Appunti di Termofluidodinamica (modulo 1)

Appunti di trasmissione del calore 2021/2022

APPUNTI DI

TERMOFLUIDODINAMICA

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Sommario

0. INTRODUZIONE .............................................................................................................................................................. 1

1. EQUAZIONI E TEOREMI DI RIFERIMENTO ...................................................................................................................... 4

2. TRASPORTO DI MASSA, EQUAZIONI COSTITUTIVE E DEFINIZIONI.............................................................................. 15

3. STRATO LIMITE ED ANALOGIE ..................................................................................................................................... 27

4. SOLUZIONI E GRUPPI ADIMENSIONALI ....................................................................................................................... 54

5. ESEMPIO APPLICATIVO, FLUSSI ESTERNI: LASTRA PIANA IN REGIME LAMINARE ...................................................... 66

6. FLUSSI ESTERNI: REGIME TURBOLENTO E VARIE GEOMETRIE .................................................................................... 81

7. FLUSSI INTERNI: REGIME LAMINARE ........................................................................................................................... 92

8. FLUSSI INTERNI: PROFILI RADIALI E REGIME TURBOLENTO ...................................................................................... 110

9. ESEMPI APPLICATIVI ................................................................................................................................................... 129

10. CONVEZIONE NATURALE .......................................................................................................................................... 141

Appunti di termofluidodinamica 2021/2022

0. INTRODUZIONE

Vi sono molti settori entro i quali la trasmissione del calore riveste un ruolo importante, la

trasmissione del calore non è infatti un argomento strettamente legato alla sola energia ma per

esempio si ricollega anche alla resistenza dei materiali e alla progettazione. Sotto è riportata in

questo senso a titolo esemplificativo una paratia, danneggiata per effetto di una cattiva

progettazione termica:

Nella tabella sottostante sono invece riassunti i meccanismi di trasporto per le diverse quantità

trasportabili, ossia l’energia, la quantità di moto e la massa:

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I meccanismi di trasporto consistono nel meccanismo molecolare (causato dal moto delle molecole

all’interno del fluido, il fluido non è un continuo ma si compone di molecole o atomi che nel loro

moto complessivo danno l’impressione di essere in presenza di un corpo continuo, ma in realtà

all’interno del corpo continuo anche quando il fluido è fermo le molecole sono in moto e lo

spostamento delle molecole non corrisponde solo a uno spostamento di massa ma anche a uno

spostamento di quantità quali energia e quantità di moto, associate alla specifica molecola, questo

meccanismo di trasporto molecolare in generale viene indicato con il nome di diffusione

molecolare), nel moto macroscopico della materia (in questo caso si fa riferimento a un fluido in

movimento, si è in presenza di un moto macroscopico evidente del fluido che determina un

trasporto delle grandezze prima citate, molto più efficiente rispetto al trasporto diffusivo, vedi

esempio del caffè zuccherato, con il cucchiaino e il moto macroscopico indotto si favorisce il

dolcificamento del caffè) e nel trasporto per radiazione. Nello specifico nel corso ci si concentrerà

sulla prima colonna della tabella precedente, ci si soffermerà sui vari meccanismi di trasporto

dell’energia: la conduzione, la convezione (ci si limiterà però ai casi in cui vi sono transizioni di fase,

l’argomento dello scambio di energia per convezione senza transizione di fase verrà infatti trattato

nell’altro modulo, TFD) e infine lo scambio termico per irraggiamento. Nel dettaglio si approfondirà

il trasporto convettivo, con particolare riferimento all’energia e alla materia, mentre gli altri

meccanismi verranno analizzati solo più superficialmente. Il trasporto molecolare dell’energia

comunemente viene chiamato conduzione del calore, il trasporto per moto macroscopico altro non

è se non lo scambio termico convettivo, infine si considererà lo scambio di energia per radiazione

(corpi a diversa temperatura scambiandosi radiazione elettromagnetica, ogni corpo infatti emette

o assorbe radiazione elettromagnetica, si scambiano anche energia, un esempio comune sta nel sole

che scambia energia con il pianeta terra).

