Appunti completi del corso di Matematica applicata e statistica

R, Yx→+∞ovvero la funzione di distribuzione marginale di Y si trova dalla distribuzione congiuntamediante la relazione F (y) = lim F (x, y)Y x→+∞

La funzione di distribuzione è:

• ≥1 se x ≥ 1, y ≥ 1
• 2x^2 + 3 if 2∈(3y + 2y ) se (x, y) [0, 1]
• 5 if 1 ≤ x ≤ 3y + 2y se 0 ≤ y ≤ 1, x > 1
• ≤0 se 0 ≤ x < 0, y < 0

La funzione di distribuzione marginale di X è il limite per y che tende a più infinito della distribuzione congiunta:

• ≥1 se x ≥ 1
• 2x se 0 ≤ x ≤ 1
• 0 se x < 0

Per la funzione di densità marginale di X è sufficiente derivare la funzione di distribuzione marginale di X:

• ≥0 se x ≥ 1
• 2 se 0 ≤ x ≤ 1
• 0 se x < 0

Due variabili aleatorie X e Y si dicono indipendenti se la funzione di distribuzione congiunta può essere scritta come il prodotto delle singole marginali:

F (x, y) = F (x)F (y) per tutte le possibili coppie (x, y).

Analogamente, se X e Y sono discrete esse sono indipendenti se:

indipendenti se la funzione di probabilità congiunta è il prodotto delle probabilità marginali

p(a, b) = p(a)p(b)

Se X e Y sono continue esse sono indipendenti se la funzione di densità congiunta è il prodotto delle probabilità marginali

f(x, y) = f(x)f(y)

Se X e Y non sono indipendenti, allora si dicono dipendenti.

Esempio 34. Siano X e Y le variabili aleatorie discrete la cui funzione di probabilità congiunta è descritta dalla seguente tabella

Le variabili aleatorie X e Y non sono indipendenti perché p(0) = p(4) = p(0, 4) = 0

Esempio 35. Siano X e Y due variabili aleatorie assolutamente continue la cui funzione di densità congiunta è la seguente

f(x, y) = 12xy(1 + y) se (x, y) [0, 1]

f(x, y) = 0 altrove

Determinare se X e Y sono indipendenti.

Nell'esempio 33 si è già trovata la funzione di distribuzione congiunta che risulta essere pari a 1 se x ≥ 1, y ≥ 2

1. 1≤ ≤ 2x² + 3² 2∈(3y + 2y ) se (x, y) [0, 1]
2. 5
3. 1≤ ≤F (x, y) = (3y + 2y ) se 0 ≤ y ≤ 1, x > 1
4. X,Y
5. 5
6. 2 ≤ ≤x se 0 ≤ x ≤ 1, y > 1
7. ≤0 se 0 ≤ x < 0, y < 0
8. 52 Variabili aleatorie multiple
9. Le distribuzioni marginali sono
10. ≥1 se x ≥ 1
11. 2 ≤ ≤F (x) = lim F (x, y) = (59)x se 0 ≤ x ≤ 1X X,Yy→+∞
12. 0 se x < 0
13. ≥1 se y ≥ 1
14. 1 ≤ ≤ (60)F (y) = lim F (x, y) = (3y + 2y ) se 0 ≤ y ≤ 1Y X,Y 5x→+∞
15. 0 se y < 0
16. Il loro prodotto risulta essere pari alla distribuzione congiunta, quindi X e Y sono indipendenti.
17. Esempio 36. Siano X e Y due variabili aleatorie assolutamente continue la cui funzione di densità congiunta è
18. 1 ≤ ≤ ∧ ≤ ≤(3x + 8xy) per 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 2
19. f =X,Y 10 e nulla altrove. Determinare se X e Y sono indipendenti.
20. Le densità marginali sono pari a
21. 2Z Z1 12 2f (x, y)dy =f (x) = [3x + 8xy]dy = (6x + 16x) (61)X,YX 10 100R 1Z Z1 12f (x, y)dy =f (y) = [3x + 8xy]dy = (1

+ 4y) (62)X,YY 10 100R

Il prodotto delle marginali non è uguale alla congiunta quindi X e Y sono dipendenti.

In generale, se la funzione di densità congiunta può essere scritta come prodotto di una funzione solo di una variabile e di un'altra funzione dell'altra variabile, allora tali variabili sono indipendenti.

Esempio 37. Siano X, Y e Z tre variabili aleatorie continue indipendenti e identicamente distribuite come U (0, 1). Calcolare P (X Y Z).

La funzione di densità congiunta delle tre variabili vale

f = f (x)f (y)f (z) =

X,Y,Z X Y Z 0 altrove

La richiesta equivale al seguente calcolo

ZZZ 3{(x, ∈ ≥f dxdydz A = y, z) : x yz}

RX,Y,ZA 3 3

Siccome f è nulla in tutto tranne che in [0, 1] tale integrale equivale al seguente

RX,Y,ZZZZ 3{(x, ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥f dxdydz B = y, z) : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1, x yz}

RX,Y,ZB 53

Variabili aleatorie multiple

Le disequazioni di B si possono riscrivere come segue

3{(x, ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥f dxdydz B = y, z)}

≤ ≤ ≤ ≤B = y, z) : yz x 1, 0 y 1, 0 z 1}R
Quindi l’integrale diventa 1 1 1Z Z  ZZZ Z 3f dxdydz = dx dy dz =X,Y,Z 4B 0 0 yz
Esempio 38. Siano X, Y e Z tre variabili aleatorie continue la cui funzione di densitàcongiunta è ( 3∈c(x + y + z) se (x, y, z) [0, 1]f =X,Y,Z 0 altrove
Determinare c e se le variabili X, Y e Z sono indipendenti.
La costante c deve essere tale per cui 1 1 1  Z ZZZZ Z 3⇒ cf (x, y, z)dxdydz = 1 c [x + y + z]dx dy dz =X,Y,Z 23 0 0 0R
Quindi c = 2/3.
Per il secondo punto, si calcolino le densità marginali1 1Z ZZ Z2 2f (x) = f (x, y, z)dydz = [x + y + z]dy dz = (x + 1) (63)X X,Y,Z 3 32 0 0R 1 1 ZZZ Z2 2f (y) = f (x, y, z)dxdz = [x + y + z]dx dz = (y + 1) (64)Y X,Y,Z 3 32 0 0R 11 Z ZZ Z2 2[x + y + z]dx dy = (z + 1) (65)f (z) = f (x, y, z)dxdy =X,Y,ZZ 3 32 0 0R
Il loro prodotto non è uguale a f perciò le tre variabili aleatorie sono dipendenti.X,Y,Z 2
Siano X e Y due variabili aleatorie e sia g una funzione da a valori inR R.
Se X e Y sono

discrete con valori a, a, ... e b, b, ... allora