Appunti di Teoria delle strutture - Parte 3 (problema flessionale di Eulero-Bernoulli)

Hp

• Piccoli gradienti di spostamento
• Materiale lineare elastico isotropo
• Travi sottili

Le ipotesi cinematiche sono:

• La sezione rimane retta e deformata avanti verso piano e rigida
• La generica sezione retta resta ortogonale alla deformata della linea d'asse della trave

Le equazioni di equilibrio sono:

SPOSTAMENTO

• Mx = Mz = 0
• My = V – T(Z)
• Mz = Qy – yφ(Z)
• φ = -σ'

DEFORMAZIONI

• Ex = ∂u/∂x , Ey = ∂v/∂y = 0, Ez = ∂w/∂z = 0, yφ'(Z) = -yφ''

γxy = ∂v/∂x , ∂v/∂x = 0

γxz = ∂u/∂z + ∂w/∂x = 0

γyz = ∂v/∂z + ∂w/∂y + φ = 0

yφ'(z) = -yφ''

κ = ∂φ/dz

φ' = -σ'

ψ = -w'

Ez = -yψ''

εx = yκ

Tensile

Mi trovo il legame costitutivo di un materiale lineare elastico isotropo

γ_yz = 0, τ_yz = Gγ_yz = 0, G = E/2(1+ν)

τ_y = T_A, τ_yzd₁ = 0

Lo sforzo di Taglio va incolto facendolo agire fisso dall'origine

Caratteristiche della sollecitazione

• ∫_A σdA = ∫_A ε_yx dA = ∫_A ε(y)dA = e_Sx
• H_x = M_S = ∫_A (yσ) dA = ∫_A ε_yx dA - Eχ(T)

Equilibrio

Mi trovo l' eq. di equilibrio

da * si ottiene le formule di Navier

Impongo le situazioni:

δΠ = 0 ∀δu

δΠ → calcolato con il PLV, & trovo σ esso è soluzione del problema.

Mi cancello sch. Termius ^*

(σ"₅ δu') = σ"₅ δu'₁ + σ"'₅ δu'

σ'_l δu', (σ''₅ δu') = σ''''₅ δu'

∫₀ EI σ'''' ₅ δu' d - EI ∫₅ (σ''₅ δu') d - ∫₅ EI σ'''' δu' d = EI σ'''' ₅ δu_l - EI σ'''' ₆ δu₅ - ∫₅ EI σ'''' δu' d

σ'''' ₅ δu' → vogli scrivere in modo diverso.

(σ'''₅ δu') = σ''''₅ δu' + σ''₅ δu'

σ''''₅ δu' = (σ''''₅ δu') - σ''''₅ δu'

- EI σ''''₅ δu_l - EI σ''₅ δu_l = EI ∫ (σ''₅ δu') d + ∫_δ σ'''₅ δu d

= EI σ''''_l δu_l - EI σ''''₅ δu_l - EI σ''''₅ δu + EI σ""₅ δu + EI σ''''₆ δu

Sottosco il Termius ^* in δΠ = 0 e ottengo:

δΠ = { (EI σ'''' - 9) δu d + (EI σ'''' + m_σ) δu_l - (EI σ₆ + m_σ) δu₅ - (EI σ'''' + F_σ) δu₅ + (EI σ'''' + F_σ) δu₅ = 0 ∀δu

De quattro deuito dello esercitile primia.

EI σ'''' = 9, 0₂ = 1

- EI σ''_l = M_L → 1₄ m_L → M_L = m_L, z = 1

ESERCIZIO 3º

MATLAB

Apa Matlab

(esercitazione mef)

• % true EB
• Close all;
• Clearvar;
• Close al;
• clc;

% Dati del problema

ET = 1000

L = 10

g = 1

k1 = 100000, k2 = 100000

% Definizione delle variabili simboliche

syms U1(t) U2(t)

% syms ET L g p

% equazioni differenziali

eq1 = ET*diff(U1, 2) == 20;

eq2 = ET*diff(U2, 2) == 9;

% Soluzioni

dsol = dsolve(eq1, eq2);

% Spostamenti e velocità

US1 = dsol.U1;       => estrae U1 da dsol e lo chiama US1

US2 = dsol.U2;

Ho trovato gli spostamenti e ora devo ricavare le condizioni di contorno

% Rotazioni

• RS1 = diff(US1, 2)
• RS2 = diff(US2, 2)

20/03/2023

Due approcci:

• Metodo Bernoulli con equazioni differenziali della linea elastica

• Metodo numerando approssimato: scrivere l’energia potenziale totale del sistema

e sostituisco i vincoli flessionali con le molle

Ora, confrontiamo il Metodo Bernoulli con il Metodo approssimato.

Se sei Metodo “peggiore”? Vediamo l’equazione.

% Soluzione approssimata

• vos = eval(sols(1),sol1) → restituisce il valore

• varz = vpa(vos) → un po' più preciso

• Mos = – E*I*diff(varz,2,2) → momento flettente (diff.: derivata)

• Tos = diff(Mos,2,2) → sforzo costante

% Plottaggio

• zva = linspace(6,24,40)

• urz = subs(varz,z,zva)

• Moz = subs(Mos,z,zva)

• Toz = subs(Tos,z,zva)

figure(4)

hold on

set(gca,'ydir','reverse') → mette le y verso il basso

plot(zva,urz,'b-') → ANALITICA 1^o tratto

plot(zva,urz,'b-') → ANALITICA 2^o tratto

plot(zva,urz,'k*') → APPROSSIMATA

title('displacement lungo gli')