All’interno di questa prima introduzione si fa anche chiarezza su quella che è la simbologia che verrà

impiegata durante il corso, facendo riferimento in particolare all’operatore nabla:

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L’operatore nabla applicato a una grandezza scalare, come per esempio la temperatura T, restituisce

un vettore avente le componenti sopra riportate, che prende il nome di gradiente della

temperatura. Qualora invece l’operatore nabla venisse applicato a una grandezza vettoriale, come

per esempio il potenziale V, a quel punto si potrebbero avere due possibilità, a seconda

dell’operazione che viene eseguita:

• Il prodotto scalare tra nabla e V restituisce uno scalare, si moltiplicano tra loro le componenti

omologhe per poi sommarle, si parla in questo caso di divergenza di V.

• Il prodotto vettoriale tra nabla e V restituisce un vettore, si parla in questo caso di rotore di

V.

La convenzione di somma che noi si sfrutterà, utile al fine di scrivere equazioni differenziali in forma

più semplice, è sotto riportata (entro questo esempio V e U sono vettori di tre componenti e si

desidera calcolare il prodotto scalare): 3

⃗ ⃗

∙ = ∑ =

=1

L’equazione viene scritta omettendo il simbolo di sommatoria ogniqualvolta gli indici sono ripetuti,

senza alcuna possibilità di far confusione ma semplificando la lettura dell’equazione. In presenza di

due indici ripetuti, come nell’esempio precedente, essi andranno sommati da uno a tre, in caso

contrario non si procede con la somma. Questa convenzione di somma, utile nelle operazioni

vettoriali e tensoriali, è stata storicamente introdotta da Einstein, durante lo sviluppo della teoria

della relatività generale.

Un altro strumento al quale occasionalmente si farà ricorso sta nel teorema di Gauss o della

divergenza o teorema di Ostrogradskij (formalmente andrebbe chiamato teorema di Gauss-

Ostrogradskij della divergenza, infatti il primo ebbe l’idea ma diede solo una dimostrazione parziale,

fu il secondo a fornire una dimostrazione completa):

Il teorema della divergenza afferma che se, assegnato un vettore V , si procedesse con il calcolo della

j

divergenza (si ricordi in questo senso la convenzione di somma prima introdotta), si otterrebbe in

uscita uno scalare, e se si procedesse infine con un’integrazione su di un volume chiuso della

quantità scalare così ottenuta, si avrebbe una certa quantità. Questa stessa quantità per quanto

afferma il teorema di Gauss la si potrebbe ottenere se si prendesse il vettore, in particolare la sua

componente normale alla superficie, e lo si andasse a integrare sulla superficie. Le proprietà della

divergenza del vettore sono così riassumibili nelle proprietà che ha il vettore su di una superficie. Si

tratta di un’importante relazione che esiste tra un’integrale esteso a un volume e l’integrale esteso

alla superficie che racchiude quel dato volume. L’integrale sul volume della divergenza coincide con

l’integrale sulla superficie della componente normale del vettore.

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1. EQUAZIONI E TEOREMI DI RIFERIMENTO

Le equazioni di conservazione della massa e della quantità di moto possono essere scritte secondo

due differenti modalità, vi sono due possibili forme per esprimere il fatto che la massa e la quantità

di moto sono grandezze che si conservano e queste sono riportate nella figura sotto:

C’è un modo locale e un modo globale per scrivere le due equazioni di conservazione. La legge

riportata più in alto in particolare esprime la legge di conservazione della massa, è quella a cui spesso

ci si riferisce come equazione di continuità del corpo. Si nota in particolare che nella forma sopra

riportata della legge di conservazione della massa si fa uso della convenzione di somma sull’indice

ripetuto. Forma locale e forma globale sono due differenti modalità per esprimere lo stesso

concetto, facendo però riferimento alla forma globale dell’equazione di conservazione della massa,

essa ci dice quanto segue: se si prende la densità e la si integra su di un volume, qualunque esso sia,

in uscita si avrà la massa di sostanza contenuta nel volume assegnato, e tale quantità non varia (si

