Appunti di Termofluidodinamica (modulo 1)

DEFINIZIONI

Quando si parla di termofluidodinamica si parla fondamentalmente di trasporto di energia secondo un meccanismo convettivo, si è parlato però anche di trasporto di massa secondo meccanismo convettivo ed effettivamente (come si vedrà in seguito) i due meccanismi di trasporto convettivo, di energia e di massa, hanno grandi similitudini tra di loro. Alla base di questa similitudine vi è una ragione fisica, infatti il trasporto di energia e di massa è sempre legato al movimento del fluido. Anche a livello molecolare vi sono grosse analogie tra il trasporto di una specie chimica e il trasporto di energia, questo perché la molecola trasporta la sua massa ma anche la sua energia, essa ha infatti un contenuto energetico intrinseco! È comodo allora quando si parla di trasporto di energia all'interno di un fluido associare anche il trasporto di massa (cioè di specie chimica), si vedrà infatti che i risultati che si ottengono

Relativamente al trasporto di energia possono essere facilmente estesi anche al trasporto di specie chimiche. Si introduce per questo l'equazione di conservazione della specie chimica:

Essa viene espressa in forma integrale più in alto e in forma differenziale entro il riquadro rosso.

Assegnata una certa specie chimica x all'interno di una miscela (es. flusso d'aria entro il quale si considera la specie H O) si introduce una particolare quantità ρ, corrispondente alla concentrazione x di quella certa specie, la massa di quella specie chimica (x) contenuta nell'unità di volume. La concentrazione di specie potrà essere definita per ogni specie chimica presente nella miscela, per esempio in riferimento all'aria la si potrebbe definire per il vapore d'acqua, per l'ossigeno, per l'azoto e così via. Fissata la grandezza ρ si considera una certa superficie materiale.

chiusa S dixriferimento e il volume associato V, si integra quindi la concentrazione di specie su tutto il volumeracchiuso dalla superficie materiale e si deriva l'integrale rispetto al tempo (in altri termini si derivarispetto al tempo la massa della specie chimica x contenuta all'interno del volume V). Il volumeconterrà una certa quantità di specie chimica x e quella certa quantità può variare per effettofondamentale di due diversi effetti:

1. Ci posso essere delle reazioni chimiche, per le quali può aumentare o diminuire laconcentrazione della specie (se per esempio accanto al vapore d'acqua sono presentiidrogeno e ossigeno, in caso di combustione idrogeno e ossigeno danno luogo ad acqua econseguentemente a un aumento della concentrazione di acqua, c'è una "sorgente" diacqua da considerare riconducibile a una reazione chimica). Per valutare quanta speciechimica viene effettivamente generata entro queste

reazioni deve essere fornita un'informazione, riportata nella figura precedente, ossia la quantità generata per unità di tempo e di volume (rappresentativa della sorgente o pozzo di quella certa specie chimica x). Quella grandezza esprime per ogni punto del volume la quantità in kg di specie chimica generata per unità di tempo e per unità di volume, integrata su tutto il volume permette di ottenere la quantità di specie chimica generata (o in caso di pozzo sottratta) per unità di tempo per effetto delle reazioni chimiche.

2. Anche in caso di superficie materiale, quindi di una superficie che segue macroscopicamente il moto del fluido, va considerato un altro contributo oltre a quello prima descritto. Va infatti considerato che il fluido non è un'entità continua ma si compone di tante molecole, queste molecole anche in caso di fluido fermo sono in continuo movimento, quindi anche qualora si tenesse fermo il volume si

Assisterebbe comunque al passaggio di molecole della specie chimica attraverso la superficie per effetto della diffusione molecolare. Si introduce allora il flusso della specie chimica j, un vettore che rappresenta la quantità di specie chimica che passa per unità di tempo e per unità di superficie (si esprime in kg su m al secondo). Per tenere conto di questo secondo contributo si prende il vettore flusso di massa e lo si moltiplica scalarmente (si usa convenzione di somma) per il versore normale alla superficie, si integra in seguito quanto ottenuto sulla superficie. Si ricava così la portata di quella certa specie chimica che attraversa la superficie S per effetto della diffusione molecolare, attraversa la superficie anche quando il fluido non è in movimento (è un moto a livello molecolare, microscopico non macroscopico). Per effetto di quanto detto la variazione nel tempo della massa di quella certa specie chimica contenuta entro quella assegnata.

