Appunti di Statistica

Teoria della Probabilità

oggetti (osoggetti) per più di una volta- Il primo oggetto si può selezionare in n modi- Dato che il primo oggetto è stato selezionato, il secondo si può scegliere in n-1 modi- Il k-esimo oggetto si può selezionare in n+k-1 modi( )=n (n-k +1)n P ∙ n-1 ∙ …∙La formula è: K

Nel caso in cui k sia uguale ad n, si ottiene l'espressione seguente:( ) ( )=n!=nn P ∙ n-1 ∙ …∙ n-n+1K

Il numero di permutazioni possibili coincide in questo caso ad ''n fattoriale''.

Es: 3 studenti che devono sostenere un esame orale e scrivono il loro nome per stabilire la scaletta. In quanti modi posso compilare la scaletta?

E={a,b,c} => l'ordine conta devo usare tutti gli elementi

Posso riempirla in 1 modo, 2 modi o 3 modi

Il numero di triplette ordinate sono: 3x2x1=612. Definizione: dato un insieme E di N elementi si chiama PERMUTAZIONE ciascuno dei possibili modi di ordinare gli elementi

1. ( ) ( )⋅ ⋅=N −1 −2P !=N N N …⋅ 2⋅1N
2. Rappresenta il numero di possibili permutazioni di N elementi (0!=1)
3. Disposizioni semplici:
• esempio: 5 studenti da interrogare, 3 studenti il primo giorno, 3 il secondo giorno. In quante modi posso formare le coppie di studenti da interrogare il primo giorno?
• E={a,b,c,d,e}
• Mi interessano il numero di sottoinsiemi di 2 elementi ordinati di E => contal’ordine, non uso tutti gli elem.
• Dato un insieme E di N elementi, i suoi SOTTOINSIEMI ORDINATI di M elementi prendono il nome di DISPOSIZIONI SEMPLICI. Quanti ne possiamo formare?
• ( ) ( )=N +1D N−1 … N−Mn , M
4. Sulla base dei dati dell’esempio precedente avremo che:
5. ⋅=5D 45,2 P N=D
6. In alternativa: n , M −Mp N( )=N =P =N =1
7. notate D ; D ! ; Dn , 1 n ,n n N , 0
8. combinazioni semplici:
9. Nel caso invece in cui si è interessati ad estrarre un numero k di oggetti da un insieme n di oggetti, con k sempre minore o al

massimo uguale ad n, e non si vuole tenere conto dell'ordine di estrazione, e non vi devono essere ripetizioni, si deve calcolare il numero delle possibili "combinazioni" di noggetti presi a gruppi di k alla volta. Nel fare questo, è bene tenere conto che:

• Tenendo conto dell'ordine, ci sono n!/(n-k)! modi per estrarre k oggetti da n oggetti;
• Per ogni selezione di k oggetti da n, vi sono k! modi per ordinarli.

L'espressione del numero di combinazioni possibili è la seguente:

n!/(k!(n-k)!)

Il numero di combinazioni è dato quindi dal rapporto fra due permutazioni, di cui quella al numeratore coincide con n oggetti presi a gruppi di k, e quella al denominatore con k oggetti presi a gruppi di k. Moltiplicando numeratore e denominatore per (n-k)! si ottiene la seguente espressione:

n!/(k!(n-k)!)

1. ( ) ( ) ( )
2. nk n n= =1
3. Valgono inoltre la simmetria e la definizione .n−k 0
4. esempio: 5 studenti che devono sostenere uno scritto. Dobbiamo suddividerli in 2 aule, una da due parti e una da tre. In quanti modi possiamo scegliere i due studenti per la prima aula?
5. Ci interessa trovare il numero delle coppie non ordinate, non uso tutti gli elementi
6. E={a,b,c,d,e}
7. Conto gli elementi sopra e sotto la diagonale
8.  10 sottoinsiemi
9.  {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,c}, {c,e}, {d,e}, {b,e}
10.  Non conta l’ordine
11. Definizione: dato E di N elementi, si chiamano COMBINAZIONI SEMPLICI di N elementi presi a gruppi di M elementi i sottoinsiemi NON ORDINATI di M elementi ottenuti da E.
12. Ne posso formare:
13. ( ) N!N= =c n ,m ( )−MM M ! N !- N=5- M=2 ⋅4 ⋅3⋅5 ! 5 2⋅1= =10
14. C := 5,2 ⋅3 ⋅3 ⋅2⋅12! ! 2⋅1
15. DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
16. Esempio: 2 tipi di oggetti a,b. Vogliamo disporre questi oggetti in tre scatole in fila. In quanti modi possiamo riempire le

