Appunti Probabilità - parte 1

Introduzione

Il calcolo delle probabilità si occupa di esperimenti con esito incerto. Hanno vari risultati possibili e ripetendo l'esperimento il risultato può cambiare. Non è possibile prevedere il risultato con certezza, in quanto il fenomeno è regolato dal caso.

• Lancio di una moneta
• Lancio di due monete
• Lancio di un dado
• Estrazione di un numero dalla tombola

Si hanno sempre almeno 2 risultati possibili.

Si ragiona in termini di probabilità di un evento; per convenzione si misura con numeri compresi tra 0 e 1 anche usando le percentuali.

Impostazioni della probabilità

1. Frequentista: ripetendo l'esperimento un numero N molto grande di volte, la probabilità di un evento E è la percentuale di volte in cui E si verifica.P(E) = _n→∞lim (N volte in cui E si verifica / N)
2. Soggettiva: La probabilità di un evento E è una valutazione del grado di fiducia che l'evento E si verifichi. Si tratta di una valutazione soggettiva fatta dallo scienziato che esegue l'esperimento.

Definizioni Basilari

Def (Spazio Campionario)

Dato un esperimento con esito incerto, l'insieme di tutti i possibili risultati sperimentali è chiamato spazio campionario (ed è indicato col simbolo Ω).

Def (Evento Elementare)

I vari possibili risultati sperimentali si chiamano eventi elementari.

Esempio 1

Lancio 1 moneta → Ω = {T, C}

|Ω| = 2

Esempio 2

Lancio 3 monete → Ω = {TTT, TTC, CTT, TCT, CCT, TCC, CTC, CCC}

|Ω| = 8

Esempio 3

Lancio 2 dadi → Ω = {(i, j) : i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

|Ω| = 36

Esempio 4

Urna con 3 palline (rossa, blu, verde)

• Estrazione due palline senza reinmissione → Ω = {RB, RV, BR, BV, VR, VB}

|Ω| = 6

• Estrazione due palline in blocco → Ω = {RB, RV, BV}

|Ω| = 3

Siccome _i=1ⁿ A_i^C ∈ J allora _i=1ⁿ A_i^C ∈ J

allora (∪_i=1ⁿ A_i^C)^C ∈ J e quindi (∩_i=1ⁿ A_i)^C ∈ J

⇒ ∩_i=1ⁿ A_i = ( ∪_i=1ⁿ A_i^C )^C ∈ J

(∪_i=1ⁿ A_i^C)^C

Esempio

Lancio un dado → Ω = {1,2,3,4,5,6}

Se lo sperimentatore è interessato a tutti i sottoinsiemi, sceglie J = (Ω)

Supponiamo che lo sperimentatore sia interessato a due soli eventi:

A: esce pari = {2,4,6}

B: esce ≤ 2 = {1,2}

Scriviamo la σ-algebra generata da A e da B

J = {∅, Ω, A, B, A ∩ B, A ∪ B, A ∩ B^C, (A ∪ B)^C,

(A ∩ B)^C, A^C ∩ B^C, A^C ∪ B^C, ...}

Finora abbiamo definito Ω e J. Ora definiamo

la probabilità P. La tripletta (Ω,J,P) è detta

spazio di probabilità. Lo spazio di prob. è il

modello matematico degli esperimenti con esito incerto

Prima di dare la def. rigorosa di probabilità, facciamo

un esempio

Ω = {1,2,3,4,5,6}

A = {2,4,6}, B = {1,2}

Attibuiamo le prob. p agli eventi di J. Soggettivamente

dice che il dado è bilanciato e tutti i numeri hanno prob. =

J

∅ = 0

Ω = 1

A = 3/6

B = 2/6

A ∩ B = 1/6

A ∪ B = 4/6

A ∩ B^C = 2/6

La probabilità P è una funzione

P: J → [0,1]

Dominio Codominio

a) Calcola la probabilità che ogni albero esattamente una malattia

= P(A∪B∪C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + 2 P(A∩B∩C)

Anche loro ho la parte ombata

Anche la tolgo 1 volta

Anche la tolgo 1 volta ma negativo

Anche la tolgo 2 volte aggiungo

Quindi per compensare

6 Disuguaglianza di Boole

P(∪_j=1ⁿ A_j) ≤ Σ_j=1ⁿ P(A_j)

Dim 6 (m=2)

P(A₁ ∪ A₂) = P(A₁) + P(A₂) - P(A₁ ∩ A₂)

< P(A₁) + P(A₂) Poiché sto togliendo P(A₁ ∩ A₂)

Dim 6 (m generico)

Procedo per induzione, nessando il caso m=2

P(∪_j=1ⁿ A_j) = P(A₁ ∪ A₂ ∪ ∪_j=3ⁿ A_j) < P(A₁ ∪ A₂) + P(∪_j=3ⁿ A_j)

≤ P(A₁) + P(A₂) + P(∪_j=3ⁿ A_j) → Si itera fino ad n

Esercizio 3

La combinazione di un codice fatta di una sequenza di 2 cifre ognuna di 3 bit. Calcolare la prob. che una sbarra arreti la sequenza al n° tentativo

P(E) = |E| / |Ω|

1 / 10.10.21.21

Ω: [0.0.10.21.1.21]

Esercizio 4

Urna con 3 palline bianche e 2 nere

• P(estrae bianca) = 3/5
• Estraendo 2 palline con rimessione, calcolare P(estrae 2 bianche) = 9/25

Legge Ipergeometrica

Ho un'urna con b palline bianche ed r palline nere. Estrazione di n palline In blocco (cioè un'estrazione di n palline senza conta l'ordine). Calcolare la prob. che su n di k bianche e n-k rosse

Soluzione

Ω = insieme di possibili soluzioni: da n possono estrarne (b + r)

Considero l'evento: Estrazione di b palline b. Rimane: l'estrazione di n-k palline dalla r

E: evento

• E1: estrazione b bianche
• E2: estrazione di n-k palline dalla r (rosse)

P(E) = |E| / |Ω| = |E1| * |E2| / |Ω| usando il principio fondamentale del calcolo combinatorio

= C(b, k) * C(r, n-k) / C(b+r, n) = legge ipergeometrica

S_n = A_n ∪ A_n+1 ∪ A_n+2...

S₁ = A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ ...

S₂ = A₂ ∪ A₃ ∪ ...

S₃ = A₃ ∪ A₄ ∪ ...

DEF (limite inferiore)

Si definisce limite inferiore della successione {A_n}_n=1^∞ il seguente:

lim_inf A_n = lim S_n ∩ buc inferiore

= def ⋂_n ⋃_k=n A_k

In generale

DEF (limite superiore)

Si definisce limite superiore della successione {A_n}_n=1^∞ il seguente:

lim_sup A_n = lim S_n

= def ⋂_n ⋃_k=n A_k

In generale lim_inf A_n ≠ lim_sup A_n e si dice che A_n non ha limite

DEF

Si dice che {A_n} ha limite A (e in ordine lim A_n = A)

se lim_inf A_n = lim_sup A_n = A

Esempio (non ha limite)

({A}, {A, B}, {A, B, C}, ...)

lim_sup A_n = lim S_n = ⋂_n ⋃_k=n A_k

= B ∪ C

lim_inf A_n = lim ⋂_n ⋃_k=n A_k = B ∩ C

Siccome lim_inf ≠ lim_sup, diciamo che la successione non ha limite