Appunti di Tecnica delle Costruzioni Teoria (Telai) - Parte 1

PASSARE DA UN CORPO 3D ALLA TRAVE

Il continuo trave lo caratterizziamo da un punto di vista geometrico, ha una dimensione geometrica prevalente rispetto alle altre due. L'obbietivo del modello di trave è conoscere lo stato deformativo e tensionale in ogni punto di questo corpo 3D conoscendo soltanto la deformata del suo asse. Vado a caratterizzare la geometria prevalente in una direzione, con la sola linea baricentrica, e conoscendo la deformata di quella linea io voglio conoscere, sotto certe ipotesi, lo stato tensionale e di deformazione di quella struttura. Ci sono però situazioni in cui questa semplifacazione va in crisi, per cui nella storia si è passati per gradi a esaminare innanzitutto problemi in cui, il corpo continuo abbia in realtà una dimensione che risulta si prevalente, ma dove le altre due sono trascurabili, come una trave parete. Per trasformare un problema 3D in un problema piano negli sforzi, occorrono certe ipotesi: - z=0 - se abbiamo unsistema di riferimento come il nostro. Cioè questo corpo è prevalentemente caricato nel piano X Y e i carichi che agiscono lungo Z sono trascurabili. Se usiamo questa ipotesi, io posso immaginare di ridurre questo corpo continuo 3D a sole due dimensioni prevalenti. Cerco di andarmi a studiare il comportamento nel piano, e per farlo ha pensato di introdurre il concetto di sforzo medio. Fatto questo ecco che il generico problema 3D diventa un problema piano negli sforzi. Mi serve un'altra ipotesi ma lo vediamo dopo. La mia trave non abbia componenti vincolate di spostamento. Se io mi limito a considerare lo sforzo medio io posso dire che le componenti di spostamento sono 2. Quindi la componente di spostamento lungo Z la ignoro anche se dovesse esistere. Gli sforzi invece saranno le seguenti componenti medie, mentre le componenti deformative saranno quelle ad esse associate. Tutte queste sono funzioni del generico punto che viaggia nel piano medio, quindi se vado a

scriverele equazioni che abbiamo scritto prima ottengo: Queste formule valgono nel volumeconsiderato, ma noi stiamo parlando di unproblema piano, e quindi questo approccioche fa riferimento a un volume, è un volumecaratterizzato da tanti piani che hannosempre lo stesso sforzo.Quindi se io raffiguro il mio problema nelpiano medio quello che è V, è V nel senso che gli associo uno spessorecostante e non ha piu senso trattare la componente ilin Z. Quindivolume V è una superficie per uno spessore costante.

LEGAME COSTITUTIVO Ottengo un legame fra le componenti deformative e lecomponenti di sforzo.4Una volta chiaro questo concetto, io posso andare a giustificare la relazione di Gdi un continuo elastico, quindi se ora mi chiedo quanto vale l’energiaRicordandomi che sto parlando tensionaleelastica di questo particolare stato di sforzoSe ora cambio il sistema di riferimento, e ruoto di 45°, l’energia elastica E non è piu raffigurabile in

terminiin termini degli sforzidi " e di # ma sara raffigurabile principali che si generanoIo mi accorgo che nella direzione 1 ho delle compressioni quindi $1<0 e la %1<0, quindi il prodotto saràpositivo,e $2>0 e la %2>0. Se ora mi ricordo le espressioni di legame costitutivo scritte prima, io posso direSostituisco nelle relazioni precedenti ma ricordando che $1 come modulo è sempre "Questa dimostrazione ci dice che l’energia elastica non dipende dal sistema diriferimento.QUESTA FORMULA E LA SUA DIMOSTRAZIONE SONO DA SAPERE5equilibrio congruenza e legame costitutivo,Ho quindi introdotto a questo punto posso fare una prima"zosservazione, cioè che la non è nullaImmaginiamo ora che la Su=0 (non ho componenti di spostamento vincolate) insieme alla ipotesi di!z=0. La prima ipotesi vuol dire che trasformo le componenti di spostamento vincolate inprimareazioni vincolari, ipotizzo di poter trattare il mio sistema di trave nel piano

medio come autoequilibrata, quindi globalmente le forze applicate al contorno devono autoequilibrarsi. costitutivo, perché ho questa equazione partendo dall'equazione di congruenza contiene il legame. Quindi qua dentro ho trasformato le deformazioni in sforzi, e contiene l'equazione di congruenza. congruenza, legame costitutivo ed equilibrio. Se risolvo questa equazione ho la soluzione del mio problema elastico. Airy nel 800 ha dato una soluzione a questo problema elastico, a questa equazione. Ha detto, di Airy e immaginiamo di definire le immaginiamo di introdurre una funzione &(x,y) chiamata funzione componenti di sforzo $x $y e " xy in funzione di questa funzione & Se io scelgo queste espressioni le equazioni di equilibrio indefinite sono automaticamente soddisfatte perché diventano delle identità. Sostituisco nell'equazione trovata di prima 6 Se io trovo una generica & che risulta caratterizzata da cioè una equazione

biarmonica, questa esprimerà uno stato tensionale che io posso determinare. Prendiamo una funzione & biarmonica. Applico ora il metodo semiinverso, cioè parto da una funzione analitica, verifico che risulti biarmonica, a questo punto scopro a quale tipo di stato tensionale corrisponde la funzione analitica. Per conoscere i valori di a, b e c basta che io vado ad applicare le equazioni indefinite di equilibrio di Cauchy, quindi a, b e c diventano associati agli sforzi al contorno che io ho. Lo stato tensionale è costante in x, y e in z.

