Appunti di Statistica

STAT. DESCRITTIVA

VARIABILE/CARATTERE X: fenomeno d'interesse

MODALITÀ: valori/livelli/categorie diversi che può assumere la variabile di interesse

UNITÀ STATISTICA: entità sperimentale osservabile che presenta la variabile x

POPOLAZIONE: è l'insieme completo delle unità statistiche esistenti nel quale si indaga varia la variabile x. Dimensione della popolazione: N

CAMPIONE: sottoinsieme di unità osservate nella popolazione. Definito con la dimensione del campione (m < N)

TIPO DI CAMPIONAMENTO: procedimento usato per selezionare un campione di dimensione m da una popolazione contenente N unità statistiche

PARAMETRO: caratteristica specifica della popolazione

STATISTICA: caratteristica specifica del campione

VARIABILI

• QUALITATIVE (categoriche)
  • Si manifestano attraverso categorie non numeriche
  • SCONNESSE
  • ORDINALI
• QUANTITATIVE (numeriche)
  • Rappresentate in forma numerica
  • DISCRETE (numeri interi)
  • CONTINUE (numeri reali)

DISTRIBUZIONE INDIVIDUALE DEI DATI

Data una variabile X osservata su un campione di m unità statistiche, la distribuzione individuale dei dati [a₁, a₂, a₃ ... a_m] è insieme delle modalità osservate nell'ogni unità.

- Da cui si costruisce la distribuzione di frequenza (che sintetizza i dati)

• N: numero di modalità che può assumere X
• m_i: FREQUENZA ASSOLUTA: numero di volte per cui X assume modalità x_i

• g_i = frequenza relativa
• P_ui = frequenza percentuale = g_ui * 100
• N_i = frequenza cumulata (somma frequenze assolute)
• F_u = frequenza relativa cumulata

Per una variabile quantitativa continua:

Si può fare una distribuzione di frequenza per classi di valori (contigue senza interruzioni)

• w_u = ampiezza della classe = max valore - min valore contenuto

Si fa una distribuzione di frequenza per classi anche per variabili discrete con un range di valori molto ampio.

GRAFICI:

• VAR. QUALITATIVE:
• grafici a barre (asse x serie di simboli)
• grafici a torta
• VAR. DISCRETA:
• istogrammi, grafici a barre con ramiere o imparature
• grafici ad aste
• funzione di ripartizione
• funzione a scalini

S_s = √1/(m-1) Σ_u (x_iu - x̄ )² m_u

dipende dalle unità di misura

VARIANZA CAMPIONARIA

Scarto quadratico medio al quadrato

S² = 1/(m-1) Σ_u (x_iu - x̄ )² m_u

COEFFICIENTE DI VARIAZIONE CV = S/x̄

CAMPO DI VARIAZIONE xmax - xmin

SCARTO INTERQUARTILE Q3 - Q1

BOX-PLOT grafico a scatola

→ la posizione indica come è distribuito il minore e l'ultimo 25%

ANALISI CONGIUNTA DI DUE VARIABILI

Date due variabili x e y vogliamo effettuare un'analisi congiunta per valutare se esiste una relazione funzionale fra le due variabili con:

• indicatori sintetici → calcolando coeff. di correlazione
• modello di regressione → modello statistico a meno di un errore

Probabilità (Approccio classico)

Se tutti i casi sono equiprobabili, la probabilità di ogni evento A è:

P(A) = numero di casi favorevoli / numero di casi possibili

Probabilità condizionata

Esempio: A = {TT, TTC, TCI, CTT}

P(A) = ₄/₈ = 0,5

A|B = {TT, TTC, TCT}

P(A|B) = ₃/₄ = 0,75 aumenta la probabilità

Assiomi e proprietà

• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• Evento certo → P(Ω) = 1
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• P(A) = 1 − P(Ā)
• P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)

Se A ∩ B = Ø

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Se A e B sono indipendenti:

• P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
• P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)

Indipendenza (II)

Due eventi A e B sono indipendenti, A ⊥ B se e solo se P(A ∩ B) = P(A)P(B)

Vuol dire che il verificarsi di B non influisce sulla probabilità di A e viceversa.

Coppie di Variabili Aleatorie Continue

• P((X, Y) ∈ C) = ∬_{(x,y) ∈ C} g(x, y) dx dy

  Con C = {x, y ∈ ℝ²: x ∈ A, y ∈ B}

• P(X ∈ A , Y ∈ B) = ∬_{B A} g(x, y) dx dy

• F(a, b) = P(X ≤ a, Y ≤ b) = ∫_-∞^b ∫_-∞^a g(x, y) dx dy

-- da g di ripartizione a g di probabilità:

g(x, y) = (∂²F(x, y)) / (∂x ∂y)

Distribuzioni Condizionate

P(E | F) = P(E, F) / P(F)

• nel caso di variabili discrete

  P_X|Y(x | y) = P(X, y) / P(y) P(y) > 0

• variabili continue

  g_X|Y(x | y) = g(x, y) / g(y) g(y) > 0

Densità Condizionale

Valore Atteso

• E(X) = Σ_i x_i P(X = x_i)

  Discrete

• E(X) = ∫_-∞^+∞ x g(x) dx

  Continue

Se X = Y

= g(x)

VARIABILI CONTINUE

• Uniforme, normale o gaussiana, esponenziale, beta, gamma, chi² di Student, F di Fischer

NORMALE O GAUSSIANA

Serve a trattare misure affette da errori.

• X∼N(μ,σ²)
• f(x|μ,σ²) = ¹/_√2πσ² exp(⁻¹/_2σ² (x−μ)²) funzione di densità di probabilità
• con μ∈ℝ, σ²∈ℝ⁺ (parametri), X∈ℝ
• E(X)=μ
• VAR(X)=σ²

→ media, mediana e moda coincidono

STANDARD

Variabile aleatoria di riferimento, con media=0 e varianza=1

• Z∼N(0,1)
• P(-2σ²