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Teoria Dei Segnali
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U N I C O L O R
Teoria dei Segnali
- segnali certi
- teoria della probabilita
- segnali aleatori
- teoria dell'informazione
I segnali sono il mezzo con cui scambiamo informazioni, acquisiamo informazioni non note.
1) Scambio di Informazione
S mittente canale D destinatario
segnale = supporto fisico attraverso il quale si trasmettono informazioni (es. onde acustiche)
ESMPLIO: (persona che parla con microfono):
S onda acustica D
S trasduttore segnale elettrico canale cavo e amplificatore
ribattiamo cambiamento del supporto fisico (onda acustica → segnale elettrico)
trasduttore onda acustica (altoparlante) D destinatario
Informazioni: è qualcosa attraverso il quale riduciamo il nostro livello di incertezza.
- Se un segnale x è di energia la sua potenza Px(t) → 0
quindi non sarà un segnale di potenza
- Se un segnale x è di potenza la sua Ex(t) → ∞ quindi non sarà
un segnale di energia
ESEMPIO:
ho un segnale x(t) = A cos(2πf0t + φ0)
la sua energia è:
Ex(t) = ∫-∞+∞ A2 cos2(2πf0t + φ0) dt = ∞
quindi il segnale non è di energia
la sua potenza è:
Px(t) = limΔt→∞ (1/Δt) ∫-Δt/2+Δt/2 A2 cos2(2πf0t + φ0) dt
per cui essendo cos2(α) = (1 + cos(2α))/2
limΔt→∞ (1/Δt) ∫-Δt/2+Δt/2 [1 + cos(4πf0t + 2φ0)] / 2 dt
= limΔt→∞ A2 (1/Δt) Δt/2
= A2/2 ⇔ è un segnale di potenza.
ESEMPIO 2:
x(t), t ∈ ℝ
x(t) = (2ʲA/T) (T/2 - t)
Siccome è simmetrico in tempo solo una o eco è moltepico, poi:
Ex(t) = (α/2) ∫-T/2+T/2 (2ʲ2A2/ (x , y) = 0 ha 2 segnali ortogonali
Siccome ho dimostrato che ΣN è ortogonale a tutti i vettori di l≤3
le combinazioni lineari di questi:
2 RF ∈ ΣN, [(Σ - ΣN)TF] = 0
mi rimane
||Σ - ΣN||2 = ||ΣN||2 + ||Σ - ΣN||2
quindi qualsiasi Σ scelgo l'errore che commetto potrà essere solo maggiore o
uguale a
||Σ - ΣN||2 = ||X - ΣN||2
Il unico modo per minimizzare l'errore è quello di ottenere Δ più piccola
scegliendo Σ = ΣN
ESERCIZIO.
T ∈ [ -T1/2, T1/2 ] e genero un segnale così
e uso una base ortogonale così: {1, cos(2πt/T), sin(2πt/T), cos(4πt/T), sin(4πt/T)}
voglio rappresentare il segnale con 5 coefficienti:
- verifico che la base sia ortogonale
- collineo seni e coseni
∫-T1/2T1/2 cos(2mπ/T) sin(2πt/T) dt
Dalla trigonometria cos(α) sin(β) = sin(α - β) + sin(α + β)
→ ∫-T1/2T1/2 sin(2π(m-n)t/T) + sin(2π(m+n)t/T) dt
se ho il seno con un periodo m-n/m+n essendo m,n interi
ho 2 periodi che sono un sottomultiplo intero di T
... vediamo l'energia dei singoli termini
quando se l'errore è:
... rimane solo il termine per n = k
nascono che su cerchio di energia discreta
quando l'energia dell'errore è:
... una quantità sempre > 0
- a, prodotti scalari,
- distanze dei punti
- perchè X e Xk
N.B. se ho una basa completa
questa funzione è tale che:
\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1\)
quindi la funzione di prima si può scrivere come:
~ \(y(t) = A[\delta(t+\frac{T}{2}) - \delta(t-\frac{T}{2})]\)
e, integrando, verifichiamo che ha la derivata della funzione a potenza
\(z(t) = \int_{-\infty}^{t} y(\tau) d\tau = \)
effettivamente \(z(t) = x(t)\) e
perciò \(y(t) = \frac{dx(t)}{dt}\)
Proprietà dell'impulso matematico:
- a) \(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1\)
- b) Proprietà campionatrice dell'impulso
\(\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t-t_{0}) dt = x(t_{0})\)
dimostrazione:
- Il secondo integrale è nullo perchè il prodotto di una funzione pari (x(t)) e una dispari (sin(...)) è sempre pari.
se segnale di spettro come la somma di una parte reale e una immaginaria
- X(f) = R(f) + j I(f)
- X(f) = R(-f) + j ( - I(-f) ) = R(-f) - j I(f)
somma:
X(-f) = X(f)
quindi
- R(-f) = R(f)
- I(-f) = -I(f)
se il segnale è reale e pari allora lo spettro è reale e pari perchè rimane R(-f) = R(f) se è
X(-f) = R(-f) = X(f) = R(f)
c) se x(t) è reale e dispari → X(f) è immaginario e dispari
dimostrazione:
X(f) = ∫-∞∞ x(t) sin(2π ft)dt ↑ la X(f) è puramente immaginaria
e mostra volta I(-f) = -I(f)
Ogni segnale si può sempre scrivere come somma di una componente pari e una dispari:
x(t) = xp(t) + xd(t)
ESEMPIO:
esponenziale unilatero
per definizione
{ xp(t) = xp(-t)
xd(t) = -xd(t)
-> diviso i segnali z(t):
d2z(t)/dt2 = u(t)
calcoloV(f) = ∫01 ft(t)ej2πft - A sin(πTf)
quindi Z(f) = A sin(πTf) einfinito posso reloccarloX(f) = mx δ(f) + Z(f) = δ(f)+ epontell'evoluzione
Convoluzione:
se ho un segnale Z(t): = ∫-∞∞ x(τ)u(t-τ) dτ = x(t) = y(t)
allora Z(f) = X(f)Y(f)
ammostrazione:
per definizione Z(f) = ∫-∞∞ z(t) e-j2πft dt= ∫-∞∞ [x(τ) y(t-τ)] e-j2πft dt dτ =∫-∞∞ ∫-∞∞ x(τ) y(t-τ) e-j2πft dt=
[z(t) y(t-τ) e-j2πft dt=^] dt = ∫-∞∞ x(t) y(t-τ) e-j2πft edt∫
pongo u= t-τ =∫-∞∞ x(t)y(u)e-j2πft du =∫-∞∞ x(t)u e-j2πfu dt =
se seguo gli integrali vedo che:= ∫-∞∞ x(t)y(u) e-j2πft dt == ∫-∞∞ ∫-sub∞ x(t)y(u)e-j2πfu du
= X(f)Y(f)
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