MODELLO CINEMATICO DI TRAVE

Consideriamo una trave che abbia una direzione prevalente alle altre, e simmetriche rispetto all'asse y. La direzione x prevale in lunghezza rispetto alle direzioni x e y. Immaginiamo di porci nel piano medio, e qui ragiono con le stesse ipotesi usate nell'ambito bidimensionale prima, cioè io considero gli sforzi medi nello spessore. In questa condizione io posso immaginare di avere le due linee

intradosso e estradosso (linee tratteggiate) e la traccia della trave che è il segmento che unisce l'estradosso con l'intradosso. Supponiamo che il punto P risulti sull'asse baricentrico della trave, e che subisca uno spostamento, una traslazione nella direzione x u(x) e subisca anche uno spostamento nella direzione y v(x) e infine ruota di una rotazione φ(x). La stessa cosa lo possiamo fare per un punto Q che non sia sull'asse baricentrico. Noi vogliamo descrivere gli spostamenti di questo punto Q. Nel piano questi spostamenti saranno funzione di x e y.

Calcolo ora le deformazioni sfruttando la congruenza. Per prima cosa vettorializzo il tensore simmetrico di deformazione.

Introduco le componenti di deformazione generalizzate q definite in questo modo:

di prima devo introdurre una matrice:

Per usare questo vettore q e far tornare l'espressione.

A questo punto io vado a definire attraverso la definizione di lavoro esterno e lavoro interno, i carichi e

Le azioni generalizzate. Iniziamo a definire i carichi generalizzati, ci sono le forze di volume che ha due componenti nel caso piano. Nota queste 3 componenti vediamo di capire cosa rappresentano. Prendo il mio concio lungo dx. Se vado a guardare il concio ci sono due osservazioni importanti:

1. io sto integrando rispetto all'area delle forze di volume, quindi significa che sulla trave io ho dei carichi, io questi carichi dovrò vederli come delle forze di volume, non posso più vederli come carichi applicati all'estradosso, e ciò significa che con questo modello di trave io non riuscirò a distinguere un carico che insiste sull'estradosso, da un carico appeso all'intradosso, perché entrambi saranno visti come delle forze di volume equivalenti.
2. Quindi non avrò nessuna informazione sul fatto che se metto dei carichi (blu) nel quadrato sotto avrò un equilibrio locale che dovrò rispettare. Ma per conoscere questi sforzi non posso usare

questo modello.Quando ragione sulla trave quello che vado a fare è un equilibrio sull'intero concio.L'integrale delle forze di volume rappresentano un carico distribuito applicato sulla faccia nel concio n(x) p(x) m(x)x p(x) carico distribuito lungo y e m(x) una coppia distribuita che ruota in senso antiorario

Veniamo adesso alla definizione delle azioni interne, e la introduciamo in maniera duale, cioè usiamo la definizione di lavoro interno specifico, per la definizione delle azioni interne..N M V diventano gli sforzi generalizzati consistenti con il modello di trave.

Equilibrio

Vediamo adesso di introdurre l'equilibrio che insieme al legame costitutivo è l'ultimo passaggio per definire il modello di trave. L'equilibrio si può impostare in tanti modi, noi usiamo l'equilibrio del concio di trave. Sul concio agisce il p(x) n(x) e m(x) contemporaneamte io so che sul mio concio di trave agirà una

N,N+dN una v, V+dV e una M, M+dM Legame costitutivo Per introdurre il legame costitutivo, io devo partire dagli sforzi che mi soppravvivono quindi x e xy e soe #xy, e quindi queste componenti sono relazionabiliche le deformazioni che corrispondono sono %x secondo le seguenti leggi: 10C'è però un problema, se faccio i conti e li confronto con la sperimentazione, mi acorgo che l'ultimorealtà una rigidezza eccessiva, perchè non ho tenuto conto dellalegame, quello tra il V e il t, è indistribuzione degli sforzi tangenziali, li ho assunti come se fossero costanti sulla mia sezione, ma sullafaccia di estradosso e di intradosso non posso avere sforzi tangenziali, quindi questo approccio mi daquesto errore, cioè il GA che trovo è più grande del GA che misuro sperimentalmente. Per risolvere questo problema, devo arricchire il modello cinematico, tenendeo conto dell'equilibrio localehce io nel mio modello non ho.Considerato. Io posso immaginare di ridefinire gli sforzi locali come una particolare matrice S (che definisce la distribuzione di sforzi sulla sezione) per il vettore degli sforzi generalizzati Q. Quindi in sostanza, dimmi quanto vale il taglio che compare nello sforzo generalizzato Q e io ti dico che per questa particolare espressione di Q, ti do delle distribuzioni di sforzo, che siano capaci di considerare anche l'equilibrio locale. Considerando così una distribuzione parabolica e non costante. L'idea quindi è, partiamo dagli sforzi generalizzati, introduciamo una matrice S che distribuisce quegli sforzi, tenendo conto degli equilibri locali, e a questo punto ridefiniamo il lavoro interno specifico come: 11funzione più complicata è di fatto il quindi vediamo di sfruttare Questa e comprendere fattore di taglio.