Appunti Matematica applicata

Es. 1

Da un'urna contenente 10 palline di cui R rosse, si estrae una pallina e si vince 1E se è rossa, altrimenti ce ne perdono 2. Calcolare il numero minimo di palline rosse contenute nell'urna affinché dopo 100 estrazioni con rimpiazzo la probabilità che il giocatore stia vincendo almeno 10E sia non inferiore al 50%.

Con X_i = vincita (in euro) nell'i-esima estrazione.

X_i v.a. indp. e identicamente distribuite.

X_i = { 1 R/10 -2 1-R/10 }

Es. 1

Da un'urna contenente 10 palline di cui R rosse, si estrae una pallina e si vince 1E se è rossa, altrimenti se ne perdono 2. Calcolare il numero minimo di palline rosse contenute nell'urna affinché dopo 100 estrazioni con rimpiazzo la probabilità che il giocatore stia vincendo almeno 10E sia non inferiore al 50%.

Con X_i = vincita (in euro) nell'i-esima estrazione.

X_i v.a. indip. e identicamente distribuite.

X_i = 1   R/10 -2   1-R/10

TLC

∑_i=1¹⁰⁰ X_i ≈ N(mμ, mσ²)

Con m = 100, μ = E[X_i], σ² = Var(X_i)

Cerchiamo R per cui

P(∑_i=1¹⁰⁰ X_i ≥ 10) ≥ 50/100

1 - P(∑_i=1¹⁰⁰ X_i < 10) = 1 - Φ^*((10 - 100μ)/(√100 σ))

1 - Φ^*((10 - 100μ)/(10σ)) ≥ 50/100

Φ^*((10 - 100μ)/(10σ)) ≤ 50/100 = Φ^*(0)

(10 - 100μ)/(10σ) ≤ 0

=> 10 - 100μ ≤ 0

μ = E[X_i] = 1·R/10 - 2(1 - R/10) = 3R/10 - 2

10 - 100[3R/10 - 2] <= 0

10 - 30R + 200 <= 0

30R >= 210 R >= 7

Es. 2

La durata in giorni di una lampadina segue una legge exp di media 10. Non appena smette di funzionare una lampadina viene sostituita con una nuova. Qual è la prob. che 40 lampadine siano sufficienti per un anno?

X_i = durata (in giorni) dell'i-esima lampadina X~Exp(1/10)

v.a. indipendenti, identicamente distribuite, mu = 10, sigma² = 100

P(sum_i=1⁴⁰ Xi >= 365)

sum_i=1⁴⁰ Xi approx N(40 . 10, 40 . 100)

TLC

P(sum_i=1⁴⁰ Xi >= 365) approx 1 - phi^*((365 - 400)/sqrt(40 . 100))

= 1 - phi^*((-35)/(20sqrt10)) = phi^*(7/(4sqrt10)) ....

Es. 3

Gli impiegati di un'azienda per recarsi alla mensa e tornare in sede, impiegano un tempo X (espresso in minuti), con distribuzione normale, di media 10 min. e varianza 1 min.².

Il tempo trascorso in mensa è una v.a. Y con distribuz. normale di media 30 min. e varianza 2 min.².

Supponendo che i due tempi siano ind., calcolare la prob. che su un campione di 200 impiegati non più di 10 si assentino complessivamente dal lavoro per più di 43 minuti.

Z = numero di impiegati che si assentano dal lavoro per più di 43 minuti

P(Z ≤ 10) = ?

Z ~ B(200, P)

P = prob. che un impiegato si assenti dal lavoro per più di 43 minuti

P = P( X + Y > 43 )

X ~ N(10, 1)      Y ~ N(30, 2) v.a. indip.

X + Y ~ N(40, 3) (visto in teoria)

P = P(X + Y > 43) = 1 - Phi^*((43 - 40)/sqrt(3)) == 1 - Phi^*(sqrt(3)) ≈ 0,04

Z ~ B(200, 4/100)

mp = 8 > 5

m(1-p) = 2.96 > 5

Z ≈ N(8, 200 . 4/100 . 96/100)

P(Z <= 10) ≈ Phi^*((10 - 8)/sqrt(200 . 4/100 . 96/100)) ....

Es. 4

La durata in ore di un certo tipo di lampadina X si distribuisce secondo una legge incognita con deviazione standard sx = 8.

Supponendo di estrarre un campione casuale di 36 lampadine e sapendo che

P(X₃₆barre = 1400) = 0,9332,

calcolare il valore medio di X.

TLC: Xbarre_n approx N(mu_x, sigma²_x/m)

m = 36 sigma²_x = 64

P(Xbarre₃₆ = 1400) approx Phi*(1400 - mu_x)/(8/sqrt(36))