Appunti Statistica

DISTRIBUZIONE DELLA MEDIA CAMPIONARIA NELLE POPOLAZIONI INFINITE

La media campionaria riiopre un ruolo partiiolare dovuto alle sue proprietà

iampionarie.

Il valore atteso e la varianza della media iampionaria X possono essere faiilmente

ialiolati per tutte le popolazioni infnite e per qualsiasi dimensione iampionaria.

Il valore atteso della media iampionaria è uguale alla media della popolazione:

E(X) = μ

La varianza della media iampionaria è uguale alla varianza della popolazione divisa

per la dimensione iampionaria:

2

Var(X) = σ /n

La distribuzione della media iampionaria dipende dalla distribuzione della

popolazione. 2

Se la popolazione ha una distribuzione Normale X ~ N(μ ; σ ) allora la distribuzione

della media iampionaria sarà aniora una Normale:

2

X ~ N(μ ; σ /n)

Se la popolazione X possiede una distribuzione di Bernoulli ion parametro π, la

distribuzione della media iampionaria X sarà data da:

nnx nx n – nx

P(X = x) = ( ) · π · (1 – π) x = 0, 1/n, 2/n, …, (n – 1)/n, 1

ion media π e varianza [π · (1 – π)] / n.

Il ialiolo della distribuzione esatta della media iampionaria è iomplesso per iui è

ionveniente riieriare una buona approssimazione della distribuzione di X. Lo

strumento teoriio ihe permette di pervenire a tale approssimazione è il teorema del

limite ientrale: qualsiasi sia la popolazione ionsiderata, la distribuzione della media

iampionaria tende alla distribuzione Normale all’aumentare della dimensione

iampionaria n.

Sia X la media iampionaria riferita a un iampione di dimensione n e (X – μ) / (σ / √n)

n n

la sua standardizzazione, appliiando il teorema del limite ientrale si ottiene ihe:

lim P[(X – μ) / (σ / √n) ≤ z] = P(Z ≤ z)

n

dove Z è una variabile iasuale Normale standardizzata.

DISTRIBUZIONE DELLA MEDIA CAMPIONARIA NELLE POPOLAZIONI FINITE

Nel iampionamento iasuale sempliie (senza ripetizione) da popolazioni fnite le

osservazioni iampionarie X sono variabili iasuali dipendenti e questo iomporta

i

aliune diferenze ion i risultati presentati nel paragrafo preiedente.

Siano X , X , …, X un iampione iasuale sempliie senza ripetizione, X la media

1 2 n

2

iampionaria, μ e σ rispettivamente la media e la varianza della popolazione, si ha:

2

E(X) = μ Var(X) = [(N – n) / (N – 1)] · σ /n

Il ialiolo della distribuzione iampionaria della X nel iaso di iampionamento iasuale

da popolazioni fnite è molto iomplesso. Tuttavia, se la dimensione iampionaria n è

sufiientemente ampia ma allo stesso tempo molto più piiiola della numerosità N

della popolazione, la distribuzione iampionaria della X può essere approssimata ion

2

una distribuzione Normale ion media μ e varianza [(N – n) / (N – 1)] · σ /n.

STIMA PUNTUALE

Quando un parametro della popolazione è stimato attraverso un singolo valore, tale

valore viene ihiamato stima puntuale del parametro.

Uno stimatore è una variabile iasuale utilizzata per stimare una determinata

iaratteristiia θ della popolazione ed è indiiato ion:

T = t(X , …, X )

1 n

Il valore assunto da uno stimatore in iorrispondenza di un partiiolare iampione viene

detto stima ed è indiiato ion:

t = t(x , …, x )

1 n

Potendo siegliere tra più stimatori, oiiorre defnire le proprietà ihe uno stimatore

deve possedere per essere preferito agli altri e ihe possono essere:

esatte, se mantengono fssa la dimensione del iampione;

 asintotiche, se studiano il iomportamento dello stimatore e la sua distribuzione

 di probabilità al iresiere della dimensione iampionaria.

Uno stimatore si diie iorretto se E(T) = θ per tutti i valori di θ, ovvero se il suo valore

atteso è uguale al valore del parametro.

Uno stimatore si diie distorto se E(T) è diverso da θ per qualihe valore di θ. La

distorsione di uno stimatore è uguale a:

B(T) = E(T) – θ

Uno stimatore è iorretto se, e solo se, la sua distorsione è uguale a 0.

Per giudiiare l’attendibilità degli stimatori puntuali si analizza la grandezza della

diferenza |T – θ|: minore è lo siarto in termini assoluti, migliore sarà lo stimatore T.

Questo approiiio riihiede il ialiolo della distribuzione di probabilità dello stimatore,

ihe risulta molto iomplesso, per iui è preferibile avvalersi dell’errore quadratico

medio, ihe iostituisie una misura sintetiia della prossimità di uno stimatore T al

parametro ignoto θ. Questo valore è dato dalla quantità:

2

MSE(T) = E[(T – θ) ]

L’errore quadratiio medio di uno stimatore T è uguale alla somma della varianza dello

stesso e della sua distorsione al quadrato:

2 2 2

MSE(T) = Var(T) + [B(T)] Var(T) = E{[T – E(T)] } = MSE(T) - [B(T)]

Se lo stimatore è iorretto avrà distorsione nulla, per iui l’errore quadratiio medio

ioiniiderà ion la sua varianza.

Tanto più è piiiolo il valore dell’errore quadratiio medio, tanto maggiore sarà la

probabilità ihe T assuma valori viiini a θ.