conserva) nel tempo fintanto che la superficie del volume non è attraversata dalla materia. Le due

relazioni esprimono la stessa cosa, ossia che la massa è una quantità che si conserva, lo dicono però

in modo differente: l’espressione locale lo dice in forma differenziale, vale in tutti i punti del corpo,

in maniera puntuale, mentre l’espressione globale lo dice in forma integrale e vale qualunque sia il

volume scelto. In genere entrambe le modalità sono valide ma quando si desidera ottenere la

soluzione analitica dell’equazione, si cerca una soluzione analitica, si impiega l’espressione

differenziale, mentre l’espressione integrale è molto usata entro gli approcci numerici. La relazione

riportata più in basso nella figura precedente esprime invece la conservazione della quantità di

moto, in forma ancora una volta locale e globale, che verrà però meglio analizzata in seguito.

Si introduce in questa fase un altro strumento, il teorema del trasporto, che altro non è se non la

generalizzazione a più di una dimensione della regola di derivazione sotto segno d’integrale (o

regola di Leibniz). La quantità ψ riportata nella figura successiva è una quantità qualunque, potrebbe

essere la temperatura T, ma anche la densità o la velocità (potrebbe quindi essere anche un vettore),

nell’esempio in analisi si considera una certa funzione scalare assegnata, indicata con ψ, e la si

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integra su di un volume assegnato V delimitato dalla superficie chiusa S. Si procede quindi con

l’integrazione di quella quantità, integrale esteso all’intero volume:

La quantità ψ potrebbe dipendere dalla posizione (x,y,z) ma anche dal tempo (t), nel momento in

cui si integra quella funzione su di un volume (tridimensionale per sua natura), scompare nel

risultato la dipendenza dalle coordinate (questo perché si è integrato sulle coordinate) e rimane

esclusivamente una dipendenza dal tempo. Il teorema del trasporto afferma che per calcolare quella

derivata rispetto al tempo di quella quantità (integrale di ψ sul volume), dipendente per quanto

detto dalla sola variabile temporale, bisogna procedere come segue: calcolare l’integrale sul volume

della derivata di quella funzione (ψ) rispetto al tempo e alla quantità ottenuta sommare l’integrale

di superficie (integrale esteso alla sola superficie S che delimita il volume) della funzione ψ

moltiplicata per il prodotto scalare tra la velocità v della superficie in ogni punto e la normale alla

superficie in quel dato punto (il prodotto scalare tra quelle due quantità altro non è se non la

componente normale alla superficie della velocità della superficie in quel punto, fornisce indicazione

sul modo con cui il volume si deforma). Si osserva che il primo membro dell’equazione presenta una

derivata ordinaria rispetto al tempo, questo perché quella quantità derivata rispetto al tempo come

già detto dipende solo dal tempo, il secondo membro della relazione invece presenta l’integrale

della derivata parziale di ψ rispetto al tempo, si procede con la derivata parziale perché in quel caso

ψ è una funzione sia dello spazio che del tempo. Le due quantità però come visibile dalla relazione

sopra (si aggiunge un altro termine a secondo membro) non sono uguali tra loro, la derivata rispetto

al tempo dell’integrale di ψ non coincide con l’integrale della derivata di ψ. Si osserva inoltre che

qualora il volume non si deformasse e la sua superficie rimanesse quindi sempre la medesima, a

quel punto il secondo termine sommato a secondo membro scomparirebbe, il volume in una

condizione di questo tipo non dipenderà dal tempo (la superficie infatti non si sta deformando) e a

questo punto la derivata rispetto al tempo dell’integrale sullo spazio coinciderà con l’integrale sullo

spazio della derivata rispetto al tempo. Le due operazioni d’integrazione sullo spazio e di derivazione

