Appunti di Teoria delle strutture - Parte 5 (problema flessionale di Timoshenko)

ΔA(i,j) = diff(eq(i), umks[j]);

end

end

det_AA = det(AA) → equazione in N

N= exp / solve(det_AA)

L=3¹⁰ → calcolo vincolare numerico

MODELIZZAZIONE DELLA TRAVE: PROBLEMA FLESSIONALEMODELLO TIMOSHENKO

Hp. piccoli gradienti di spostamentomateriale elastico lineare isotropo

Le Travi sono TOZZE se L < 10. Per esse non vale il modello di Euler-Bernoulli. Nel caso di Travi snelle L >> D il modello di Timoshenko tende il modello di Euler-Bernoulli.

Il modello di Timoshenko ha come ipotesi cinematicola generia senza retta o deformazione avente retta piano e

Nota: per yz - u(x,y,z) = 0

SPOSTAMENTI: u(x,y,z) = u-u(z) w(x,y,z) = w_z - ψ(z)

u(z) e ψ(z) sono funzioni multipolari

DEFORMAZIONI: Ex= ∂u ∂x =0 Ey= ∂v ∂y =0 Ez= ∂w ∂z = εγxy= ∂u ∂y+∂v ∂x =0

(EQ. DI CONVERGENZA) x - 3x=0 → ψ(z) = ε ε - 3χ(z) = ψ(z) = ε δ=χ'(z)+ε

∂u ∂z = χ'(z) = ε → EQ. DI CONVERGENZA (Regola)

Quello che utilizzeremo sono:

Modello costitutivo

Tensore:

σ_z=Eɛ_z=Eɛ=Eyϕ

ϕ¹

stesso legame che ritrovo anche nell'Effetto Bernoulli.

N=∫_AδdA=∫_AEyϕ¹dA=Eϕ¹∫

^AydA=0

M_x=M_f∫_Ag(y)dA=∫_AEyϕdA

T=∫_AG(τ_z+ϕ)dA=GΔs(υ+ϕ)

M=EIx=ETϕʹ

δ=ɣ+ϕ

Le eqq. del legge costituito sono:

→ EQ. COSTITUTIVE

Determinazione del fattore di correzione a taglio

Nel modello di Timoshenko ho ricavato le τ del taglio come:

τxz = q x (5/6 + qz)

→ distribuzione costante nella sezione rettangolare

Queste sono le τ dell'equilibrio come nel seguente modo:

EQUAZIONI INTEGRANTI DI EQUILIBRIO

• ∂τx/∂x + ∂τxy/∂y + ∂τxz/∂z + bx = 0
• ∂τxy/∂x + ∂τy/∂y + ∂τyz/∂z + by = 0
• ∂τxz/∂x + ∂τyz/∂y + ∂τz/∂z + bz = 0

b → forze di volume(x, y, z) → vettore posizione

Se le forze di volume sono nulle allora: bx = by = bz = 0Nel nostro modello reale le quantità nulle sono: τyz = 0, τxz = 0

Sicuramente: τzx = 0 ⇔ τxz = 0Txy = 0 ⇔ τxy = 0

Prendo la 3ª equazione:

∂τyz/∂y + ∂τz/∂z = 0

(potrei considerare 3ª equazione)

Mi metto nel caso della sezione rettangolare:

T = ∫-h/2 ^h/2 y b_z / h dϕ

Voglio trovare l'andamento della τyz

u = εE_z = εMx = EMϕ'

ε = nxy y = nM'

Faccio il limite per Δz  0 e ottengo:

∫_A* σ dA + τb = 0 , τ = τz = M/I y NAVIER

⇒ ∂z/∂z = -M'₁ y/I

Per calcolare la τ sostituisco ∂z/∂z

0 = M'/I ∫_A* y dA + τb = I̅ ∫_A* y dA + τb

Sapendo che : S* = ∫_A* y dA (momento statico rispetto all'asse x)

Allora:

τ* = -I̅/Ib(y) S* (y) → FORMULA JOURASCKY PER IL TAGLIO (veloc media)

& b è molto piccolo allora Theoria = Treasse

Per sezioni rettangolari

τ* = 3T/2bh³ (h²-4y²) → FORMULA JOURASCKY → determinato prima

Calcolo energia:

σ = τ/g = - I̅/Ib(y) S* (y)/g

Ψ_eq = 1/2 GT Ψ_eq da definire

esempio da exercise molto da eseguire

Trovo la quota de

→ K = I̅_x²/A (∫_A (S*/b)² dA)

→ Per una superficie giovane acida qui ancora!

b(y)