Appunti di Tecnica delle costruzioni (L-Z) - Parte 3

N K*δ, K

0

aderenza e quindi gli effetti dello sforzo di precompressione si devono attribuire all’intero sistema,

composto da calcestruzzo, acciaio da precompressione e acciaio da armatura lenta:

Siccome i tre contributi della rigidezza assiale sono in parallelo allora è

come pensare che ci sia una biella fatta di calcestruzzo, una fatta di

acciaio da precompressione e una fatta di acciaio da armatura lenta;

quando si schiaccia le tre bielle lavorano parallelamente l’uno con l’altro,

quindi la rigidezza complessiva sarà pari alla somma delle tre rigidezze.

A questo punto siccome si è interessati a valutare δ lo si esplicita da tale espressione, ottenendo:

La somma di tutti gli EA che appare al denominatore può essere riscritta ricordandosi che si può

omogeneizzare tutto al calcestruzzo, infatti è possibile ottenere un’area tutta omogeneizzata al

calcestruzzo sommando tutte le aree e moltiplicando quelle dell’acciaio per i relativi coefficienti n, dati

dal rapporto tra il modulo elastico del calcestruzzo e quello dell’acciaio considerato.

Raccogliendo tutti questi termini in questo modo è possibile considerare soltanto il modulo Ec: 120

Ma non si è interessati solo al δ, perché si vuole conoscere la variazione di tensione, che può essere

ottenuta dalla ε, che è uguale all’accorciamento (δ) diviso per la lunghezza inziale (L):

Per cui la variazione di tensione sarà data dalla differenza tra la tensione iniziale e quella finale:

Quindi la perdita di tensione istantanea è uguale a:

La perdita di tensione istantanea non è altro che la tensione media del calcestruzzo omogeneizzato per

il coefficiente di omogeneizzazione , quindi risulta una quantità facilmente valutabile poiché quando

n

sp

si conosce l’area omogeneizzata è semplice fare il calcolo. In linea di massima questa perdita è attorno a

qualche punto percentuale. questo contributo è specifico della tecnologia a

2. Adattamento dei sistemi di ancoraggio (cavi post-tesi):

cavi scorrevoli, cioè post-tensione, quindi non c’è nei pretesi in quanto non sono presenti ancoraggi in

questa tipologia. Nella post-tensione quando si va ad applicare la presollecitazione con il martinetto si

tira ma si spinge contro la testata e spingendo contro la testata questa rientrerà leggermente all’interno

del calcestruzzo, consentendo l’accorciamento del cavo d’acciaio e anche una piccola perdita di tensione.

Anche in questo caso non ci sono formule analitiche, piuttosto ci si basa su delle valutazioni empiriche e

ci si dovrà attendere una riduzione dell’ordine dell’1 o 2% della tensione iniziale:

è la perdita più significativa, si presenta dove si ha scorrimento tra la

3. Perdite per attrito (cavi post-tesi):

trave e l’armatura di precompressione e si verifica solo con la tecnologia di post-tensione (che è appunto

detta anche “a cavi scorrevoli”); quando avviene uno scorrimento relativo si svilupperà un attrito.

In un sistema a cavi scorrevoli per introdurre la precompressione si tira il cavo, facendo contrasto contro

la trave e quindi bisogna fare attenzione a cosa si scambiano il cls e il cavo quando avviene la tesatura. Il

cavo si allunga quando viene messo in tiro e quindi inevitabilmente scorre all’interno della guaina e

proprio l’azione di scorrimento dentro la guaina avviene vincendo l’attrito tra la guaina e il cavo.

Prendendo in considerazione un tratto della guaina, si ha il cavo che

passa al suo interno e che si trova a contatto almeno con alcune parti

della guaina stessa. Se si prende una ipotetica sezione di controllo

come riferimento e se si va ad applicare una grande forza di tiro allora

la sezione considerata in precedenza si sposta leggermente verso

l’esterno perché il cavo si è allungato di una certa quantità. Affinché il

punto si sposti da una sezione all’altra ci deve essere uno scorrimento relativo.

Per effetto dell’attrito nasceranno delle azioni tangenziali che si opporranno all’allungamento del cavo: 121

Ora si procede isolando un tratto di un cavo curvilineo, che può essere definito “infinitesimo” in quanto

l’apertura angolare è si ha un raggio di curvatura R e all’estremità superiore e inferiore del cavo si ha uno

dφ,

sforzo assiale (tiro) che è variabile in generale, perché a causa dell’attrito varia lungo il cavo; infatti sopra si

ha e sotto

N N+dN.

Siccome il cavo è teso il calcestruzzo per mantenerlo in geometria dovrà applicare al cavo una pressione

normale che consiste in una distribuzione di forze normali tra il calcestruzzo e il cavo, se non fosse presente

p

n

tale tensione il cavo tenderebbe a disporsi in maniera rettilinea.

