Appunti di Tecnica delle costruzioni T

A

momento che bisogna applicare in A per ottenere, sempre in A, la rotazione unitaria.

 Rigidezza alla rotazione

Data una trave continua a due campate di rigidezza EI uniforme, caricata da una coppia

esterna M sull’appoggio centrale C, si vogliono conoscere i momenti M e M . In altre

C Cs Cd

parole, si vuole sapere in quale proporzione il momento applicato M si ripartisce sulle due

C

aste convergenti nel nodo C. Invece di considerare incogniti i momenti sull’appoggio C

(metodo delle forze) si può applicare il metodo delle deformazioni, considerando come

incognita la rotazione del nodo, che è identica per tutte le aste convergenti. Le rigidezze

C

delle due campate R e R sono i momenti che provocano in C la rotazione unitaria. I

Cs Cd

momenti in C competenti alle singole aste si possono dunque trovare moltiplicando le

rigidezze per la rotazione effettiva , tuttora incognita ma identica per entrambe le aste. Si

C

ha: = ⋅

= ⋅

Per l’equilibrio del corpo rigido, la somma dei momenti di nodo deve uguagliare il momento

applicato M . Si ha:

C = + = ( + )

Quando, in generale, nel nodo convergono più di due aste (si pensi ai telai), si può scrivere:

= ∑ = ⋅ ∑

e quindi, infine:

=

∑

Determinata la rotazione, il calcolo dei momenti che si ripartiscono nelle varie aste è

immediato. Si ha:

= ⋅ =

∑

= ⋅ =

∑

e, in generale:

=

∑

Il momento applicato in un nodo si ripartisce tra le aste concorrenti in modo proporzionale

alla rigidezza delle aste stesse.

I rapporti sono anche chiamati coefficienti di ripartizione relativi al nodo C; la loro

∑

somma è sempre uguale a 1.

1.4.2 Caso generale

Come trattare le strutture con più spostamenti possibili?

o Metodo iterativo di Cross

o

Sistema di equazioni di equilibrio⇒

CAP. 2 - PROGETTO/VERIFICA DI STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO

2.1 Metodi di verifica

La verifica è il passaggio che segue lo studio dell’azione interna della struttura e serve a determinare i

massimi carichi sopportabili dal sistema di travi, fornendo tensioni massime ammissibili o tensioni di

rottura (metodi deterministici) o la probabilità che in un certo campione di sforzi avvenga la rottura

(metodi di 2° e 3° livello e metodi semi-probabilistici).

La differenza principale tra i vari metodi è che i primi considerano le variabili resistenza e azione

come deterministiche, mentre i secondi come aleatorie.

2.1.1 Variabili aleatorie

= 0

Il valore medio e la derivazione standard (se allora variabile deterministica) sono due

parametri fondamentali. Definita allora “densità di probabilità” la funzione che assegna ad ogni

evento appartenente al dominio la possibilità di verificarsi, ci chiediamo come si possa ricavare.

Esistono, in generale, dei modelli, il più famoso trai quali è la distribuzione di Gauss, o distribuzione

normale (d. di una v. a. continua):

I calcoli si fanno operando un cambio di variabili:

Ottenendo:

Nella curva di Gauss, il valore medio, la mediana e la moda sono tutti posizionati nello stesso punto,

e il 68% dei dati si trova entro un deviazione standard dal valore medio, il 95% entro due deviazioni

standard, e il 99.7% entro tre deviazioni standard.

Le distribuzioni normali permettono di introdurre il concetto di frattile (K%): il "frattile percentuale"

è un concetto statistico che rappresenta la posizione di un dato in una distribuzione di probabilità. In

altre parole, indica la percentuale di dati che si trova al di sotto di un determinato valore in una

distribuzione. Ad esempio, il 25° percentile (o primo quartile) indica il valore al di sotto del quale si

trova il 25% dei dati. Quindi, se consideriamo una distribuzione normale e vogliamo trovare il valore

al 25° percentile, stiamo cercando il punto in cui il 25% dei dati è al di sotto. Questo corrisponderà a

un valore negativo di circa -0.67 deviazioni standard dal valore medio nella curva di Gauss.

La distribuzione Gaussiana, come tutte le distribuzioni di variabili non discrete, è solo un modello:

può quindi risultare, talvolta, incompatibile con il problema di riferimento.

Definiamo:

 Azioni “F”, cause che inducono sollecitazioni nella struttura

: perm. + var.

.

{ (cedimenti)

.

 Effetto delle azioni “E”, le caratteristiche della sollecitazione

Momento

{ Taglio

Sforzo normale

 Resistenze “R”, capacità della struttura di resistere ai carichi.

2.1.2 Metodo tensioni ammissibili (deterministico)

- F, azioni:

o Valori nominali

o Combinazioni di carico: somma dei valori nominali (indipendentemente dal fatto che sia poco

probabile avere massimi valori dei carichi).

