Appunti di Matematica applicata sul polinomio trigonometrico

Un polinomio TRIGONOMETRICO di grado mi è

una funzione della forma

• Tu LA = 00 + II, [arcos(kux/+ basin (Knox)]

dove 00, ok, be ∈ R

WE R/{o}

• Altra definizione → Tulx) ? tacos/kwxltbks.im/kwxl]

i

Dunque il polinomio trigonometrico è una combinazione

di funzioni periodiche Te LI

W

FUNZIONI > cos (wi) , cos Kwx),..., cos/mux)

COINVOLTE ¥, KIM

k

, sin Kux),..., sin (mux)

sin (ux)

☐ la funzione 1

Perciò il polinomio trioonometrico è formato da anti funzioni

SISTEMA TRIGONOMETRICO

TEOREMA > Il sistema trigonometrico S è un sistema

ortogonale nello spazio [(Co, T]) dove TET cioè

(NOTA) f ∈ LYO, TI) se [fixtdx sa

< f. ga = "flagixtdx ; 11811.-E

10 41 1 cos (Kux) > ⇒ ∀k - 1... m

② C2 , sin/Lux/> = o te 1... m

Kth

③ < cos/KWX), costhWAS = = O K, b = sono

interi che

Eh

⇔ vanno da

1... M

Kth

④ < sin (Kux, sin/hux/> = Kh

⇒

⑤ < cos (Kux), sin/huix/> = o ∀ hik 1... n

DIMOSTRAZIONE T

T - sintkux) = Sim (Kat)

① < 1, cos (Kux/> = , cos (Kwx) dx = kW kW

sin (KIT)

ma Te 2T ⇒ sin (KWE) Poiché K

= 0

W kW

kW è un

numero

intero

③ Eh

< cos (KWXI, cos (hux) > Eh

≠ RIDURRE

A UNA

SEMPLICE

F. IN TE E

< cos (Kwx), cos/huxts cos (Kux) cos (hux) dx " " '

"

↳ FIRTI

Kos (α

+ β) = costcos β- sind sin β

cos (α-B) = cosacos

β + sindsimp 1º Formula di Werner

cos (α + β/ + cos (α-B) = 2 cosa cos

β ⇒ cosa cos β = 1 costa

+ B) + cos (2- B)

IN TAL MODO

T cos (kW ✗ /cos (hux) dx = ½ "cos ((kthlwxfdxtf.to/lk-h)wxldx

T

= 12 [sin/kthux) + ½ [since-b) wx]; = con

K#In

14th/W ] (K-4) w

ASSUMIAMO CHE Keh T

< cos(kux), casthux/> = ↑ cos'

(Kuxtdx-½ [coskkwxt.SI/dx

= ½ [Sim (2kW) + x]; = I

2kW

④ sin (Lux), sin/Linx)- - O Hh Ovvero ½

# 0 K-h

cos (AP)-cos (HB) = -2 sin (a) sin/β) ⇒ sin α sin β =-½ (ok + β)-

cos (α-B)

2º Formula

di Werner

se 6=4 ⇒ sin'α = -½ [costa)-1)

5 < cos (KUX) , sin (hux) > ⇒

sin (α

+ β/= sind cos β + cosa sin β

sin (α-β) = sin α cos β - cosa sin β

NOTA sin (α + β)

+ sin (α-P) = 2 sin α cos β 3º FORMULA

DI WERNER

sin α cos β = ½ [sin (α + β) + sin/α-β)]

Se α =p ⇒ sin α cos β = ½ sin (221

< cos

(Kux), sin (hux/> =

T

= cos/KWX/sin/huxi) dx = ½/Esim(kthlax + sin (K-Hux] chi

con K ≠ h = 1 [_costkthux cos (K-h) WX]; =

(kthl w - (K-4) w

NOTA: W 5 (KIT) - (-1) ᵗ

cos ((6th) '

W 2T) = 1

W,

cos/(K-4) ☑ 2T)- (-1)"")

W

SE 1, cos (UX) cos (mux) , sintuxt

1 .. . ) Il cos (mux)/l Asintuxy'... 1 " " tu"

I/sin/mux)

I/cos (UX) ll SIT

È,

* È 2

½

OSSERVAZIONE L'

([O, T])

se io considero invece L' ([a, att]) la proprietà di

ortogonalità e ortonormalità vale ancora?

Se f è periodica di periodo T

att + fix) dx

fixtdx =

Tm (X) = do + È, [ok cos (Kux) + ba sin (aux)]

flo, T] → R ¾ 2

l

Calcolo di ao

f

(x) = ao +:& [ar cos (Lux) + bk sin/Kwx)]

T T

fixidx = T ao dx + II, a cos (Kux) dx + baffsim/Kwxl da

41, sin/Kux)-

T T

fix) dx Qot ossia ao-E fin di

Calcolo di ak

fix 1=00 + È, [a K cos (Kux/+ bk sin (kW ×)]

* T cos (Kwx/cos (hux)

+ bk [sin/Kuxlcosthuxtdx]

O fixicos (Lux) = [ao cos (Lux) + IL [ah ◦ ∅ 72 se ben

con h = 1,2..., m se#hL

T

⇒ fixicos (hux) dx-ah. E

[fixicostkwydx

a- ≤

Calcolo di ba

Axl-aot:[, [ar cos (Kux/+ basin (Kwx)]

T sin/huxtdx + È, [aw "cos/Kux) sinthux) + be T

sin/Kux) sim (hw *)

↑ pixisinthuxta. ⇒ se k≠h

ET/2 se «4

↑ Jassim (Lux)-bh I

bke ¼ [fix) sim (aux) polinomio trigonometrico

① ② ③

Il poligono ottenuto con i coefficienti (Tm) -o. ok, be

è il polinomio di migliore approssimazione, della distanza

tra f e TI ⇒ 11 f- Tmll. min 118-and

con Qn ∈ Tm

IDEA DI FOURIER → Serie di Fourier al posto di m c'è •

f [0,7] → R

Serie di → Sfix,-0 ÷ IL [excuskalthklainlkux))]

Fourier dove = ¼ [fixidx­

O bk ftfixyr.in/Kwx)dx

AL ¾ [fixicostkwxtdx

•

COEFFICIENTI

DI FOURIER