Però se c’è attrito tra i due materiali, allora volendo far scorrere il cavo sul calcestruzzo si deve vincere l’attrito

e quindi deve nascere anche una tensione tangenziale, che è composta da una serie di forze tangenziali

distribuite che prendono il nome di . La lunghezza infinitesima del cavo che si sta considerando è pari a

p ds.

t Le due pressioni e non sono indipendenti tra loro,

p p

n t

perché la forza di attrito è strettamente legata alla

componente normale di pressione, attraverso la seguente

relazione:

secondo cui la componente attritiva (p ) è pari ad volte

f

t

la componente normale, dove non è altro che il

f

coefficiente di attrito. Siccome l’attrito non può essere

trascurato per far avvenire lo scorrimento si deve vincere

; solitamente si assume = 0,3.

la forza pari a f

f*p

n

Questo è il valore assunto per l’attrito guaina-cavo ma se

si ingrassa il cavo l’attrito sarà minore e quindi la perdita

corrispondente sarà più piccola.

Giustificate tutte queste forze occorre andare a discutere l’equilibrio del sistema, valutando l’equilibrio delle

forze sia in direzione tangenziale che normale.

• Equilibrio in direzione tangenziale (t):

N e N+dN sono proiettabili lungo la direzione tangenziale e l’angolo che si forma tra le forze e l’asse t è pari

a in quanto delle coppie di rette tra loro ortogonali formano delle coppie di angoli uguali. Le due forze

dφ/2,

si proiettano su t con la componente coseno e avendo direzioni opposte avranno anche segni opposti.

A questo punto si deve fare anche la risultante delle componenti tangenziali che stanno direttamente lungo

la direzione stessa, la loro risultante sarà pari a in quanto le forze tangenziali distribuite p sono

p *ds, t

t

uniformemente distribuite su tutto ds.

La somma di queste tre forze deve essere uguale a 0:

• Equilibrio in direzione normale (n):

Le forze di precompressione all’estremità del cavo possono essere proiettate anche in direzione normale,

considerando la componenti parallele alla direzione n, ovvero quelle che si ottengono moltiplicando per il

seno dell’angolo In questo caso le componenti sono entrambe dirette verso l’interno quindi vengono

dφ/2.

assunte di segno concorde (positivo). Invece la risultante delle forze distribuite normali è diretta verso

p *ds

n

fuori ha segno contrario e quindi negativo e la loro somma deve essere anche in questo caso uguale a 0: 122

Queste due espressioni possono essere semplificate, infatti il coseno di un angolo infinitesimo può essere

assunto pari a 1, mentre il seno di un angolo infinitesimo può essere confuso con l’angolo stesso. Inoltre, la

lunghezza del cavo considerato ds è uguale al raggio di curvatura per l’angolo al centro:

Introducendo nelle due equazioni precedenti queste assunzioni e semplificando si può riscrivere tutto come:

Dopo tutte le semplificazioni: si lega alla

Se si portano i dalla parte opposta al denominatore si ottiene che la componente tangenziale

ds p

t

variazione dello sforzo assiali di tiro, mentre nella seconda equazione riscrivendo ds come R*dφ si ricava che

la componente normale è uguale a N/R (analogamente a quanto visto nei gusci cilindrici):

p

n che è una forza per unità di lunghezza è uguale allo sforzo N diviso il

p

n

raggio di curvatura R.

e si legano al problema si dovranno mettere insieme, introducendo la legge di

Dopo aver capito come p

p

t n

attrito e sostituendo i valori si possono ottenere due versioni di pn che possono essere uguagliate:

In questo modo si ottiene un equazione differenziale di primo ordine, che può essere risolta perché è una

forma ricorrente e la soluzione di questa espressione è nota e può essere ottenuta facilmente:

Si tratta di un’equazione differenziale nella variabile N che varia rispetto a la cui soluzione è:

φ,

Il generico N, in corrispondenza di un qualsiasi valore di è

φ

uguale al valore iniziale N (condizione al contorno) per una

0

funzione esponenziale, con esponente negativo.

A partire dalla sezione in cui si applica il tiro, dove quindi si ha

N , procedendo lungo l’ascissa angolare il tiro N cala

φ,

0

esponenzialmente, infatti allontanandosi dalla testata della

trave la precompressione decresce; quindi questo è un problema

molto grave in quanto diminuisce molto rapidamente e di

conseguenza si ha una perdita significativa. 123

Siccome la funzione esponenziale ha all’esponente l’angolo in radianti, per quanto detto finora se si è nel

caso di un cavo scorrevole rettilineo, allora e quindi apparentemente non si hanno perdite per attrito.

φ=0

Ma in realtà si è visto che anche lungo percorsi rettilinei l’attrito tra la guaina e il cavo è più piccolo ma è

comunque presente e porterà anche in questo caso ad una perdita di tensione (tiro); per poter mettere in

conto tale perdita semplicemente si dice che se il cavo è rettilineo, dopo aver percorso una certa lunghezza

di cavo rettilineo N vale: eq

In questo modo si trasforma la lunghezza in un angolo equivalente :

φ

dove è la lunghezza del tratto rettilineo, ovvero la lunghezza sulla quale deve essere trasferito il filo.

s

Questo ulteriore contributo deve essere sommato a quello ottenuto in precedenza, in modo da poter

ottenere l’espressione finale:

Complessivamente se si vuole sapere il tiro ad un estremità del cavo, dove si sta tirando all’altra estremità,

quindi si ha una lunghezza angolare e una lunghezza fisica s, il valore di N si può ottenere tramite questa

φ

espressione. Se si vuole conoscere la percentuale di perdita basta fare il rapporto N/N .

0

N è sempre pi&ugra