
2. Grande Icosaedro

Le Proprietà Metriche di un Poliedro:

• Lunghezza di uno spigolo
• Ampiezza di un angolo piano
• Le misure degli angoli diedri e triedri
• Le aree delle facce e il volume del poliedro

Le Caratteristiche Tipologiche Sono:

• Numero delle facce e dei vertici
• La convessità o concavità del poliedro
• Presenza o meno di vuoti

Le relazioni tra questi elementi vengono a definire quelle caratteristiche che sono invarianti se il poliedro è sostituito da un poliedro isomorfo, cioè quello che è in corrispondenza biunivoca con il primo: faccia con faccia, vertice con vertice, spigolo con spigolo.

I poliedri convessi sono quelli che giacciono interamente nella parte di semispazio individuata dal piano di ciascuna delle sue facce. Segue che le facce poligonali e gli angoli solidi di un poliedro convesso sono sempre convessi. Ogni retta che interseca il poliedro convesso lo taglia secondo due punti, invece un piano taglia il poliedro secondo un poligono convesso.

Cubo camuso e dodecaedro camuso sono particolari perché dal punto di vista matematico, godono delle proprietà viruale. Se considerassi il simmetrico avrei una caratteristica geometrica diversa dalla prima.

Tabella come derivare i poliedri semiregolari da quelli regolari

• Sezione piana del SP simmetrica rispetto ai vertici e...

• AIIL da cubo
• AIIL da ottaedro
• AIII da dodecaedro
• AIII da icosaedro

• AI da tetraedro
• AVI da ottaedro
• AV da icosaedro

• AVI da cubo
• AIV da dodecaedro

• Sezione parallela agli spigoli del SP seguita da una sezione piana simmetrica rispetto ai vertici e...

• AVI da cubo
• AVII da ottaedro
• AIX da dodecaedro
• AIX da icosaedro

• AX da cubo
• AX da ottaedro
• AX da dodecaedro
• AXII da icosaedro

• Individuazione all'interno delle facce del SP un poligono con lo stesso numero di lati ma ruotato di un determinato angolo