Appunti di Tecnica delle costruzioni M (A-K) - Parte 2

Y

l’elemento si deforma in questo modo, e anche se ε = 0 la tensione σ non è uguale a zero ma sarà:

Y Y

Si ottiene in forma estesa:

Le tensioni σ , σ e τ sono diverse da 0 quando z≠0 perché le tensioni sono nulle nel piano medio (neutro)

x Y xy

della piastra a z=0.

Se consideriamo un elemento di lastra, andiamo a vedere quali sono le tensioni positive che ha per z>0:

Avremo che γ = γ = 0. Per avere l’equilibrio abbiamo bisogno di avere delle forze di taglio che non possono

xz yz

non essere associate a delle tensioni tangenziali come vediamo nel disegno. Questa è una teoria flessionale

quindi il taglio entra solo in termini di equilibrio non entra nella congruenza. Quindi le tensioni τ , τ ci

xz yz

devono essere per avere equilibrio però con questa teoria non le possiamo calcolare.

Rappresentiamo le τ e le σ lungo lo spessore. Il momento associato a σ lo chiameremo momento flettente

x

mentre il momento associato a τ sarà un momento torcente.

xy

Quando guardiamo la direzione y, le σ (fanno ruotare attorno all’asse x) mi danno un momento flettente m

y y

mentre τ (fanno ruotare attorno all’asse y) mi danno momento torcente m .

yx yx

Gli andamenti delle tensioni

tangenziali τ e τ li trascuriamo

xz yz

perché sono calcolati tramite le

formule di Jourawski che non

trattiamo in questo corso.

Se guardo di fronte la faccia di normale x:

Le σ sono ortogonali al piano del disegno, quindi non le vedo. Mentre vedo le τ che saranno, per z positiva,

x

dirette per y positiva, per z negativa, dirette per y negativa.

Queste τ fanno ruotare l’elemento attorno all’asse x e quindi questo è l’effetto del momento torcente.

Invece, l’effetto del momento flettente lo devo guardare dal piano x-z, ovvero dal disegno della faccia di

normale y, però considerando sempre le tensioni di normale x. Queste σ fanno ruotare l’elemento attorno

x

all’asse y.

Integriamo ogni tensione normale lungo lo spessore della piastra moltiplicandola per il braccio, otteniamo i

momenti flessionali e torsionali unitari:

Esempio

Voglio andare a calcolare il momento associato a queste tensioni:

Se prendo una porzione infinitesima posso andare a calcolare il

contributo infinitesimo al momento dato dalla strisciolina

infinitesima che si trova a una distanza z dal piano medio.

Vado a definire il momento m che è il momento flettente che

x

agisce sulla faccia di normale x o si può dire anche come il

momento flettente prodotto dalle tensioni σ che sono le tensioni

x

normali che agiscono sulla faccia di normale x.

Nella direzione y considero una larghezza unitaria della lastra

quindi abbiamo momenti x larghezza unitaria (moltiplico per 1).

dove B è la rigidezza flessionale della piastra rispetto al momento m x

3

h /12 sarà il momento d’inerzia per un rettangolo alto h e largo 1 perché stiamo considerando una striscia

2

unitaria. (1 – ν ) viene dal fatto che stiamo considerando lo stato piano di tensione per cui le fibre in una

direzione non sono libere di deformarsi trasversalmente. Oltre ad avere la curvatura in x abbiamo anche il

coefficiente di Poisson per la curvatura in y per cui possiamo avere momento in x anche se non c’è curvatura

in x. La funzione W non dipende da z perché trascuriamo lo schiacciamento della lastra per cui W è solo

funzione di x e y.

Poi facciamo lo stesso conto per le altre componenti di tensione (σ e τ ), integriamo sempre z perché è

y xy

l’unica cosa che va integrata, ed otteniamo la seguente relazione momento-curvatura.

Momenti flessionali e torsionali unitari in notazione matriciale:

Per esempio:

Ora dobbiamo capire come sono girati i momenti positivi. Queste tensioni producono dei momenti che

secondo la regola della mano destra li posso rappresentare in questo modo. Per il momento flettente,

come nelle travi, il momento

che tende le fibre inferiori è

un momento positivo.

Teoria di Kirchhoff-Love – Equilibrio

Adesso andiamo a prendere una porzione infinitesima di lastra e andiamo a scrivere l’equilibrio. Quando

passiamo all’equilibrio bisogna tenere in considerazione anche i tagli.

Abbiamo disegnato i momenti positivi che abbiamo sulla faccia di normale x positiva e normale x negativa.

I momenti variano mentre ci spostiamo lungo l’asse x, quindi se chiamo i momenti che ho sulla faccia di

sinistra m e m , sulla faccia di destra i momenti cambieranno e saranno m più la sua variazione e m più la

x xy x xy

sua variazione. La stessa cosa accade per il taglio quindi a sinistra avrò t e nella faccia sinistra t più la sua

X X

variazione.