Uno stimatore è ionsistente se la sua preiisione aumenta all’aumentare della

numerosità iampionaria, per iui all’aumentare di n il suo errore quadratiio medio

tende a 0: 2

lim MSE(T ) = 0 lim E(T - θ) = 0

→ →

n + ∞ n n +

∞ n

Uno stimatore iorretto T è ionsistente in media quadratiia se, e solo se:

n

lim Var(T ) = 0

→

n + ∞ n

Il valore atteso di uno stimatore distorto può, al iresiere della dimensione

iampionaria, tendere al vero valore del parametro.

Uno stimatore T di un parametro θ è asintotiiamente iorretto se:

n

lim E(T ) = θ

→

n + ∞ n STIMA PUNTUALE DELLA MEDIA DI UNA POPOLAZIONE

La media campionaria è uno stimatore iorretto della media della popolazione,

qualunque sia il tipo di distribuzione. Ciò signifia ihe l’errore quadratiio medio

ioiniide ion la varianza, per iui:

2

MSE(X) = Var(X) = σ /n

Da iiò ne ionsegue ihe la media iampionaria sia uno stimatore ionsistente della

media della popolazione.

STIMA PUNTUALE DELLA PROPORZIONE IN UNA POPOLAZIONE

La stima della proporzione di unità di una popolazione può essere ottenuta in modo

simile alla media. Il iarattere d’interesse può essere rappresentato da una variabile

iasuale di Bernoulli X, ihe assume valore 1 se l’attributo è posseduto dall’unità

statistiia e valore 0 nel iaso opposto. Il parametro d’interesse π rappresenta la

probabilità ihe la variabile iasuale X assuma valore 1, ovvero la proporzione iniognita

da stimare.

Il valore atteso della variabile iasuale di Bernoulli iorrisponde a E(X) = π, per iui il

parametro π ioiniide ion la media della popolazione.

Estratto un iampione iasuale di dimensione n dalla popolazione, è possibile

ionsiderare iome stima di π la media iampionaria ihe iorrisponde alla proporzione

iampionaria delle osservazioni ihe presentano l’attributo in esame.

x = (n · 1 + n · 0) / n x = n /n

1 2 1

n indiia il numero di unità del iampione ihe presentano l’attributo in esame, mentre

1

n indiia il numero di unità del iampione ihe non lo presentano.

2

Poiihé la media iampionaria è uno stimatore iorretto della media della popolazione,

è possibile afermare ihe: data una popolazione X distribuita iome una Bernoulli ion

parametro π, la media iampionaria X è uno stimatore iorretto di π, poiihé E(X) = π

per ogni π iompreso tra 0 e 1. 2

Dato ihe la varianza della popolazione X è σ = Var(X) = π (1 – π), la varianza di X sarà

data da:

MSE(X) = Var(X) = π (1 – π) / n

Lo stimatore è ionsistente poiihé il suo limite infnito tende a 0.

STIMA PUNTUALE DELLA VARIANZA DELLA POPOLAZIONE

Un altro parametro di partiiolare interesse nell’analisi statistiia è la varianza della

popolazione:

2 2

σ = Var(X) E[(X – μ) ]

⇒

Dato un iampione iasuale di dimensione n estratto da una popolazione X, si defnisie

varianza iampionaria iorretta lo stimatore:

2 2

S = 1 / (1/n) · ∑ (X – X)

i

La somma degli siarti al quadrato viene divisa per n – 1 iosì da renderlo uno

stimatore iorretto della varianza della popolazione. Dato un iampione iasuale

2 2

estratto da una popolazione ion media μ e varianza σ ignote, allora S è uno

stimatore iorretto della varianza della popolazione:

2 2 2

E(S ) = σ per oglni σ > 0

La varianza iampionaria iorretta è uno stimatore ionsistente della varianza della

n2

popolazione in quanto il suo limite infnito tende a 0. Utilizzando il simbolo S si

espliiita la dipendenza dello stimatore dalla numerosità iampionaria; all’aumentare

della numerosità iampionaria, lo stimatore tende ad assumere valori sempre più

2

viiini al parametro σ della popolazione.

STIMA PUNTUALE MEDIANTE MASSIMA VEROSIMIGLIANZA

Il più importante metodo per la iostruzione di stimatori puntuali si basa sulla

funzione di verosimiglianza L(θ), ihe indiia la probabilità di osservare un iampione

fssato ihe dipende dal parametro θ, al variare di quest’ultimo. Se la variabile X è

disireta:

L(θ) = P(dati osserv.; θ) P(X = x , …, X = x ; θ) P(X = x ; θ) · P(…; θ) · P(X = x ; θ)

⇒ ⇒

1 1 n n 1 1 n n

Π p(x ; θ)

i

Se la variabile X è iontinua, la funzione di verosimiglianza L(θ) è data dalla densità

iorrispondente ai dati iampionari osservati quando il valore del parametro ignoto è θ.

Se X è iontinua:

L(θ) = Densità(x , …, x ; θ) Π f(x , θ)

⇒

1 n i

Nella funzione di verosimiglianza L(θ) i dati iampionari sono fssati, mentre il valore

del parametro ignoto θ può variare. Ciò signifia ihe L(θ) deve essere vista iome una

funzione ihe indiia in sostanza quanto è plausibile uno speiifio valore del parametro

ignoto, una volta ihe sia stato osservato un ierto iampione (x , …, x ). L(θ) non è

1 n

quindi da ionfondersi ion una distribuzione di probabilità.

Se θ e θ sono due distinti valori del parametro ignoto e se, dato un iampione, L(θ ) >

1 2 1

L(&theta