Appunti di Principi di meccanica (Fisica 1)

Cinematica del punto materiale

Comprendiamo oggi piattaforme cioè posizione in \( x,y,z \)

In funzione del tempo => legge oraria

\(\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))\)

Sia \(\vec{r}(t)\) vettore posizione di \( P \)

\( P-O = \vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} + z(t)\hat{k} \)

Partiamo dal moto unidimensionale cioè: \( y(t)=0 , z(t)=0 \)

\( P-O = \vec{r}(t) = x(t)\hat{i} \)

Con due punti è possibile calcolare la velocità media:

\(\vec{v}_{media} = \frac{x(t_f) - x(t_i)}{t_f - t_i} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \left(\frac{m}{s}\right) \)

La velocità istantanea è invece:

\(\vec{v}_{istant.}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dX(t)}{dt} = \dot{x}(t) \)

L'accelerazione media

\(\vec{a}_{media.}(t)= \frac{\dot{x}(t_f) - \dot{x}(t_i)}{t_f - t_i} = \frac{\Delta \dot{x}}{\Delta t} \left(\frac{m}{s^2}\right) \)

Accelerazione istantanea

Stesso procedimento di prima = \(\ddot{x}(t)\)

nelle ^3D la posizione è determinata da un vettore.

dr(t)

dt =

d( x(t)n_x + y(t)n_y + z(t)n_z )

L'accelerazione è stesso procedimento solo con derivate seconde.

a, v sono vettori.

Traiettoria percorso effettuato

Definiamo una origine, e una traiettoria.

S sarà il modulo di

mentre ξ è il versore dire che sarà tangente alla traiettoria.

Osservando un intervallo molto piccolo della traiettoria rettilinea.

r(s) = sξ

dr(s)/d(s) = ξ

dr(s)/ds = ξ

dr_3D =

dt dr(t)/ dt = dr/ds ds /dt

FORZA

Grandezza fisica vettoriale F

DEF OPERATIVA:

non esiste una def rigorosa, ma deriva da una formula

Unità di misura: Newton N

Le forze si misurano con il dinamometro

RISULTANTE DI FORZE F = F₁ + F₂ + ... + F_n

Non importa dove sono applicate

Ma in fisica conta il punto di applica. MOMENTO Legati ad un vettore rispetto ad un centro di rotazione O

M_o = (P - O) × d (prodotto vett)

|M| = |d| |P - O| . sinα

con direzione e verso da mano destra

Negli esami conviene spesso.

sin(α) = sin(π - β) = sin(β) |P - O| . sin(β) = b

|M| = |d| . |b|

RISULTANTE DI MOMENTI: M_o = (P₁ - O) × F₁ + (P₂ - O) × F₂ + ...

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(X - X₀)

F̄ = m ḡ + r̈

0 = m ẍ(t)

0 = m z̈(t)

-mg = m ẏ(t)

Teorema del Calcolo Integrale

∫_t0^t ẏ(t) dt = ȳ(t) - ȳ(0)

ẍ(t) = 0 → ∫₀^t ẍ(t') dt' = ∫₀^t 0 dt → cost - cost → 0

ẋ(t) - ẋ(0) = 0

ẋ(t) = ẋ(0) → Velocità costante

Pimplico il Teorema:

ẋ(t) = ẋ(0) → ∫₀^t ẋ(t') dt' = ∫₀^t ẋ(0) dt →

x(t)|₀ = ẋ(0) t'

✓ x(t) - x(0) = ẋ(0) • t → X(t) = x(0) + ẋ(0) t

Esercizio

Fiume

La canoa si muove t flusso di acqua con V = 0,5 m/s (risp acqua)

V_acqua = 0,2 m/s (Rispetto terraferma)

Trovare:

V_0 = V_0_x + V_0_y = 0,2 m/s î_x + 0,5 m/s î_y

Forza Attrito Viscoso resp fludio

Se ha una vel rispetto al fludio immerso

F_AV = - h V̅ per proporzionare

- - - - - - - - - - - -

Se il fludio ha un moto proprio (es. fiume lento) si deve usare V̅!

