Appunti di Macchine M (compressori)

EQUAZIONI DI CONTINUITÀ

1. La somma di tutte le portate deve essere 0 perché siamo in condizioni stazionarie, per cui facciamo il bilancio nelle 3 direzioni. Per scrivere gli equilibri osserva su quali facce entrano le forze, dopodiché moltiplica la forza per ρ moltiplicandola per la superficie di ingresso. La rotazione in ogni piano genera un vettore ortogonale al piano che quantifica questa rotazione. Non posso avere accumulo o diminuzione di portata per cui la somma complessiva deve essere pari a 0 (altrimenti ci sarebbe un accumulo di massa e non saremmo in condizioni stazionarie).

2. CIRCUITAZIONE Con buona approssimazione valida non solo nelle macchine idrauliche ma anche per le macchine in cui il fluido subisce delle trasformazioni di pressione non elevate come nei canali palari di una macchina assiale. Introdurre la circuitazione è molto importante (per ciò che riguarda nel nostro caso il moto dei fluidi). Supponiamo di avere uno spazio in cui c'è un

Il vettore di velocità è una curva verde all'interno di questo campo di moto. α è l'angolo tra il vettore velocità e l'elemento infinitesimo di lunghezza ds. Posso calcolare lungo tutto il percorso il prodotto della velocità proiettata su ds. Supponiamo coordinate cilindriche piane, dz non c'è. Come legare la circuitazione alla forza che esercita il fluido sulla pala? La vorticità è legata alla rotazione, la si può ricavare dal punto di vista fisico e ha un suo significato così come la divergenza (la divergenza nulla del vettore c mi dà la conservazione della portata). Suddividiamo il problema nelle 3 direzioni: Velocità angolare con cui la faccia OA ruota nell'unità di tempo. Vettore di questa intensità lungo l'asse θ, rotazione vista dall'asse θ. L'asse θ è un asse che ruota, oltre che a ruotare le facce anche l'elemento stesso.

La rotazione complessiva è la rotazione delle due facce prese singolarmente più la rotazione delle due facce insieme rispetto al sistema di riferimento (γ). Queste tre parentesi identificano per definizione il rotore di c in coordinate cilindriche. Il rotore in coordinate cartesiane non è lo stesso in quelle cilindriche o sferiche, Abbiamo scelto le coordinate cilindriche perché avremo spesso a che fare con sistemi assialsimmetrici. IRROTAZIONALE. Un campo di moto in cui si verifica che la rotazione/vorticità in tutti i punti del dominio è nulla si chiama In un campo bidimensionale la circuitazione per unità di superficie uguaglia il rotore di c Circuitazione riferita all'area, per unità di superficie. Supponiamo di calcolare la circuitazione di ogni singolo quadratino infinitesimo (molto ingranditi). Notiamo che possiamo effettuare delle semplificazioni, rimane solo la circuitazione sul contorno. La circuitazione lungo una

circuitazione lungo la curva chiusa è =0

Posso prendere anche un altro percorso C''' che collega A e B che il risultato non cambia. Dunque in un campo di moto irrotazionale l'integrale non dipende dal percorso di integrazione, dipende esclusivamente dai punti iniziali e finali.

potenziale di velocità

C'è una funzione che chiameremo tale per cui vale la relazione:

La variazione di φ lungo la curva mi da la velocità lungo la direzione verso cui derivo cioè ds. La dimensione lineare nel caso di θ è rdθ.

Cosa succede se oltre a considerare il campo di moto irrotazionale considero anche un campo di moto solenoidale cioè la divergenza=0?

Dunque in un campo di moto irrotazionale e solenoidale il laplaciano del potenziale di velocità è =0.

Ora partiamo considerando prima un campo di moto solenoidale: La divergenza di un rotore in qualsiasi coordinata è sempre 0.

Potenziale vettore è il

ψ generico a 3 dimensioni.

Funzione/linea di corrente nel piano

Ora introduciamo la condizione che il moto sia anche irrotazionale

È molto facile trovare un campo solenoidale e dimostrarlo perché è un campo che sostanzialmente è in condizioni stazionarie, un po’più di cile è assumere e dimostrare la sua irrotazionalitá. Posso introdurre un potenziale di velocità e un potenziale vettore

Sono una l’opposto del reciproco dell’altra.

Questo rapporto rappresenta la pendenza della tangente alla curva che stoiθ.considerando rispetto alla direzione dell’asse Essendo che le due tangenti sono una il reciproco dell’opposto dell’altra vuol dire che le due curve sono tra

In un campo di moto solenoidale e irrotazionale le linee al loro ortogonali.

Iso potenziale di velocità sono ortogonali alle linee iso corrente.

PROPRIETÀ: (in un campo di moto solenoidale e irrotazionale)

• Le curve iso

potenziale di velocità e quella iso funzione di corrente sono ortogonali tra loro.

Nelle curve iso funzione di corrente α, che è la pendenza della tangente alla curva nel punto che sto considerando, coincide con la direzione di velocità. Per questo motivo si da molta più importanza a queste curve perché indicano il percorso di velocità, il potenziale di velocità ha meno importanza.

La differenza tra due linee di corrente mi restituisce la portata che passa tra le due linee. La portata che passa attraverso due linee di corrente (per unità di altezza) è uguale alla differenza del valore del potenziale vettore tra quelle due linee di corrente. Poiché la portata è la stessa dove le linee sono più vicine la velocità sarà più elevata. Dove le linee di corrente si addensano la velocità è più elevata.

potenziale complesso

Il permette di:

• calcolare lo sforzo

parametro t

Le curve di intersecano in un punto, esiste un parametro t che fa si che la curva c1 sia uguale in un punto alla curva c2.

Ora posso fare lo stesso ragionamento nel campo trasformato.

La funzione è olomorfa, dunque la derivata è unica.

Le due derivate sono uguali perché per ipotesi z0 è l'incrocio tra le due curve.

Resta la parte che non si semplifica che è esattamente uguale a quella che abbiamo trovato prima.

Nel caso ho l'uguaglianza degli angoli in una condizione di Cauchy trasformazione conforme.

Ho individuato nel nuovo piano un ellisse partendo da un cerchio.

La trasformazione conforme trasforma tutti i punti di un cerchio in una nuova figura nel piano trasformato pari a una lamina lunga 4r0.

L'ellisse degenera in un segmento.

Se ho una lamina piana in cui voglio studiare il flusso che la lambisce posso studiarla nel piano trasformato come un flusso che lambisce un cerchio e viceversa.

Non ho velocità tangenziale, ho solo velocità radiale.