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22.09.2011
Popolazione: insieme di "INDIVIDUI" (non peculiarmente demografico)
UNITA' STATISTICHE eterogenee, presentano una variabilità all'interno della popolazione
FENOMENI = VARIABILI oggetto di studio della statistica
Spesso ci si basa su sottinsiemi piccoli di popolazione
CAMPIONI scelti casualmente
INCERTEZZA SULL'INDAGINE CAMPIONARIA concetti essenziali
C = B0 + B1A
frazione di reddito percepito derivato dagli altri consumi
Consumi 2010 di certe famiglie
Modello approssimato della realtà. A famiglia ci sarà un errore approssimato, non ci sarà mai una relazione esatta
3 Parti del corso:
- STAT. DESCRITTIVA = ha lo scopo di dare descrizioni esaurite di ciò che si è osservato in seno a una popolazione o a un campione
- TEORIA delle PROBABILITA' = misurazione di stati di incertezza
INFERENZA STATISTICA
- cambia le piuù è
capire come si può generalizzare un'nfo p proveniente ola un campione
casuale agenda in condizioni di incertezza.
Errori nell'estensione dalla parte al tutto
TEORIA delle PROBABILITÀ
Incertezza = qualcosa che può/non può accadere
Esperimento casuale:
qualsiasi tipo di azione esperienza che produce un risultato incerto (Es. lancio di una moneta)
Evento:
(casuale) esito di un esperimento (casuale)
lancio di un dado certo -> sarà un n° da 1 a 6, UN SOLO N°
Ω = {1,2,3,4,5,6}
insieme dei risultati CERTI, evento che si verificherà sicuramente
ωi = {i} i = 1, ..., 6 ω5 = {5}
lancio il dado ed esce il n° 5
Definizione SOGGETTIVISTA
Probabilità e incertezza → legate al soggetto che si rapporta all'evento
P(A) = somma che un sogg/individuo cosciente è disposto a pagare per vincere una somma unitaria fruttando in cui si verificasse Δ e il gioco fosse equo
somma disponibile a pagare ≤ altra somma vinta
0 < P(A) < 1
gioco non equo → x giocare devo pagare 10€
posso vincerne solo 1
relaz. formale tra concetto di evento e concetto di insiemi
→ eventi sono degli insiemi
EVENTO = enunciato di cui possiamo dire "è vero", "è falso"
Ω = INSIEME UNIVERSO
(in realtà ogni eventi = è l'insieme di tutti risultati possibili che si possa verificare)
↓
= EVENTO CERTO (spazio campione)
Ω = ℑ1,2,3,4,5,6 ℜ
28-09-2011
=> evento impossibile deve
2 eventi
e anche e anche
-
Per la legge di deMorgan => -
anche
=> =>
=>
=> =>
Se e verficare che
(- )
tutto cio' che sta in A e che no sta in B
Ipotesi: il dado non è truccato
Le facce hanno tutte la stessa probabilità di uscire
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ωi = {i} i = 1, 2, ..., 6
P(ωi) = P costante
0 ≤ P ≤ 1
Ω = ⋃i=16 ωi
P(Ω) = 1 = P(⋃i=16 ωi) = ∑i=16 P(ωi) = ∑i=16 P = 6P
1 = 6P
P = 1/6
H = { esce un n° dispari > di 2 } H = {5, 3}
P(H) = P({3}) + P({5}) = 1/6 + 1/6 = 1/3
Il dado è truccato.
ωi = { esce la faccia con il n° i }
P(ωi) = i . c proporzionale
P(Ω) = 1 = ∑i=16 P(ωi)
P(B | A)
P(B | A) = P(B∩A) / P(A) = P(A) / P(A∩B)
= P(A) - P(A∩B)
1 - P(A∩B) / P(A) = 1 - P(B|A)
(B ∈ J e C ∈ J : B∩C = ∅ )
P(B∪C | A) = P(B|A) + P(C|A)
(Verify!)
= P(A∩X) / P(A) = P(A) / P(x) / P(A) = P(A) [ P(B) + P(C)] / P(A) =
A ∈ J e B ∈ J
P(A) > 0
P(B|A) = (P(A∩B) / P(A))
P(B) compared to P(B|A)
( P(B)=P(B|A) acquisition of inf. on A doesn't modify the uncertainty on B
A doesn't give info on BB is stochastically independent of A)
P(B) > 0
vice versa P(A|B) = (P(A∩B) / P(B)) = P(A) A is independently stochastic of B
20 eventi elementari equiprobabili
Wj con j = 1, ..., 20
P(Wj) = 1/20
Probabilità che esca una pallina rosa alla 1a estrazione
P(R1) → crocette rosse
P(r1) = 12/20 = 3/5
P(R2) → crocette verdi
P(r2) = 12/20 = 3/5
P(R1 ∩ R2) = 6/20
Non sono stocasticamente indipendenti!
P(R2 | R1) = P(R1 ∩ R2) / R1 = 6/20 / 12/20 = 1/2
Cambia struttura dell'urna
P(R1) → urna diversa {R, R, B, B}
P(R1) = 3/5
P(R2 | R1)
P(R2 | R1) = P(R1 ∩ R2) · P(r1) = 3/5 · 1/2 = 3/10
Supponiamo di conoscere tutte le P condizionate
P(A|Ei) i = 1,2,...,n P(Ei) P(A) = ∑i=1n P(A|Ei) P(Ei) somma delle probabilità delle n intersezioni che compongono A
P(A) = ∑i=1n P(A ∩ Ei) = ∑i=1n [ P(A|Ei) P(Ei)]
TEOREMA DELLE PROBABILITÀ TOTALI
TEOREMA DI BAYES
Ei, i = 1,2,...,n costituiscono una partizione di Ω evento A di cui conosciamo P(A|Ei) sapendo che A è vero allora P(Ei|A) = P(A|Ei) P(Ei)/ ∑i=1n [P(A|Ei) P(Ei)] → Teorema delle Probabilità Totali
Dimostrazione
P(Ei|A) = P(Ei)· P(A|Ei)/P(A) P(Ei) · P(A|Ei) Teorema delle Prob. Tot
(n-(n-2))... (n-k+2)
Per il riempimento della 2a casella
n di disposizioni semplici di n in classe k = Dn,k
2)
< n oggetti k ≤ n
ABC = BAC
L'ordine non conta e’ quale prendere le ((3)pause simultaneamente (k = 3))
k = 3 ABC
Le possiamo permutare 3! = 3 . 2 = 6
ho contato 6 volte il gruppo ABC
- ABC
- BAC
- BCA
- CBA
- CAB
- ACB
4 . 3 . 2 . 1 ----------- = Dn,k / k! 6
(nCk) = n (n-1)... (n - k + 1) ------------------------ k!
(n-k)! = (n-k)(n-k-1)... 1
sono la stessa cosa
(nCk) = n! / k! (n-k)!
Cn,k = (nCk)
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