Appunti di Tecnica delle Costruzioni Teoria (Telai) - Parte 1

TECNICA DELLE COSTRUZIONI

- PARTE 1

TRAVI

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MODELLO DI TRAVE

Quando affrontiamo un corpo continuo 3D, siamo interessati a conoscere lo stato deformativo. Definiamo

una superficie Sf del corpo, sulla quale andiamo a definire i carichi di superficie fi.

Poi abbimao una zona Su, che è la zona dove il corpo continuo risulta

vincolato. In questa regione gli spostamenti Si sono assegnati, cioè i

punti di questa superficie avranno degli spostamenti che sono nulli se il

vincolo è perfetto, oppure sono assegnati, e parleremo di cedimenti.

Il solido ha un suo volume V e all’interno del volume ci sono le forze di

volume Fi, cioè in ogni punto c’è una forza di volume con le sue 3

componenti.

Se questo solido è vincolato e caricato, se il corpo è continuo ed

elastico, la soluzione esiste ed è unica, e noi vogliamo determinare lo

stato deformativo in termini di spostamento e deformazioni, e lo stato tensionale.

Ipotesi

Le ipotesi che ci permettono di dire che questa soluzione esiste ed è unica sono:

• è un continuo che non è capace di trasmettere delle micro-coppie,

Continuo deformabile alla cauchy:

non esistono micro-coppie. Estraiamo una porzione di continuo, ed andiamo a raffigurare le forze,

abbiamo un momento ! M e a una risultante ! R, questi vettori sono gli

sforzi che vengono applicati dalla restante parte di continuo a questa

porzione.

Possiamo dire che quindi se estraiamo una porzione di

non esistono anche microforze di superficie,

superficie ! s e applichiamo ! M e ! R, anche in questo caso possiamo dire che:

Questo è il significato di un alla cauchy che non ammette microcoppie di superficie e di volume.

continuo secondo ordine questa ipotesi verrà

• deformazioni: (nel

Ipotesi di piccoli spostamenti e di piccole

rimossa)

• un materiale iperelastico, è un materiale che

Materiale elastico (iperelastico) omogeneo e isotropo:

ammette potenziale, quindi esiste una energia elastica, se tu mi dai un valore tensionale finale, il valore

energetico è univoco. Se utilizzo questa ipotesi non posso studiare un materiale che dissipa ciclicamente.

Omogeneo vuol dire che il comportamento di tutti i punti è lo stesso, il legame costitutivo è uguale in ogni

punto. Isotropia, vuol dire che il comportamento in un punto non si differenzia a seconda della direzione

che sto considerando, il legame rimane inalterato per tutte le direzioni.

EQUAZIONI DISPONIBILI 2 !ij

Se ci fermassimo qui non abbiamo sufficienti equazioni perche avrei del di

6 incognite tensore sforzo

(6 e non 9 perchè il tensore è simmetrico, quindi il materiale è alla cauchy cioè non esistono microcoppie),

"

del di che è simmetrico per definizione e di

6 incognite tensore deformazione 3 componenti

Quindi

spostamento s. 15 incognite e 9 equazioni, ci manca il legame costitutivo.

Se facciamo ora un bilancio, abbiamo 15 incognite 6=!ij 6="ij 3=si e 15 equazioni 3 equazioni di

equilibrio, 6 equazioni di congruenza e 6 equazioni di legame costitutivo quindi la soluzione esiste

ed è unica.

PASSARE DA UN CORPO 3D ALLA TRAVE

Il continuo trave lo caratterizziamo da un punto di vista geometrico, ha una dimensione geometrica

prevalente rispetto alle altre due. L’obbietivo del modello di trave è conoscere lo stato deformativo e

tensionale in ogni punto di questo corpo 3D conoscendo soltanto la

deformata del suo asse. Vado a caratterizzare la geometria prevalente in

una direzione, con la sola linea baricentrica, e conoscendo la deformata

di quella linea io voglio conoscere, sotto certe ipotesi, lo stato tensionale

e di deformazione di quella struttura.

Ci sono però situazioni in cui questa semplifacazione va in crisi, per cui nella

storia si è passati per gradi a esaminare innanzitutto problemi in cui, il corpo

continuo abbia in realtà una dimensione che risulta si prevalente, ma dove le

altre due sono trascurabili, come una trave parete.

non

Per trasformare un problema 3D in un problema piano negli sforzi, occorrono

certe ipotesi:

!z=0

• se abbiamo un sistema di riferimento come il nostro. Cioè questo corpo è prevalentemente

caricato nel piano X Y e i carichi che agiscono lungo Z sono trascurabili. Se usiamo questa ipotesi, io

posso immaginare di ridurre questo corpo continuo 3D a sole due dimensioni prevalenti. Cerco di

andarmi a studiare il comportamento nel piano, e per farlo ha pensato di andare a introdure il

filon

concetto di sforzo medio.

Fatto questo ecco che il generico problema 3D diventa un problema piano negli sforzi. Mi serve un’altra

ipotesi ma lo vediamo dopo.

La mia trave non abbia componenti vincolate di spostamento,

Se io mi limito a considerare lo sforzo medio io posso dire che le componenti di spostamento sono 2.

Quindi la componente di spostamento lungo Z la ignoro anche se

dovesse esistere. 3

Gli sforzi invece saranno le

seguenti componenti medie,

mentre le componenti deformative

saranno quelle ad esse associate.

Tutte queste sono funzioni del generico punto che

viaggia nel piano medio, quindi se vado a scrivere

l