Appunti di Tecnica delle costruzioni M (A-K) - Parte 3

Y Z

superfice nella direzione parallela a z, normale alla superfice.

Prendiamo il nostro elemento infinitesimo e lo guardiamo nel piano x-z. A causa della curvatura della

superficie del guscio, ci sarà una componente di n in direzione z:

X

In questo caso non viene considerata la variazione di n lungo x perché nascerebbe un infinitesimo di ordine

X

superiore, quindi il secondo contributo diventa trascurabile:

Sommando i contributi n in direzione z si ottiene:

x

Ora prendiamo il nostro elemento infinitesimo e lo guardiamo nel piano y-z. A causa della curvatura della

superficie del guscio, ci sarà una componente di n in direzione z:

Y

Dalla somma dei due contributi si ottiene:

Però risulta ancora in direzione orizzontale, è necessario pertanto riproiettarlo per ottenere la componente

in direzione z:

La risultante P la calcoliamo approssimando questo elemento di guscio ad un rettangolo.

Z P

Z

Sommando i contributi di n , n , p , è possibile scrivere l’equazione di equilibrio in direzione z come:

x y z

Sostituendo a questo punto le due lunghezze degli archi dell’elemento di guscio si ottiene:

Ora vado a dividere per 1/(R R ):

X * Y

Le equazioni di equilibrio in regime membranale per un generico guscio valgono:

La prima cosa da fare è l’equilibrio alla traslazione nella direzione dell’asse di

rotazione che ci consente di ricavare n , il quale lo vado a inserire nella seconda

X

equazione, che è l’equilibrio in direzione z, e alla fine posso trovare n .

Y

Esempio

Si consideri un guscio cilindrico (un tubo) ottenuto facendo ruotare la generatrice, che è una linea retta,

attorno all’asse di rivoluzione e pensiamo di avere una pressione interna uniforme:

La p è diretta sempre come z perché per definizione di pressione, se il tubo trasporta un fluido, è normale

alla superfice. Se non consideriamo il peso proprio del tubo e ci interessa solo l’effetto della pressione su

questo tubo, Q = 0 e n = 0. Quindi la prima equazione vista in precedenza non ci serve e nella seconda

θ x

equazione consideriamo:

La pressione, se il tubo contiene acqua, è girata opposta a z per cui la p è negativa nel sistema di

Z

riferimento che abbiamo considerato, per cui diventa positiva ( - e - = +).

In questo caso i raggi di curvatura valgono:

(c’è un errore nel disegno! r va misurato fino metà spessore)

La tensione agente nella condotta è pari a:

σ non vuol dire la tensione di snervamento ma è la tensione in direzione y,

Y

cioè il tubo in direzione circonferenziale ha delle tensioni che girano tutto

attorno alla circonferenza.

Esercizio

Se la condotta presenta un carico di acqua pari a 100 metri, la sua pressione di esercizio risulta pari a 10

atm, si dimensiona la struttura considerando 15 atm con adeguato margine di sicurezza in relazione allo

snervamento.

Esempio

Se abbiamo un serbatoio cilindrico con vincoli su sede conica ed è a pelo libero (pieno d’acqua), la

pressione avrà un andamento triangolare che varia con la profondità:

Un carico come questo ha un andamento lineare, quindi, sarebbe compatibile con regime membranale.

Se mi metto in una generica posizione, prendo taglio parallelo, se sono alla base avrò:

n = 0 anche in questo caso perché sto trascurando il peso proprio. Se non trascurassi il peso proprio n

X X

dovrei calcolarmi il peso della parete, senza considerare l’acqua che spinge solo in orizzontale.

Sapendo che R =r e y=h, n lo potremmo calcolare con:

y Y

n è zero in superfice e cresce linearmente andando verso il fondo.

Y

Se consideriamo una struttura priva di carichi, vogliamo realizzare una tenso-struttura composta da funi in

direzione x e y che sono tutte tese, ovvero lavorano tutte a trazione, la soluzione sarà:

Questa equazione la posso soddisfare con n > 0 e n > 0 soltanto se i due raggi di curvatura hanno segno

X Y

opposto. Ad esempio:

Calotta semisferica soggetta a pressione uniforme

Si considera una P esterna positiva e uniforme (direzione verso l’interno del guscio). I vincoli in realtà sono

Z

su tutta la circonferenza di base ed essendo mezza sfera i vincoli sono dei carrelli perché danno delle

reazioni che devono essere tangenti alla superfice. In questo caso la tangente può subire carichi verticali

quindi parliamo di vincolamento su sede conica. Siamo nelle condizioni di stato tensionale in regime

membranale.

La calotta è sferica, pertanto, i due raggi di curvatura coincidono:

n e n risultano uguali per simmetria e quindi si ottiene:

X Y

Avremo -P perché nell’equazione di equilibrio una pressione positiva compare con il segno meno.

Nel cilindro tutta la pressione viene equilibrata dalle tensioni circonferenziali, mentre nel caso della sfera il

guscio lavora in entrambe le direzioni in ugual misura, quindi ho degli n che sono esattamente la metà nelle

due direzioni.

Calotta semisferica soggetta a peso proprio

La calotta, caratterizzata da uno spessore s, è ora soggetta al peso proprio. Il suo peso è dettato dallo

spessore e dal peso specifico.

