Appunti di Tecnica delle Costruzioni Teoria (Telai) - Parte 3

Tecnica delle costruzioni - Parte 3

Travi

Teoria del secondo ordine

Non sempre si può trascurare l’azione assiale presente nelle aste, quindi noi vogliamo capire qual è l’effetto di questa azione assiale sulla rigidezza delle singole aste. Prendiamo un’asta appoggiata agli estremi soggetta a una forza di trazione P. La teoria del primo ordine studiava sempre equilibri (per calcolare tagli e momenti) in configurazione indeformata.

Per conoscere l’effetto dell'azione assiale al secondo ordine, possiamo usare il metodo statico e consiste nello studiare l’asta in una configurazione non più indeformata, ma deformata. Se applichiamo una coppia F all’asta, possiamo subito tracciare il diagramma del momento al primo ordine, cioè il momento studiato in configurazione indeformata. Questo significa che l’asta deformerà come in figura perché queste due rotazioni non dipendono dall’azione assiale, sono indipendenti dalla stessa, e gli equilibri li facciamo in configurazione indeformata. Quindi questa deformata non sarà la deformata giusta, ma quella che non considera l’effetto dell’azione assiale.

L’azione di trazione all’estremo esercita un momento anche rispetto al punto dove ho messo la cerniera, quindi ci sarà un momento del secondo ordine. Nasce un momento del secondo ordine in configurazione indeformata sul nodo di sinistra, ci sarà per reazione un’azione assiale P, ma essendo il nodo spostato farà nascere un momento del secondo ordine v(x), come in figura per equilibrare tutto. Posso ora andare a scrivere il momento totale effettivo M(x).

Al crescere di P, il momento sarà uguale alla coppia all’estremità, e sull’asta l’effetto del secondo ordine tende a far diminuire il momento. Maggiore è P, l’azione assiale, e minore sarà il momento sull’asta. Il momento si conserva all’estremo sull’asta e va a ridursi all’aumentare dell’azione assiale P. Questo mi dice che io posso sempre calcolarmi le rotazioni sfruttando il primo ordine, ma poi questi valori del primo ordine vanno moltiplicati per una funzione, funzione di l.

Devo dimostrare che queste due funzioni per l che tende a zero, cioè per l’azione assiale che tende a zero, devono andare a 1, cioè mi devo riportare al primo ordine. Ho dimostrato che la funzione che modifica il primo ordine è una funzione che al tendere a zero del carico (assiale P) si riporta al valore unitario. La stessa dimostrazione si può fare per la funzione fi.

Momento del secondo ordine con due coppie applicate

Asta compressa

A trazione l’asta si irrigidisce, a compressione invece si instabilizza. L’instabilità rende non simmetrico il comportamento dell’asta di acciaio, pur essendo un materiale simmetrico. Ottengo l’opposto del caso della trazione, questa volta le rotazioni non tendono a diventare molto piccole all’aumentare di l, ma tendono a diventare molto grandi.

Doppia coppia costante e compressione

Il massimo momento questa volta viene amplificato in mezzeria dalla compressione, e non ridotto come avveniva per la trazione. Quando il carico assiale diventa uguale al carico critico euleriano Pe, io nuovamente faccio tendere a infinito il momento. Rispetto al caso di Eulero, è cambiato il modo di tendere a infinito di questa struttura.

Quando non ho una coppia ho un’instabilità latente, quando ho una coppia ho un’instabilità asintotica. La differenza fra i due casi è che nel caso di instabilità latente io non conosco la deformata, la C1 non mi è nota. Quando ho l’instabilità asintotica, io punto per punto so qual è il valore della freccia, solo che quando il carico diventa quello euleriano io vado a un valore di freccia che tende infinito.

