Appunti di Teoria delle Strutture - Parte 9 (metodo degli elementi finiti, problema assiale)

METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

3/05/2023

Vedremo come il Metodo variazionale approssimato è un potente strumento del metodo degli elementi finiti (FEM).

• Le funzioni approssimanti devono:
• soddisfare i requisiti di continuità
• essere L.I. e complete
• soddisfare le condizioni al contorno

Tutti i metodi approssimanti sono basati sull'energia!

I requisiti sono:

• Il metodo deve avere una buona formulazione matematica
• Il "" essere applicato indipendentemente dalla complessità del dominio (la procedura deve valere sempre)
• Deve saper capire dove affinare la soluzione approssimata fino alla soluzione esatta (deve capire la convergenza del metodo)
• Il metodo deve essere facilmente implementabile in codici di calcolo.

Vantaggi del FEM:

• Le funzioni approssimanti sono definiti in modo simulato.
• Il dominio complesso viene diviso in domini più piccoli detti "elementi finiti" (discretizzazione del dominio).
• Il problema viene formulato su ogni singolo sottodominio.

\[ u \approx \sum_{{i=1}}^{m} c_{i} \cdot \phi_{i}(x) \]

funzioni approssimanti diseguali (sono funzioni)

coefficenti interi

Rappresentano gli spostamenti - la vincoli e della discretizzazione del dominio

Applico il metodo al problema della trave

PROBLEMA 1D DELLA BARRA

• MODELLO TRAT.: comportamento assiale

\[ u'' \] spostamento dei punti dell'asse in direzione y

FEM: asta (elemento finito 1D) - (TRUSS)

forze esterne fatto, costante trazione interna

\[ \mu(x) \] spostamento dei punti dell'asse in direzione x

0 ≤ x ≤ L

\[ EAu'' + f = 0 \] - EQUAZIONE DI CAMPO in 0 ≤ x ≤ L

\[ \mu(0) = 0, \ \mu(L) = P \] - CONDIZIONI AL CONTORNO

• \[ EA \] - modulo di Young
• \[ f \] - forza esterna

Schema degli Elementi Finiti (FEM)

1. Discretizzazione del dominio in un numero di domini
2. Definire le equazioni per ogni dominio
3. Assemblare le equazioni
4. Imporre le condizioni di contorno
5. Risoluzione del sistema di equazioni
6. Postprocessing delle soluzioni (Plottaggio)

1. • Definizione della mesh
   • Numerazione dei nodi e degli elementi
   • Assegnazione delle proprietà agli elementi

Posso avere anche nodi con pressione variabile!

Per aumentare la soluzione esatta devo aumentare

il numero di nodi.

Attenzione: Non va bene dover ricercare a

fine di ogni elemento, può

fare così per esempio.

2. • Formulazione variazionale
   • Approssimazione
   • Matrice di rigidezza, vettore delle forze

Il nodo 3 e 8

Nodo 3 → 5⁹⁹ e 6⁹⁹

Nodo 8 → 15⁹⁹ e 16⁹⁹

Vado nella matrice di rigidezza dell’elemento 5

_{da moltiplicare il parametro s}

(5⁽³⁾)              (1)              (5)      (5)

(1)        k₁₂      k₁₃     k₃₂    

(5)                              (U₅)

(5)                              (U₆)

                              (U₁₅)

                              (U₁₆)

= (F₅)

   (F₆)

  (F₁₅)

  (F₁₆)

• U_x⁽³⁾-U₅
• U_y⁽⁵⁾-U₆
• U_z⁽⁵⁾-U₃
• U₃⁽⁵⁾-U₁₆

_Spiegazioni

_{dix di nodo dell’elemento 5 che continua al nodo 3}

(Es. k₁₃ dovrà a finire nella riga 5, colonna 5)

Devo imporre le condizioni di contorno.

Nodo 1 → direzione x e y {spostamenti impediti →U₁=0, U₂=0}

Nodo 5 → direzione y {spostamenti impediti →U₁₀=0}

Si eliminano:

• Riga 1, colonna 1
• Riga 2, colonna 2
• Riga 10, colonna 10

Le forze agiscono sul nodo 8⁽⁵⁾, solo sul nodo 8 l’equilibrio deve essere scritto in base alla forza applicata (eg. 16), tutte le altre forze nodali saranno tutte uguali a zero.

Estraggo le matrici (3x13) → estraggo il vettore f, ne somministro neanche eg. elimino e trovo le reazioni vincolari e gli spostamenti