Appunti di Probabilità e statistica - Parte 1

Probabilità e Statistica per l'Ingegneria

23/02/2022

Incertezza

• (legata a un fenomeno, sistema complesso)
• Modelli (di stampo matematico)
• Dati

Fenomeno ↔ Aleatorio (non deterministico)Esperimento ↔ Aleatorio

Modello (matematico) ↔ deterministico es. x = x₀ + v₀t

• t
• conosciuto

es. fenomeno deterministico ~ conosco il risultato prima

• canonica

es. lanciare una moneta

• fenomeno canonica ~ non posso conoscere il risultato a priori

Statistica

• Probabilità ↔ Reali
• Dati (Statistiche) ↔ Univariato
• Prodotto industriale ⟹ Metodo statistico

EX 1

• produzione di lotti di prodotti ⟹ si cerca la dimuita
• su lotti di prodotti variabili ⟹ e variazioni nel loro interno
• dimuita "target" ⟹ so che avviciniamo a questa dimuita raccogliendo i dati
• l'immagine il modello per i difetti ⟹ dati (osservazioni campionatorie)
• Uso della statistica

EX 2

• Annasabio di Zolfo = ~ nei dati giornalieri
• 2 fonti di VARIABILITÀ =
  • Rispetto a quelli osservati
  • con lo strumento che ho a disposizione
• Dati ⟹ misurazione "target"

EX 3

• Farmaco efficace @ 85%
• testato su un campione ⟹ prendo i dati
• prima un farmaco veniva ora efficace all'80%
• in curamati con. però devo tenere conto degli effetti collaterali

Statistica

disciplina che si occupa di sintetizzare i dati e analizzare i dati stessi per poi prendere decisioni in condizioni di incertezza.

Raccolta Sintesi e Analisi dati

Fasi di indagine

• campione (rappresenta del fenomeno che stiamo studiando) → sottoinsieme di individui

• raccogliere presentare e sintetizzare dati → statistica descrittiva

• voglio trovare conclusioni generali sulla popolazione di riferimento → inferenza statistica

Osservazioni sulle fasi di indagine

1. Campione rappresentativo della popolazione di riferimento → campione casuale

2. Inferenza Statistica → dati generati da un modello probabilistico → si vuol arrivare a scoprire il vero modello (probabilità)

Probabilità (fenomeno)

Popolazione → Statistica → Campione (dati)

EX:

ci sono 50 file, 1 file è infettato con probabilità 0,2 calcolare la probabilità che un attacco infetta più di 15 file (tipico di probabilità)

descrittivo

EX:

50 file, il virus infetta 1 file con probabilità p stimare p dopo avere osservato che dopo un attacco 20 file sono stati infettati (tipico di statistica)

induttivo

EX:

w_i = peso

• w₁ = 42,5
• w₂ = 54,28
• w₃ = 50,2
• w₃₀ = 85,98

dati discreti di natura continua

ho troppi dati presi da natura continua rischio di avere frequenze relative molto simili

⇒ Raggruppo in classi: [x_i, x_i+1) ⇒ x_i, x_i+1

tutte le classi hanno grandezze diverse

ISTOGRAMMA

serve a rappresentare dati continui raggruppati in classi

la lunghezza alla base indica la lunghezza della classe

come scelgo l’altezza?

base * altezza = frequenza

a_i: d_i: n_i:

d_i = n_i / a_i

densità di frequenza

dall’esempio precedente

• d₁ = 3 / 10 = 0,3
• d₂ = 5 / 8 = 0,625
• d₃ = 5 / 12 = 0,42
• d₄ = 7 / 25 = 0,28

avvo l’ampiezza più grande ma ho ottenuto l’altezza minore

poligono di frequenze

4/03/22

Calcolo di Q₁:

• n = numerosità del campione
• ordino i dati
• se n⋅0,25 →

non è intero → Q₁ = al valore che occupa la posizione successiva, cioè intero approssimato per eccesso a ⌈n⋅0,25⌉ + 1 premendo la parte intera

è intero → Q₁ = media aritmetica dei valori in (n⋅0,25) e (n⋅0,25) + 1

Calcolo di Q₃:

• n = numerosità del campione
• ordino i dati
• se n⋅0,75 →

non è intero ...