- E, calcolo effetto azioni → modelli lineari

tensione cui corrisponde la crisi del materiale

= =

- R, resistenze coefficiente di sicurezza

Questo metodo, per quanto di rapido e facile utilizzo, presente delle criticità:

1. Si perde il carattere aleatorio delle grandezze in gioco. Non si può valutare la probabilità di

→

crisi della struttura Importante per un dimensionamento economico delle strutture.

2. Cade in difetto nel caso tensioni elevate.

2.1.3 Calcolo a rottura (deterministico)

Si fa riferimento al comportamento a rottura delle strutture:

- F, azioni: nominali per coefficienti di sicurezza

- E, calcolo effetto azioni: calcolo rottura

- R, resistenze: resistenze ultime

≤

- Verifica:

(non si utilizzano le tensioni come parametro di verifica)

Questo metodo, per quanto di rapido e facile utilizzo, presente delle criticità:

1. La verifica è ancora di tipo deterministico.

2. La struttura avrà un sufficiente margine di sicurezza a rottura, ma può avere un

comportamento insufficiente in esercizio.

2.1.4 Metodo di tipo probabilistico

Il caso fondamentale dell’affidabilità:

Caso ammissibile > ( > )

Crisi struttura < ( < )

{ Stato limite = ( = )

Allora definiamo metodo di III livello il calcolo di:

= ( ≤ 0)

Si dimostra che: = −

distrib. normale ( , )

)

{ ⇒ ( , ⇒ {

2 2

distrib. normale ( , ) √

= +

La risoluzione del sistema di equazioni di cui sopra è definita metodo di II livello.

2.1.5 Metodo dei coefficienti parziali (semi-probabilistico)

Non si vuole integrare per ottenere probabilità di crisi, ma tenere una sufficiente distanza da S e R.

Il problema allora si sposta sulla definizioni dei coefficienti parziali, definito calibrazione:

- F, azioni:

o Valori di progetto

o Combinazioni di carico

- E, calcolo effetto azioni → Modelli lineari

- R, resistenze: calcolo resistenze di progetto

≤

- Verifica:

Si può calibrare la probabilità di insuccesso in modo diverso a seconda della gravità dello stato limite

considerato: −5 −6

> 1): ≅ 10 /10

1. ST. LIMITE ULTIMI ( −2 −3

= 1): ≅ 10 /10

2. ST. LIMITE ESERCIZIO (

Inoltre, negli S.L.U. la può essere diversa a seconda del tipo di crisi che ci si aspetta (come una crisi

duttile o fragile).

→ queste probabilità si riferiscono alla vita utile della struttura.

2.2 Principi generali di progettazione

Le opere e le componenti strutturali devono essere progettate, eseguite, collaudate e soggette a

manutenzione in modo tale da consentirne la prevista utilizzazione, in forma economicamente

sostenibile e con il livello di sicurezza previsto dalle norme.

La sicurezza e le prestazioni di un’opera o di una parte di essa devono essere valutate in

relazione agli stati limite che si possono verificare durante la vita nominale.

Per stato limite si intende la condizione superata la quale l’opera non soddisfa più le esigenze

per le quali è stata progettata.

Definiamo:

 Sicurezza nei confronti di stati limite ultimi (SLU): capacità di evitare crolli, perdite di

equilibrio e dissesti gravi, totali o parziali, che possano compromettere l’incolumità delle

persone, la perdita di beni, gravi danni ambientali e sociali e/o mettere fuori servizio l’opera;

 Sicurezza nei confronti di stati limite di esercizio (SLE): capacità di garantire le prestazioni

previste per le condizioni di esercizio;

 Robustezza nei confronti di azioni eccezionali: capacità di evitare danni sproporzionati

rispetto all’entità delle cause innescanti, quali incendio, esplosioni, urti o simili.

- Il superamento di uno stato limite ultimo ha carattere irreversibile e si definisce collasso.

- Il superamento di uno stato limite di esercizio può avere carattere reversibile o irreversibile.

2.2.1 Parametri di definizione

I parametri di definizione degli SLU sono:

a) Perdita di equilibrio o di una sua parte;

b) Spostamenti o deformazioni eccessive;

c) Raggiungimento della massima capacità di resistenza di parti di strutture, collegamenti,

fondazioni;

d) Raggiungimento della massima capacità di resistenza della struttura nel suo insieme;

e) Raggiungimento di meccanismi di collasso nei terreni;

f) Rottura di membrature e collegamenti per fatica;

g) Rottura di membrature e collegamenti per altri effetti dipendenti dal tempo;

h) Instabilità di parti della struttura o del suo insieme.

I parametri di definizione degli SLE sono:

a) Danneggiamenti locali (come eccessiva fessurazione del calcestruzzo) che possono ridurre la

durabilità della struttura, la sua efficienza o il suo aspetto;

b) Spostamenti e deformazioni che possono limitare l’uso della costruzione, la sua efficienza e il

suo aspetto;

c) Spostamenti e deformazioni che possano compro