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rispetto al tempo commutano tra loro in questo caso particolare, per il quale non sono ammesse

deformazioni del volume (in fluidodinamica invece normalmente ci si trova in presenza di volumi

soggetti a una continua deformazione). Nella parte più in basso della figura precedente si è fatto

esplicito ricorso al teorema di derivazione sotto segno d’integrale, si è infatti presa la funzione ψ

dipendente da x (singola variabile, non si integrerà più quindi sul volume) e t e la si è integrata su di

un intervallo lineare che va da a fino a b, con l’intervallo e i due estremi associati a e b dipendenti

anch’essi dal parametro t. Si sta integrando la funzione tra a e b, con estremi d’integrazione variabili

in funzione del parametro t, conseguentemente il risultato dell’integrale stesso varierà in funzione

del parametro t. Il teorema di derivazione sotto segno d’integrale afferma che quando si desidera

calcolare la derivata dell’integrale di una funzione tra a e b lo si può fare calcolando l’integrale della

derivata della funzione ψ rispetto al parametro t e sommando a tale termine un altro contributo,

dato dalla differenza tra la funzione ψ calcolata in b moltiplicata per la derivata di b rispetto al

parametro t e la funzione ψ calcolata in a moltiplicata per la derivata di a rispetto al parametro t. In

questa fase si è fatto riferimento al caso monodimensionale, coinvolgendo il solo parametro x (la

funzione dipende da una sola coordinata e si integra su di un intervallo entro il quale varia quella

coordinata), al fine di mettere in evidenza questo parallelismo. Nel caso tridimensionale si avrà

invece l’integrale della funzione esteso al volume V e l’intero volume sul quale si sta integrando

dipenderà dal tempo, dalla variabile temporale t. Gli ultimi due termini a secondo membro delle

ultime due relazioni riportate nella figura precedente sono simili tra loro, questo lo si può verificare

osservando che il secondo termine a secondo membro dell’equazione intermedia è l’integrale

esteso al contorno del volume (alla superficie S che delimita il volume V) della funzione ψ

moltiplicata per la componente normale alla superficie della velocità con cui si muove il contorno

(in ogni punto). Ma nel caso monodimensionale il contorno del dominio d’integrazione è dato

semplicemente dai due punti estremi a e b, punti dipendenti da t (nel tempo si possono muovere),

quindi il termine aggiuntivo corrisponderà alla funzione calcolata in un estremo moltiplicata per la

velocità con cui si muove quell’estremo, alla quale si sottrae la funzione calcolata nel secondo

estremo moltiplicata per la velocità con cui si muove quell’estremo. Il segno meno è riconducibile

al fatto che la velocità viene moltiplicata scalarmente per il versore normale alla superficie uscente

dal dominio, ma nel caso di un intervallo (caso monodimensionale) la normale giace sull’asse con

però versi opposti nel passaggio da un estremo all’altro, questo giustifica il segno meno. La

derivazione sotto segno d’integrale, la regola di Leibniz prima introdotta (ultima equazione della

figura precedente), altro non è se non un caso particolare della seconda equazione riportata nella

figura precedente, che descrive il teorema del trasporto. Il teorema del trasporto è quindi

estendibile anche ad altri campi rispetto alla fluidodinamica ed è un teorema dell’analisi che

generalizza il teorema di derivazione sotto segno d’integrale.

Si introdurrà ora un esempio di applicazione del teorema del trasporto, al fine di mettere in evidenza

le relazioni che esistono tra la scrittura in forma locale (o differenziale) dell’equazione di

conservazione e la scrittura in forma globale (o integrale). In particolare il teorema del trasporto

viene applicato ora a una quantità specifica, ossia la densità ρ. La superficie che viene considerata

inoltre (superficie che racchiude il volume V) è in questo caso una superficie particolare, si parla

infatti di superficie materiale, ossia una superficie che segue nel suo movimento il fluido (si immagini

un fluido in moto, si immerge del colorante e si considera una superficie che racchiuda le particelle

di colorante in moto entro il fluido). Una superficie di questo tipo presenta una caratteristica molto

importante, infatti dato che essa segue il fluido non potrà essere in alcun modo attraversata dal

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fluido, non è ammesso il passaggio attraverso la superficie di materia, questo suggerisce che il

calcolo dell’integrale della densità sul volume delimitato dalla superficie materiale prima descritta

porterà all’ottenimento della massa di fluido contenuta all’interno di quella superficie ma, dato che

il fluido n