F_AV = - h (V̅ - V_0)

Nota che se V_0 = 0 (oss: non c'è vento) si ha formula iniz.

C'è chi sta senza vento -> V_0 = 0

F_AV = - h V̅ = - h ẋ(t) î_x m:n

soluz diff.

m ẍ(t) î_x + ẋ(t) = 0

ẋ(t) = V₀_e ^{- (h/m) t} Integrò X(t) - X(0) = ẋ(0) |^{-m/h e_x-h/m t}|₀

Esempio:

Det il coeff. di

attrito statico μ_s minimo affinché il P.M. sia fermo.

P_N = mg cosθ n̂_y + mg sinθ n̂_x F_at = –F_at n̂_x N = N n̂_y

–mg cosθ n̂_y + mg sinθ n̂_x – F_at n̂_x + N n̂_y = 0

lungo y: mg cosθ + N = 0 → N = mg cosθ lungo x: mg sinθ – F_at = 0 F_at = mg sinθ

sappiamo che:

|F_at| ≤ μ_s N

mg sinθ ≤ μ_s mg cosθ

μ_s ≥ sinθ/cosθ = tgθ

Se μ_s = μ_s = 0,1 e θ = π/3

tg π/3 = √3/2 - 1/2 = √3 → Il P.M. comincia a muoversi

Secondo quale legge oraria:

r̈ =

–mg cosθt + mg sinθt n̂_x – μ_s N n̂_x + N n̂_y = m (ẍ n̂_x + ÿ n̂_y) → ÿ = 0

y(t) N = mg cosθ

su x: M ẍ = mg sinθ – μ_s mg N ẗ = costante x(t) = 1/2 (μ sinθ – μ_s cosθ) t²

Lavoro

ΔL = →F ⋅ →Δs

Il lavoro è uno scalare!

unità misura: J = N m

Potenza

ΔL/Δt = →F ⋅ →Δs/Δt = →F ⋅ →v

unità misura di potenza: W = J/s = W/t

Su una traiettoria del punto masso hai:

L = ∑_i F_i ⋅ Δs_i; ∫_A^B ∑ ⋅ dΣ

Per 1 kWh, sono una lavorò non una potenza

Esempio:

L_AB = ∫_A^B →F ⋅ dΣ = ∫_y(A)^y(B) -mg ⋅ dΣ = -mg∫_y(A)^y(B) dy

= mg y(A) - mg y(B) = 2mgR lavoro positivo

Cos → semplicemente se →lavoro - ΔL = →F ⋅ Δs (cos θ) = F x s

Esempi di lavoro:

• Lavoro forze di attrito radente: sempre ≤ 0 → sempre oppone spostamento
• L di vincoli ideali: = 0 → sempre ⊥ a spostam.

Teorema su forze conservative

I° Thm

F conserv. ↔ ∮ F · ds = 0

Dim. (⇒)

∫_A^B F · ds = ∫_A^B F · ds = - ∫_B^A F · ds

∫_A^B F · ds + ∫_B^A F · ds = 0

II° Thm

F conserv. ↔ ∃ Funt. scalare V

U(F) energia potenz.

∫_A^B F · ds = U(A) - U(B)

Dim:

← Se esistono le due funt., questa non dipendono da traiettoria ma solo da A, B → conse.

→ Forza conserv.

U(A) = -∫_A^B₀ F · ds ⇨ Si def. in modo ARBITRARIO

L_AB = ∫_A^B F · ds = ∫₀^A E·ds + ∫₀^B F · ds = -∫₀^A F · ds + ∫₀^B F · ds

U(A) - U(B)

Se si cambia O con O'

∫_O'^A F · ds = ∫_O'^B F · ds = ∫_O'⁰ F · ds = cost + U(A)

U_O'(A) = ∫_O'^A F · ds + ∫_O'⁰ F · ds = ∫_O'^{0 F · ds = cost + U(A)}

U(A) + cost - (U(B) + cost) = U(A) - U(B)