Ora facciamo la stessa cosa sulle facce di normale y.

Adesso dobbiamo scrivere 3 equazioni di equilibrio che sono un equilibrio alla traslazione verticale e due

equilibri alla rotazione rispetto a un asse parallelo a x e un asse parallelo a y.

Le frecce rosse sono la rappresentazione con la regola della mano destra di quello che è disegnato a sinistra.

A questo punto incominciamo a fare l’equilibrio alla rotazione rispetto ad un’asse che è parallelo all’asse y,

potrei prendere un’asse qualsiasi parallelo a y, ma prendo questo a perché risulta più comodo.

y

Devo considerare tutte le quantità che fanno ruotare rispetto a y, che sono quelle rappresentate in figura:

I momenti in verde non danno momento

torcente rispetto ad y e quindi non entrano

in gioco nell’equilibrio.

I momenti in rosso sono quelli che ruotano

attorno a y e sono momenti per unità di

lunghezza, quindi devono essere moltiplicati

per la lunghezza del lato:

m = m · dy

x x

)

m + = - (m + · dy

x x

Poi considerando tutte le facce e i lati ho i

momenti torcenti in verde che ruotano

attorno ad y, mentre quelli in rosso no:

m = m · dx

yx yx

)

m + = - (m + · dx

yx yx

Guardando la figura dall’alto, vado a

considerare le forze a taglio che hanno

braccio rispetto all’asse di riferimento preso

in considerazione e che quindi creano

momento:

t = t · dy · dx

x x

Tutti questi momenti e forze che

contribuiscono all’equazione di equilibrio

alla rotazione devono essere pari a zero:

In realtà ci sarebbe un altro contributo che trascuriamo ed è il carico distribuito uniforme sulla superficie

della lastra, siccome l’elemento lo consideriamo infinitesimo la risultante del carico è (q · dy · dx) · dx/2.

Avendo nel carico tre termini infinitesimi si tratta di un termine infinitesimo di grado superiore e quindi è

possibile trascurarlo perché molto più piccolo rispetto agli altri.

Dall’equazione di equilibrio alla rotazione è possibile effettuare delle semplificazioni:

Si ottiene la prima equazione di equilibrio alla rotazione rispetto all’asse y:

Ora dobbiamo calcolare la seconda equazione di equilibrio alla rotazione rispetto ad un’asse che è parallelo

all’asse x, potrei prendere un’asse qualsiasi parallelo a x, ma prendo questo a perché risulta più comodo.

x

I momenti in verde sono quelli che ruotano

attorno a x e sono momenti per unità di

lunghezza, quindi devono essere moltiplicati

per la lunghezza del lato:

M = m · dy

xy xy

)

M + = - (m + · dy

xy xy

Poi considerando tutte le facce e i lati ho i

momenti torcenti in rosso che ruotano

attorno a x, mentre quelli in verde no:

m = m · dx

y y

)

m + = - (m + · dx

y y

Guardando la figura dall’alto, vado a

considerare le forze a taglio che hanno

braccio rispetto all’asse di riferimento preso

in considerazione e che quindi creano

momento:

t = t · dx · dy

y y

Tutti questi momenti e forze che contribuiscono all’equazione di equilibrio alla rotazione devono essere pari

a zero. Quindi analogamente a prima effettuo le semplificazioni e si ottiene la seconda equazione di equilibrio

alla rotazione rispetto all’asse x:

L’ultima equazione che rimane da scrivere è quella relativa alla traslazione lungo l’asse z, quindi

considereremo q che è il carico distribuito sulla lastra e le forze di taglio.

t = t · dy

x x

= )

t + - (t + · dy

x x

t = t · dx

y y

= )

t + - (t + · dx

y y

In più c’è da considerare il carico distribuito:

q = - q · dx · dy

Tutti questi tagli e il carico distribuito contribuiscono all’equazione di equilibrio alla traslazione e devono

essere pari a zero. Dall’equazione di equilibrio alla traslazione rispetto a z è possibile effettuare qualche

semplificazione:

Si ottiene la terza equazione di equilibrio alla traslazione lungo all’asse z:

Una volta ricavate le 3 equazioni di equilibrio occorre andare a combinarle tra loro.

La combinazione delle equazioni avviene facendo la derivata parziale della prima rispetto a x e la derivata

parziale della seconda rispetto a y, successivamente porto a destra dell’uguale il termine della derivata

parziale del taglio, ed infine vado a sostituire all’interno della terza equazione:

2 2

2 2

→

→ + - = 0 + =

2 2

2 2 2 2

→

→ + - = 0 + =

2 2

Questa è ancora un’equazione di equilibrio che andremo a combinare con la relazione che lega momenti e

curvature: 2

m = -B · (W, + vW, ) = -B · (W, + vW, )

x xx yy xxxx xxyy

2

2

m = -B · (vW, + W, ) = -B · (vW, + W, )

y xx yy xxyy yyyy

2

2

1−v

m =