Si considera a questo punto una sezione orizzontale del guscio in corrispondenza di un generico punto A e

si applicano le equazioni di equilibrio. Per prima cosa è possibile ottenere il Q come:

θ

In questo caso Q è il peso della porzione di calotta tratteggiata in rosso. Quindi ci siamo ricavati la

θ

risultante del carico che agisce lungo la verticale associato al generico piano orizzontale definito da θ. Dalla

prima equazione di equilibrio si ottiene:

Si considera a questo punto un elemento di lunghezza unitaria, la forza peso agisce in direzione verticale,

pertanto la sua componente in direzione normale vale:

Nella calotta lungo i meridiani c’è

compressione.

Dalla seconda equazione di equilibrio si ottiene:

Pertanto, l’andamento dei diagrammi di sollecitazione è il seguente:

θ = 0

θ = 90 n n

X Y

n X n Y

A θ = 52°, n è zero. Se disegno la mia calotta mi ritroverò che nella parte inferiore ho trazione mentre nella

Y

parte superiore ho compressione.

Quindi non avremo mai che una cupola sferica si fessura in alto, ma se si fessura succede in basso dove c’è

trazione.

Esempio

Nella calotta di porzione sferica, sotto c’erano le travi di legno che giravano come anelli e servivano per

resistere alla trazione.

Calotta semisferica soggetta a carico neve

La calotta, caratterizzata da uno spessore s, è ora soggetta al carico neve:

Consideriamo la proiezione in pianta di una sezione orizzontale del guscio in corrispondenza di un generico

punto A e si applicano le equazioni di equilibrio. Per prima cosa è possibile ottenere il Q come:

B

Dalla prima equazione di equilibrio si ottiene:

Si considera a questo punto un elemento di lunghezza unitaria, la risultante del carico neve agisce in

direzione verticale e vale p*cos(θ), pertanto la sua componente in direzione normale z è:

Dalla seconda equazione di equilibrio si ottiene:

Pertanto, l’andamento dei diagrammi di sollecitazione è il seguente:

Su mezzo disegno è rappresentato n e nell’altra

x

metà n assialsimmetrici.

y

n nella direzione del meridiano abbiamo sempre

x

compressione costante e vale -pR/2.

n nella direzione dei paralleli abbiamo in sommità

y

per θ=0 una compressione massima che vale -

pR/2, mentre alla base per θ=90° avremo una

trazione che vale pR/2.

Se vado a calcolare quando si annulla n vedo che

y

n =0 quando θ=45°.

y

Serbatoio idrico a torre

Supponiamo di avere una torre piezometrica e che il serbatoio contenga acqua fino alla cima e che si trova

su sede conica, cioè alla base ha dei vincoli che permettono un singolo movimento. R =∞

x

R =

y

Si vuole calcolare lo stato tensionale solo per effetto dell’acqua trascurando quindi il peso proprio.

Si considera una sezione ad una certa quota b, il carico di acqua che grava sulla porzione di guscio è un

toroide.

Q è il peso di porzione di acqua triangolare, e visto che l’acqua non trasferisce tensioni tangenziali sulla

θ

porzione di acqua nella zona centrale, il peso di volume d’acqua della porzione triangolare diventa un carico

verso il basso che dovrà risultare in equilibrio con la componente di tensione n .

x

Il volume del toroide lo posso calcolare facendo l’area del triangolo, poi lo moltiplico per la circonferenza

che passa per il baricentro del triangolo. Quindi il volume del toroide è pari a:

Allora: R cambia diventando più piccolo man mano che mi sposto verso il

y

basso. Se considero mezza porzione di serbatoio abbiamo i n che

x

spingono verso l’alto per equilibrare il peso dell’acqua Q , e quelli che

θ

agiscono sono solo la componente verticale di n .

x

A questo punto dalla seconda equazione di equilibrio è possibile ottenere la tensione n :

y

R tende ad infinito pertanto:

x

Le due componenti di tensione risultano quindi indipendenti tra loro. La componente di pressione

esercitata dal liquido sulla parete del serbatoio vale:

Dall’espressione si nota che per tutto il serbatoio θ è sempre lo stesso, quindi cosθ è costante, e questo mi

dice che n varia solo per gli altri termini. Al diminuire di r diminuisce n .

y y

Considerando adesso un esempio numerico, è possibile rappresentare il diagramma di n lungo la parete

y

del serbatoio:

Rispetto al serbatoio cilindrico dove n aumentava all’aumentare della profondità,

y

perché r era costante e quindi aumentava linearmente, in questo caso il vantaggio è che

n diminuisce al diminuire di r, e quindi le tensioni circonferenziali sono minori.

y

Lo svantaggio invece, è che nel serbatoio cilindrico per effetto dell’acqua non avevo n ,

x

mentre nel caso di serbatoio toroide ho anche n che genera compressione.

x

Esempio

Si vuole effettuare un confronto in termini di tensioni tra un serbatoio di acqua troncoconico e uno

cilindrico di uguale volume: Nel serbatoio troncoconico alla base ho uno sforzo

normale per unità di larghezza n =179,02 KN/m.

y

Se vado a fare lo stesso calcolo per il serbatoio

cilindrico avrò una n =208,46 KN/m, si nota un

y

incremento di tensione.

Spostamenti in regime membranale

Finora tramite le due equazioni di equilibrio abbiamo calcolato n e n senza pensare ai possibili movimenti

x y

e deformazioni, cioè della cinematica dei gusci assialsimetrici.

S