Appunti di teoria di analisi dei sistemi finanziari I

Pricing del Forward

Arbitraggio consente senza rischio di arricchirsi, se mercato funziona bene non c'è.

Condizione di non arbitraggio: per stabilire quanto valgono i titoli derivati.

Due portafogli che danno lo stesso rendimento devono avere lo stesso valore perché se uno avesse un valore differente sarebbe più o meno conveniente con conseguente riallineamento.

Es. Slide 28

Forward: X prezzo di esercizio dell'attività sottostante Strike price

T maturity+1 indica posizione lunga, -1 posizione corta

Portafoglio vale forward (non conosco) + valore attuale di X (conosco)

Portafoglio B è l'attività sottostante

L'incognita è il valore del forward

I due portafogli sono uguali: a T sono obbligato a spendere X e ho uno zero coupon che mi darà esattamente X quindi avrò i soldi e otterrò un'unità di attività sottostante.

Con B ho attività sottostante, la tengo e ce l'avrò

a T. Quindi A e B mi daranno la stessa cosa qualunque cosa succeda, quindi oggi devono avere lo stesso valore.

Si fa una dimostrazione per assurdo: si fa vedere che la negazione della tesi è falsa.

Se l'uguaglianza non fosse valida ci sarebbe arbitraggio.

Studiare molto bene la slide 29

Caso 1 e caso 2 dispense aggiornate

HP 1 non è vero che il forward è uguale supponiamo che sia maggiore della differenza

Se questo è vero vuol dire che alternativamente se portiamo tutto da una parte e moltiplichiamo vale disuguaglianza

Se forward vale di più della differenza vuol dire che è overpriced, troppo caro, e attività sottostante è sconto.

Se l'attività sottostante è sottovalutata la compro e spendo S0.

Poi prendo a prestito la differenza S0-FW e vendo il FW incassando FW.

Sopravvalutata vendo e incasso valore superiore.

Prendo a prestito perché l'attività sottostante vale sempre di più del FW

quindi non basta l'incasso del FW. Esborso al tempo 0 è 0. Alla scadenza quando t=T se ho venduto il FW consegno l'attività sottostante (impegno a vendere) e incasso X. Devo pagare il debito con gli interessi. Cash flow: outcome maggiore di 0. Ho creato la macchina da soldi. Caso 2: Ipotizzo per assurdo che FW minore della differenza FW sottovalutato / AS sopravvalutata. Sottovalutato = a sconto = compro = escono soldi. Sopravvalutata = vendo anche se non l'ho = vendita allo scoperto = incasso S0 mi serve per comprare FW e investire soldi con un tasso di interesse a scadenza. Al tempo 0 l'uscita è nulla. Alla scadenza ho comprato un FW = impegno a vendere X. In cambio ho AS devo consegnarla al soggetto a cui l'ho vendita allo scoperto. Poi ritiro dalla banca i soldi che ho prestato con gli interessi 24. Cash flow a scadenza -X più roba è maggiore di 0. L'attività sopravvalutata la vendo allo scoperto e incasso S0. In parte.

compro il FW che è sopravvalutato in parte investoAlla scadenza devo spendere X perché devo esercitare FW e mi danno AS, con essa mi ricopro perché l'ho vendita allo scoperto.

In banca

In entrambi i casi dimostro che negli uguaglianza creo la macchina da soldi.

Slide 30FW in posizione lunga T prezzo di esercizio X vale S0 - Val att X, differenza fra due termini positivi può essere positiva o negativa.

Se S0 sale di valore e val att x rimane uguale è positiva

A seconda di come è il prezzo dell'AS il valore del FW può essere positivo o negativo (l'opzione invece è sempre positiva, perché FW da un obbligo e l'azione da un diritto).

Val att di X è un titolo a rischio nullo= differenza fra due titoli rischiosi (AS e FW in posizione lunga)

Con la differenza fra due titoli rischiosi ho costruito un titolo privo di rischio.

Chi ha AS e prende un titolo derivato può annullare il rischioChi entra

in un titolo derivato e non ha AS è uno speculatore, quando arriva a scadenza ci perde o ci guadagna. FW -1 (impegno a vendere) +1 (impegno a comprare) Slide 31 es esame Avere un obbligo di acquisto su una cosa vale meno della cosa Quando entro in un FW non è detto che spendo dei soldi Il prezzo di esercizio che annulla il valore del FW si chiama prezzo FW slide 34 Quando AS genera flussi di cassa slide 35 where vanno sottratti perché non li deve pagare chi ha il FW. Come mai se r è superiore a r$ il cambio FW è superiore al cambio spot? Cambio FW cresce perché 100 € 5% 100$ 3% Tasso di cambio 1:1 come sarà fra un anno? Se fosse ancora 1:1 tutti vorrebbero avere gli euro, siccome i due prezzi sono di equilibrio succede che con 105€ posso comprare 103$ fra un anno quindi il cambio tra un anno è 1,05/1,03 ci vogliono più euro, il cambio si svaluta? Per un differenziale di interesse, è il cash flow che riceve chipossiede AS e che non riceve chi ha solamente gli euro.
Slide 38 avere AS ed essere corto suo forward significa avere X a scadenza, in ogni caso la ricchezza a scadenza è sempre uguale a X.
Portafoglio a rischio nullo: il FW replica esattamente il comportamento dell'AS (fase e contro fase).
Se non ho un'AS da coprire sono uno speculatore: ingresso con pochi soldi, ma possibili forti oscillazioni.
Gli speculatori aumentano la liquidità del mercato, l'importante è che abbiano i soldi non si sa se hanno AS o no.
PRICING OPTIONS:
Non c'è simmetria fra
C'è significativa differenza fra chi compra l'opzione (diritto) e chi vende l'opzione (obbligo).
Inizialmente si è modellizzata la realtà in modo molto approssimativo con i metodi binomiale:
Es. 42 5 call in posizione corta = diritto a comprare tra un mese un'azione a un prezzo di esercizio di 5,1
Dimostro che portafoglio è a reddito fisso,
Se 5,2 P