specie chimica in forma differenziale, ottenuta a partire dalla forma integrale sfruttando il teorema del trasporto e il teorema della divergenza. Nel riquadro blu della figura precedente in particolare si è applicato il teorema del trasporto alla quantità ρ, il secondo passaggio poi è stato effettuato tenendo conto del fatto che si è in presenza di una superficie materiale, la velocità della superficie quindi coincide con la velocità macroscopica del fluido, e applicando infine il teorema della divergenza (tramite il quale si traduce l'integrale di superficie in un integrale di volume della divergenza del vettore). Per il teorema della divergenza inoltre il secondo termine a secondo membro dell'equazione di conservazione della specie chimica in forma integrale può essere riscritto come integrale esteso al volume V (delimitato da S) della divergenza di quel vettore (j, il vettore flusso di massa). Conseguentemente per quanto

La equazione di conservazione della specie chimica in forma integrale è stata ridotta a una somma di integrali estesi allo stesso volume V, si può allora ridurre la somma di integrali di volume ad un solo integrale di volume dei diversi integrandi, si ha così un integrale di volume di una certa quantità (diversi addendi descritti prima) che si pone uguale a zero (dopo aver spostato a primo membro tutti i termini). Quella quantità sarà zero qualunque sia il volume scelto, ciò è sufficiente per dire che l'integrando dovrà essere nullo e ottenere così la forma differenziale dell'equazione di conservazione della specie chimica. Anche in questo caso vi saranno parallelismi tra le due relazioni, con il termine diffusivo e il termine legato alle reazioni chimiche a secondo membro. L'equazione introdotta in precedenza può essere ridotta a una forma più semplice in caso di fluido incomprimibile.

Ossia di un fluido per il quale la divergenza della velocità risulta pari a zero, ma può anche essere espressa in una forma alternativa coinvolgendo la frazione massica:

Appunti di termofluidodinamica 2021/2022

Al fine di esprimere la relazione in questa modalità alternativa si è introdotta la frazione massica del componente x, indicata con χ, pari al rapporto tra la concentrazione ρ e la densità del fluido x x (corrisponde quindi alla massa di x sulla massa complessiva, è una frazione di massa). La relazione sopra riportata però non verrà utilizzata, ma va ricordato che in certi casi l'equazione viene scritta anche in quella forma. Nel caso di flusso incomprimibile la relazione assume invece la forma riportata nella figura precedente, tenendo conto della regola di derivazione del prodotto di funzioni infatti l'espressione può essere scritta in termini di derivata materiale o sostanziale (una forma più compatta).

Quest’ultima forma (nel riquadro rosso della figura precedente) invece al contrario dellaprecedente (che coinvolge la frazione massica, nel riquadro blu) troverà maggiore impiego.

Ci si sofferma ora invece su quelle che prendono il nome di equazioni costitutive. Si è visto chel’equazione di conservazione dell’energia contiene diverse grandezze, quali l’energia interna, iltensore degli sforzi, il flusso termico e così via (quantità scalari ma anche vettoriali, il flusso termicoè una quantità vettoriale che prevede tre componenti e il tensore degli sforzi presenta formalmentenove componenti ma dato che esso è simmetrico le componenti si riducono a sei). L’equazione diconservazione dell’energia non potrà quindi essere risolta se non si introducono delle ulteriorirelazioni per fissare queste grandezze incognite, si avrebbe infatti una situazione per la quale sihanno più incognite che equazioni.

Per ridurre il numero di incognite si legano allora le quantità prima citate ad altre grandezze, per esempio il tensore degli sforzi viene legato al campo di velocità (con le tre componenti ad esso associate):

Lo stesso viene fatto anche per il flusso termico, le tre componenti del flusso termico vengono legate alla temperatura T attraverso una relazione empirica (non c'è nulla che permetta formalmente di ottenerla e quindi dimostrarla per via analitica, lo si può fare con le relazioni di Onsager ma esse in ogni caso prevedono un postulato di partenza alla loro base). La relazione per come è stata scritta nella figura precedente dice che la componente i-esima del flusso termico dipende dal gradiente di temperatura e dal tensore di conduttività termica, riportato nell'immagine sopra nella sua forma estesa. Il tensore di conduttività termica si caratterizza per l'essere simmetrico, è quindi definito a partire da sei componenti.