è intero ...

oss. n⋅0,25 è la posizione che dovrebbe occupare il quartile

Box-Plot (Scatola a Baffi)

x(1) min = x_min = Q₁ - 1,5(Q₃ - Q₁)

x(n) = x_max = Q₃ + 1,5(Q₃ - Q₁)

• x(1) > Q₁ - 1,5(Q₃ - Q₁) e x(n) ≤ Q₃ + 1,5(Q₃ - Q₁)
• inversa si ha

dati campionari rimasti fuori [DATI ANOMALI]

Il box-plot mi da informazioni sulla forma della distribuzione campionaria

Simmetria

← se la linea è proprio a metà della scatola la distribuzione è simmetrica

DATI

X_i, Y_j sono fenomeni quantitativi

(X_i, Y_j) = osservo contemporaneamente il fenomeno; ho dati ordinabili, bivariati

(X₁, Y₁)...(X_n, Y_n) = campione bivariato

Variabilità?Dispersione?Relazione tra X e Y?

GRAFICO DI DISPERSIONE

-> dispersione rispetto a chi? -> valuto il baricentro facendo la media campionaria di X e Y { ottengo il Baricentro (X, Y) }

Varianza Bivariata?

9/03/22

EX:

Rilevamento temperatura in 20 giorni (gradi)n = 20 -> X₁, X₂, ..., X₂₀

• 0.9, 4.3, 4.8, 2.5, 2.9, 4.2, 2.8, 3.6, 4.1, 4.2, 4.95
• 4.3, 4.2, 4.6, 4.6, 4.1, 4.65, 4.7, 4.8, 4.9, 4.9, 5

è fenomeno quantitativo, continuo

1. temperatura media?

-> Media campionaria: \[\overline{X} = \frac{\sum x}{n} = \frac{1}{20}(0.9 + 4.3 + 1.8 + ... + 5) = 3.825\]

P_xy = 0 → nessuna retta

Oss: se P_xy = 0 → non c'è dipendenza tra i dati

se y = x² → ho dipendenza parabolica

y _

ma _ una retta interpolante

P_xy = 0 si riferisce

x₀ solo alla dipendenza lineare

11/03/22

Probabilità:

scienza della matematica che si occupa di studiare fenomeni aleatori (assiomatica)

Misura il grado di incertezza di un fenomeno (fisico, economico, sociale) aleatorio, cioè il cui risultato non sia determinabile con certezza a priori

Supponiamo però di poter elencare tutti i risultati possibili della prova

(Oss: abbiamo un modello iniziale su cui dobbiamo concordare )

SPAZIO CAMPIONARIO:

insieme dei risultati possibili della prova

Se il singolo risultato della prova lo chiamiamo "punto campionario"

indichiamo lo spazio campionario con Ω

{punto campionario con ω}

ex :

1. Prova = lancio di una moneta → Ω = { T, C }
2. Prova = lancio del dado → Ω = { 1,2,3,4,5,6 }
3. Prova = lancio 1 moneta 2 volte → Ω = { TT, TC, CT, CC }
4. Urna con palline numerate da 1 a 50: n.1 estraggo una → Ω = {1, ... 50}
5. Un blocco di informazioni sono trasmesse su un canale soggetto a disturbo, fino a quando il segnale arriva senza disturbo → Ω = N
6. Estrazione a caso di un numero compreso tra 0 e 1 → Ω = { x∈R 0 < x ≤1 }
7. Tempo di vita di uno chip → Ω = [0, ∞)
8. Tempo per la richiesta di pagine web → Ω = [0, 2] ∪ [∞)
9. 2 numeri estratti tra 0 e 1 → Ω = (x, y) ∈ R ² 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1
10. Estrazione di numero a caso tra 0 e 1 → x₁ e poi estrazione di 1 numero tra 0 e x₁ → Ω = { (x,y) ∈ R² 0 ≤ y ≤ x ≤1 }

y=x