Appunti di Matematica

A B B A =

φ ⊆

− = V F

Se , allora A B

A B ∪

Se A ha 5 elementi e B ne ha 3 allora ha 8 elementi V F

A B

∩

Se A ha 5 elementi e B ne ha 3 allora ha 2 elementi V F

A B

{ } { } { }

= = =

, , , , , , ,

, ,

23) Si considerino gli insiemi, A a b c B b d h C b d e f

Dopo aver rappresentato gli insiemi con i diagrammi di Eulero-Venn, determina:

( )

∩ ∩ ∪ − ∩

, , ,

A B B C A B B A C

{ }

= = ∈ Ν <

/ 2 , 6

24) Dato l’insieme , rappresentalo in forma estensiva cioè

U x x n con n n

scrivi tutti i suoi elementi. × ∪

25) Determina due insiemi A e B tali che sia formato da 4 elementi, da 3 elementi

A B A B

∩

ed da un solo elemento.

A B { } { }

= = × ×

, , , , ,

26) Dati gli insiemi e , scrivere gli elementi di .

A a b c B b c d A B B A

{ } { } { } { }

= = =

1

, 2

,

3 1

, 4

,

5 1

,

5

,

6 2

, 4

,

5

27) Dati gli insiemi , , e associa ad ogni operazione

A B C D

della colonna di destra, l’operazione della colonna di sinistra che ha lo stesso risultato

61

Insiemi

*28) Su 100 alunni di una scuola, 82 si interessano di calcio, 26 si interessano di basket e 10 non

si interessano né di calcio né di basket. Quanti sono gli studenti che si occupano di calcio e

di basket?

(Invalsi 2014)

Svolgimento

Poiché su 100 alunni 10 non si interessano né di calcio né di basket, ci sono100-10 = 90

studenti che si interessano o di calcio o di basket.

Se allora indichiamo con A l’insieme degli studenti che si interessano di calcio e con B

l’insieme degli studenti che si interessano di basket avremo che il numero degli elementi di

∪ è 90.

A B

D’altra parte sommando 82 (numero elementi di A) con 26 (numero degli elementi di B) si

∩

ottiene 108: quindi 108 – 90 = 18 rappresenta il numero degli studenti dell’intersezione A B

cioè il numero di studenti che si interessa sia di calcio che di basket.

29) In un paese 220 ragazzi possiedono la moto, 80 la moto e la bici, 120 solo la bici e 15 non

possiedono né l’una né l’altra. Quanti ragazzi possiedono una bici? Quanti sono i ragazzi del

paese? [ 200,355]

30) Una commissione esamina 60 studenti. Il compito di matematica è costituito da tre problemi.

40 candidati hanno risolto correttamente il primo problema, 40 hanno risolto il secondo e 31 il

terzo. In 25 hanno risolto i primi due problemi, in 15 il primo ed il terzo, in 17 il secondo ed il

terzo e solo 4 li hanno risolti tutti. Quanti sono gli studenti che hanno risolto il secondo ed il

terzo ma non il primo? Quanti hanno svolto correttamente solo il secondo esercizio? Quanti

non hanno risolto nessun esercizio? [13; 2; 2]

62

Insiemi

SCHEDA PER IL RECUPERO

INSIEMI

1. Scrivi gli elementi dei seguenti insiemi:

{ }

= ∈ Ν ≤ ≤

/ 4 8

A x x e x

{ }

= ∈ Ν

/ 12

B x x e x è divisore di

∩ ∪

, , \ , \ .

Determina , anche con la rappresentazione grafica A B A B A B B A

2. Considera: { }

= 1

, 2

, 4

,

6

A { }

= 4

,

5

,

7

,

9

B { }

= 1

, 4

,

10

C ( ) ( ) ( )

∪ ∩ = ∩ ∪ ∩

Rappresenta graficamente A, B, C e verifica che .

A B C A C B C

{ }

= , , ,

Considera . Scrivi tutti i sottoinsiemi di A.

3. A a b c d

{ } { }

= = ⊂ ⊂

4. Se e risulta oppure ?

A triangoli equilateri B triangoli isosceli A B B A

{ } { }

= = ∩ ∪

5. Considera e . Come risultano e ?

P numeri pari D numeri dispari P D P D

6. Scrivi gli elementi contenuti nel seguente insieme:

{ }

= = + ∈ Ν

3 1

A x n con x

7. Se due insiemi A e B hanno un numero finito di elementi, quando si può dire che il numero

∪

degli elementi di è uguale alla somma del numero degli elementi di A con il numero

A B

degli elementi di B? Ù

63

Insiemi

TEST

{ }

=

1) : natural numbers less than 10 and

A x x is even

{ }

= : 10

B x x is prime less than

(a) Express this on a Venn diagram

∩ =

A B

(b)

2) All 24 students in a class are asked whether they like football and whether they like basketball.

Some of the results are shown in the Venn diagram below.

U = students in the class F = students who like football B = students who like basketball

(a) How many students like both sports?

(b) How many students like neither sports?

( )

∪

(c) Write down the value of n F B

3) In a school of 100 students, 70 enjoy Maths, 50 enjoy French and 20 enjoy neither.

(a) Draw a Venn diagram showing this information.

(b) Use your diagram to find the number of students who enjoy both subjects.