In situazione elastica i due carichi critici si equivalgono, quindi l’aggiunta dei due carichi agli estremi non produce una variazione di carico critico, ma questo succede solo se ragioniamo in campo elastico. Se rimuoviamo l’ipotesi di campo elastico, siccome nessuna asta resiste a un momento resistente che tende a infinito, può succedere che nel percorso del percorso asintotico, il momento flettente si amplifica al punto che il momento resistente non ce la fa più, e quello che può succedere è che si arriva a un punto dove poi scendo. Oltre quel momento non sono in grado di andare, e non posso che scendere.

Quindi nel caso reale è peggio avere le coppie perché mi possono produrre una riduzione di momento flettente. Non abbiamo più soltanto un’asta soggetta a un’azione assiale; tutte le volte che abbiamo un’asta pressoinflessa, noi abbiamo un’asta che per effetto della N, amplifica anche il proprio momento flettente.

Asta appoggiata con carico distribuito e compressa

Quando calcolo il taglio devo tenere conto sempre della nuova posizione, calcolo il taglio sulla configurazione deformata, il taglio diventerà funzione di l, non è più costante, e automaticamente mi trovo una dipendenza dal carico assiale.

Incastro a mensola, colonna

Scelgo un sistema di riferimento nella configurazione deformata. Anche in questo caso la presenza di una coppia non modifica il carico critico euleriano. L’amplificazione che ha la coppia risulta essere maggiore dell’amplificazione che ha la forza orizzontale.

Trovo che è meglio avere una forza orizzontale H che una coppia F.

Metodo di Neumann

Prendo un’asta appoggiata, ma questa asta è parte di una struttura, quindi posso vedere il collegamento di questa asta con la struttura come due molle rotazionali agli estremi, con rigidezza rotazionale assegnata K1 e K2. Ho un carico P di compressione. Quelle molle cambieranno il carico critico.

Una volta che io ho individuato l’asta che risulta avere il carico critico e quindi di instabilizzarsi, posso ridurre la parte destra e sinistra a delle molle di continuità, e a questo punto ricorrere al metodo di Neumann e ottenere un numero che è molto prossimo.

Effetto del taglio sul carico critico

Noi abbiamo sempre detto che GA tende a infinito, ma è sempre vero? Quando la rigidezza al taglio di un’asta tende ad essere bassa, vuol dire grande cedevolezza e sarà difficile trascurarla. Questo succede tutte le volte che non ho profili rettangolari, ma dei profili dove non c’è un’anima continua, ma sono delle aste che lavorano come delle bielle. Poi ci sono le aste calastrellate, che sono quelle aste che hanno un corrente superiore, un corrente inferiore e hanno dei calestrelli che vengono pensati come se fossero incastrati.

Il nostro problema è innanzitutto capire come il taglio influenza il carico critico, e lo facciamo con riferimento a un’anima viva. Ragioniamo su due tipologie di aste, l’asta rettangolare e il profilo a I. In entrambi i casi abbiamo definito un certo Ko.

Noi dobbiamo ragionare sulle curvature, il tema è se io volessi calcolarmi la curvatura come figlia di due curvature. Il carico critico che ho è più piccolo del Pe, e di quanto è più piccolo me lo dice il fattore di scorrimento angolare. Quindi so che Pcr* è più basso, e sarà tanto più basso quanto più grande sarà lo scorrimento angolare, quindi quanto più grande è la cedevolezza a taglio.

Caso trave rettangolare in acciaio

Asta reticolare

Carico l’asta reticolare nei nodi così che nessuno di questi profili avrà un’azione di tipo flessionale. Se io caricassi con un carico distribuito, i tratti di briglia tra nodo e nodo sarebbero inflessi. Se invece metto un carico concentrato nei nodi elimino la flessione nei profili, e tutte le aste vengono ad essere caricate solo con azione assiale, e lavorano meglio, tutte le rigidezze, e lavorano con la loro maggiore rigidezza, e tutte le fibre lavorano nello stesso modo, tutto il materiale è usato al massimo.