= 5,2 - 0,1*5 = 4,7

Se 4,7 P= 4,7 - 0 = 4,7

Quanto vale oggi? 4,7 attualizzato

BS hanno ridotto talmente tanto il periodo (non un mese ma ridotto al differenziale) e hanno fatto l'integrale

Il mercato nasce prima del modello matematico.

FW erano 1 e 1, nel binomiale erano lo stesso numero

N(d1) e N(d2)

Domanda d'esame: una componente legata all'AS una componente legata al prezzo d'esercizio (valore attuale) S0 = valore spot dell'ASX prezzo d'esercizio

Costo opportunità del capitale capitalizzato nel continuo

Sigma = scarto quadratico medio di una distribuzione normale dei rendimenti dell'AS

È univocamente definita dalla media e dallo scarto quadratico medio

Parametro che misura la rischiosità dell'AS

Put Americana?

Put europea: teorema della parità

Slide 51 per esercitare la call deve spendere X e si ritrova con una ASB dovrebbe esercitare la put cioè vendere al valore di X qualcosa che vale più di X la butta

vola del sottostante, volatilità del mercato, più alta è la volatilità più è probabile che il prezzo del sottostante si muova in modo significativo, quindi il valore della call aumenta. In sintesi, il valore della call dipende da: - Il prezzo del sottostante (S0): se il prezzo del sottostante aumenta, il valore della call aumenta. - Il prezzo di esercizio (X): se il prezzo di esercizio aumenta, il valore della call diminuisce. - Il tasso di interesse privo di rischio (r): se il tasso di interesse aumenta, il valore della call diminuisce. - La maturità dell'opzione (T): se la maturità dell'opzione aumenta, il valore della call aumenta. - La volatilità del mercato (σ): se la volatilità del mercato aumenta, il valore della call aumenta. Questi sono solo alcuni dei fattori che influenzano il valore della call. È importante considerare tutti questi fattori quando si valuta il prezzo di una call option.

attività con alto sigma valore call cresce perché blocca prezzo di qualcosa che varia molto.

Le prime quattro variabili sono le stesse dei forward e sono note.

S52Sigma misura il rischio (dispersione) dell'attività sottostante, più grande sigma più attività sottostante può subire cambiamenti di valore. Dove la rileviamo?

Le formule di prezzo nascono per capire quali sono le variabili che influenzano il prezzo.

Il valore dell'opzione è il valore di mercato e queste variabili spiegano come il mercato determina questo valore.

Grazie alla formula di BS sono in grado dato il valore di mercato dell'opzione e noti tutti gli altri parametri di calcolare il valore della volatilità cioè di sigma implicito nei prezzi di mercato e definirlo univocamente.

Si presume che questo sia il modo migliore per misurare una cosa che non conosco, si dice che è una proxy della volatilità.

A differenza del mercato dei

beni in cui la transazione è a spot, nel mercato azionario la transazione è a termine. Due possibili obiettivi: massimizzare il rendimento a parità di rischio o minimizzare il rischio a parità di rendimento.⁵⁸ Con forward in pozione corta e attività sottostante è come se non avessi rischio. 1 call permette di coprire N(d1) attività sottostanti. Un portafoglio composto da una quantità Nd1 dell'attività sottostante e un'opzione in posizione corta oppure... Formule 49 e 51. Spostando i termini ottengo il valore attuale. Anche con le opzioni call e put posso coprirmi rispetto al rischio se ho l'attività sottostante, per ogni unità AS devo comprare un certo numero di call, numero che si chiama Delta hedging (numero unità AScoperte). Problema è differenza nella copertura? Forward contratto di perfetta copertura che rispondeva all'esigenza di cancellare il rischio, 1:1, annullaIl rischio anche quando le cose potrebbero andare bene. Con le opzioni voglio che sia una copertura assicurativa, il che significa che se cambia il valore di AS bisogna ricalcolare il Delta di copertura e cambia continuamente, processo di aggiustamenti in progress. 27 Warrant, buoni di sottoscrizione, sono delle opzioni call che danno la possibilità di comprare AS in un istante futuro di tempo o prima a condizioni fissate oggi. Sono a tutti gli effetti delle call option? Non proprio perché sono delle call option che se vengono esercitate determinano l'emissione di una nuova azione (mentre la call è un'opzione su un'azione già esistente). Questo significa che nel caso dei warrant quando eso viene esercitato il numero di AS aumenta e allora il prezzo da inserire nella formula di BS è il prezzo fully diluted, si tiene conto del.