formare è: P P( )N , N …, Nk N N= =P ·1 2N · ⋯N ! N ! … N ! P ρ ρ1 2 k N N n1 2 k(k=2,N1=2,n2=1)

Esempi: quanti sono i numeri formati da 5 cifre dispari distinte?

E={1, 3, 5, 7, 9}

Usiamo tutti gli elementi, conta l'ordine, non c'è ripetizione → 5P !=120 → 5

Quanti sono i numeri formati da 5 cifre dispari distinte seguite da due cifre uguali?

P={0, 2, 4, 6, 8}

Quanti modi? 5x4x3x2x1x5x1=600

Esempio: in quanti modi si può formare una commissione di 3 uomini e 2 donne scelti tra 7 uomini e 5 donne?

Non conta l'ordine, non ho ripetizione, sono interessato a sottoinsiemi → (non uso tutti gli elementi) ( ) ( )7 5·C ·= =350C → 7.3 5,2 3 2

Esperimento casuale: la sua esecuzione produce un esito non prevedibile (es: lancio di una moneta/di un dado)

Gli esiti di un esperimento casuale sono catalogabili in anticipo

Esempio:

- Testa o croce (per il lancio della moneta)

- 1, 2, 3, 4, 5, 6 (per il lancio del dado)

1. EVENTO

COMPLEMENTARE w: il risultato di un esperimento casuale2. SPAZIO CAMPIONARIO Ω: spazio di tutti gli elementi complementari di undato esperimento.

3 tipi di Ω:

1. Ω composto da un numero finito di w (discreto)

Esempio: {testa, croce}, {1,2,3,4,5,6}

2. Ω composto da un numero infinito non numerabile di w (continuo)

Esempio: Ω=R

3. Ω composto da un un numero infinito ma numerabile di elementi (discreto)

Esempio: {1,2,3,4,…} -> insieme dei numeri naturali

Esempi:

1. Ω discreto, finito: esperimento casuale con 3 lanci una moneta

Ω: 3

Ω= =82 → Cardinalitá

2. Ω continuo, infinito: Esperimento casuale: durata di una lampadina

{ } -> non numerabile

∈Ω= x : x R ,O ≤ x ≤T

Definiamo un evento come un sottoinsieme di Ω.

Riprendiamo l’esempio precedente:

A=’’al primo lancio esce testa’’= {TTT, TTC, TCC, TCT}

B=’’escono esattamente due teste’’= {TTC, TCT,

Assumiamo che l'esperimento ci dia l'evento A non si è verificato.

L'evento B si è verificato.

Definizione: PROBABILITÁ: funzione P() assegna ad ogni elemento di una famiglia di sottoinsiemi di un livello di probabilitá.

ΩP() è una FUNZIONE D'INSIEME: il dominio è una famiglia di sottoinsiemi di , il co-dominio è un sottoinsiemeΩ di .

R ¿ Esempio: lancio di due dadi (# Ω=36 Definiamo A come il sottoinsieme innero- A contiene 6 elementi. P(A)=6/36

1n casi favorevoli

La probabilitá si calcola come: 1n casi possibili

Esempio: lancio una freccia e devo colpire il bersaglio AP(A)=? areadi AP(A)= areadi Ω

Esempio: un'urna con 10 palline rosse e 7 palline bianche. Estraggo 3 palline.

Qual è la probabilitá che siano tutte e 3 rosse?

i. estrazione con re-inserimento

ii. estrazione senza reinserimento

A=’’estrazione di 3 rosse’’ 1casi favorevoli n