4) On an athletics day 150 athletes take part. 60 are in the 100 metres, 50 are in the 200 metres

and 80 are in neither.

(a) Draw a Venn diagram showing this information.

(b) Use your diagram to find the number of athletes who run in only one race..

5) In a class of students, 11 play a stringed instrument, 15 play a wind instrument, 6 play both and

10 play neither.

Draw a Venn diagram to show this information and find the total number of students in the

class. 64

Le funzioni

Le funzioni

→

Definizione : con A e B insiemi

:

f A B

f è una funzione da A a B (A insieme di “partenza”, B insieme di “arrivo”) se associa ad ogni

elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Esempio: consideriamo come insieme A l’insieme degli studenti della 1A liceo scientifico del

nostro istituto nell’anno scolastico in corso e come insieme B le località del Valdarno (Montevarchi,

Terranuova, ecc.). →

Consideriamo come la legge che associa ad ogni studente la località dove risiede.

:

f A B

Poiché ad ogni studente è associata una e una sola località, f è una funzione (nel disegno abbiamo

riportato solo qualche ipotetico studente). ∈

→

Osservazione: a A

sia una funzione da ogni elemento deve partire una ed una

perché :

f A B

sola “freccia”.

Se per esempio avessimo considerato come insieme B l’insieme degli sport (nuoto, basket,

→

pallavolo, tennis, calcio, ecc) ed avessimo considerato che associa ad ogni studente gli

:

f A B

sport praticati, poteva non risultare una funzione nel caso in cui ci fossero stati studenti che non

f

praticano nessuno sport o ne praticano più di uno. non è una funzione

non è una funzione

65

Le funzioni

Notazioni

In genere l’elemento dell’insieme di partenza viene indicato con e l’elemento dell’insieme di

x

=

arrivo con (x )

y f

si legge “f e rappresenta l’elemento corrispondente a secondo la funzione

di x” x f.

(x )

f = si chiama anche “immagine” di secondo la funzione

x f.

(x )

y f

Nota importante

Se A e B sono insiemi numerici la funzione si chiama numerica”.

“funzione

= =

Esempio: se per esempio consideriamo (insieme dei numeri reali) e la funzione

A R B R

descritta dalla legge → 2

:

f x x

∈

x R

che associa cioè ad ogni il suo quadrato, è una funzione numerica.

Proprietà di una funzione

Funzione iniettiva →

Diciamo che una funzione è iniettiva se ad elementi distinti di A vengono associati

:

f A B

elementi distinti di B. ≠ ≠

→  ( ) ( )

Possiamo scrivere: è iniettiva quando x x f x f x

:

f A B 1 2 1 2 →

Per capire meglio questa definizione consideriamo il nostro primo esempio la funzione :

f A B

che associa ad uno studente della 1A del liceo scientifico dell’anno in corso la località dove vive:

questa funzione non risulterà iniettiva nel caso (molto probabile) che ci siano almeno due studenti

che vivono nella stessa località. non è iniettiva.

Per esempio la funzione rappresentata in figura f 66

Le funzioni

Funzione suriettiva

→

Diciamo che è una funzione suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un

:

f A B

elemento di A.

Nell’ esempio seguente f è suriettiva ma non è iniettiva.

∀ ∈ ∃ ∈ =

( )

In sintesi si dice che f è suriettiva se y B x A tale che f x y .

Osservazione: possiamo sempre rendere suriettiva una funzione “restringendo” l’insieme di

arrivo. { }

=

Nel nostro primo esempio se consideriamo quasi sicuramente la

B tutte le località del Valdarno

→

nostra funzione non sarà suriettiva, ma se consideriamo : ' con

f A B

{ }

=

' 1

B le località del Valdarno in cui abita almeno uno studente della A

in questo caso risulterà suriettiva. restringo l’insieme di arrivo

Funzione biunivoca

→

Diciamo che è una funzione biunivoca se è iniettiva e suriettiva.

:

f A B ∈

x A

In questo caso si parla anche di corrispondenza uno-a-uno perché non solo ad ogni elemento

corrisponde uno ed un solo elemento di B ma vale anche il viceversa, cioè ad ogni elemento di B

corrisponde uno ed un solo elemento di A. f biunivoca

67

Le funzioni

Le funzioni numeriche

Consideriamo le funzioni numeriche in cui A e B sono sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali R.

Definizione dominio

: si chiama della funzione numerica f l’insieme dei numeri reali per i quali la

funzione ha significato.

Esempi { } 1

1 ≠

→ =

1) 0

x

(dominio di f): cioè poiché non posso calcolare .

D

:

f x \ 0

D R

f f 0

x ∈

→ =

2

2) x R

: poiché posso sempre calcolare il quadrato di un numero

f x x D R

f

Definizione codominio

: si chiama della funzione f l’insieme delle immagini di f.

→ + ≥

=

2

: : C (codominio di f) cioè i numeri reali poiché un quadrato è

Esempio f x x 0

y

R

f 0

sempre positivo o nullo. ( )

Definizione: grafico , ( )

x f x

si chiama di una funzione numerica f l’insieme delle coppie in un

∈

sistema di riferimento cartesiano ortogonale con .

x D f

Nota

Sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Fissare nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale significa fissare due rette

perpendicolari orientate chia