Quando creo una grande luce, vado incontro a grandi deformabilità, e quindi devo far crescere l’inerzia così da avere frecce contenute. Quindi l’idea della trave reticolare è quella di spostare le aree che dovranno essere soggette ad azione assiale il più lontano possibile tra loro, perché so che l’inerzia è proporzionale alla distanza al quadrato. Io posso sempre tracciare l’asse baricentrico del mio traliccio e riportarmi a una situazione di asta su due appoggi. Il taglio sarà portato dalla componente proiettata dell’azione assiale del diagonale.

Il problema di questa struttura è che mentre il materiale acciaio è simmetrico, la struttura in acciaio non è simmetrica come comportamento, l’asta compressa potrà instabilizzarsi, mentre l’asta tesa no. Io tenderei ad avere una struttura così che i diagonali siano sempre e solo tesi e ritrovo la simmetria.

Se io andassi, sfruttando questa formula, a fare il calcolo di dy e strutture reticolari differenti, vediamo quando l’influenza del taglio gioca un ruolo rilevante. Cioè la variazione tra il carico critico euleriano e quello che tiene conto della variazione a taglio è solo del 8 per 1000.

In questo caso sono passato dal 8 per 1000, a un errore del 47 per mille, con la stessa geometria ma cambiando gli elementi, sono comunque in un errore del 5% quindi posso ancora trascurare il taglio. Se cambiamo la dimensione geometrica della struttura, mantenendo la stessa altezza, ma avendo una maglia che è sempre più lunga, il rischio è quello di andare incontro a un effetto di taglio che non sia più trascurabile.

Asta calastrellata

Se giro la struttura mi accorgo che è una struttura che manifesta una simmetria geometrica rispetto all’asse verticale, ma una antisimmetria di carico, allora la struttura nel complesso diventa antisimmetrica. Se mi chiedo nel quadratino che azioni posso avere, io so che il momento è una condizione simmetrica, l’azione assiale anche, mentre il taglio è antissimmetrico. Questo vuol dire che se ho una struttura antisimmetrica, sull’asse di antisimmetria si devono azzerare tutte le componenti simmetriche, è l’unica possibilità perché la struttura rispetti l’antisimmetria. Quindi vuol dire che in questo punto devo avere momento e azione assiale nulle, quindi mi ritrovo come se avessi una cerniera in quel punto. Se metto una cerniera, la struttura diventa un arco a 3 cerniere con due sbalzi che sono due mensole.

Osservo che nella mia struttura questa volta ho delle componenti flessionali, allora faccio un'ipotesi che dice che quando ho delle componenti flessionali, le componenti del calcolo dello scorrimento dovute dall’azione assiale e dal taglio sono trascurabili, perché ho delle componenti flesionali importanti, che tra l’altro abbracciano tutti i correnti. Questo significa che l’influenza della deformabilità a taglio conta il 13%, quindi inizia a non essere più trascurabile, maggiore del 5%. Non cambierà il contributo dei piatti che sarà simile, ma quello che cambia è soprattutto il contributo dei correnti. Quindi raddoppiando il passo dei calastrelli mi ritrovo al 45% dell’influenza del taglio, se allontano le aste, gli stessi calastrelli mi permettono una maggiore flessione della briglia.

In generale quando ho un’asta calastrellata non posso trascurare la deformabilità a taglio, la deformabilità a taglio è rilevante quando sono coinvolte rigidezze flessionali. In realtà il contributo è ancora più grande perché ho trascurato la deformabilità assiale e flessionale di entrambi i profili, quindi questa stima non è a favore di sicurezza.

Metodo delle forze considerando gli effetti del secondo ordine

Asta incastro appoggio

Siccome parlo di effetti del secondo ordine, c’è sempre un carico assiale applicato. Quando scrivo l’equilibrio in situazione di secondo ordine, è sempre un equilibrio in configurazione deformata, quindi traslando il carico assiale acquista braccio e deve essere considerato nell’equilibrio.

Asta incastro incastro

Metodo di Neumann per risolvere una colonna a due piani

Pensiamo di avere un pilastro che connette due piani, entrambi controventati. Neumann riduce praticamente l’asta che noi supponiamo che non si instabilizza, come una molla per l’asta che si instabilizza.