Appunti di Istituzioni di matematica sui numeri complessi

R

natura principalmente algebrica è stato necessario ampliare questo insieme in modo da estendere

b

l’operazione di elevamento a potenza a e la sua inversa, operazione che nel campo reale è definita

m

solo quando a > 0, eccetto i casi in cui b sia un esponente intero o razionale con n dispari.

n

Per poter ampliare questo insieme non possiamo più servirci di una retta, poiché l’insieme R

è continuo o in altre parole non ha ”spazi vuoti”. Invece di una retta è necessario utilizzare il

2 ×

piano (abbreviazione di ovvero l’insieme delle coppie ordinate (a, b) di numeri reali. Su

R R R),

queste sono definite le operazioni di somma e prodotto con le seguenti regole:

(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

· −

(a, b) (c, d) := (ac bd, ad + bc)

Anche nel campo complesso sono definiti gli elementi neutri per somma e prodotto (che in sono

R

rispettivamente 0 e 1): (a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b)

· ·

(a, b) (1, 0) = (1, 0) (a, b) = (a, b)

Per somma e prodotto cosı̀ definiti sono verificate le proprietà che ritroviamo in per le stesse

R

2

operazioni e perciò l’insieme cosı̀ strutturato è un campo.

R

Osserviamo ora che contiene un sottocampo , ovvero il sottoinsieme delle coppie del tipo

C C 0

(a, 0) per cui sono definite le operazioni viste sopra. A differenza di può essere ordinato

C, C 0

ponendo (a, 0) < (b, 0) quando a < b. Mettendo in corrispondenza biunivoca con l’insieme

C R

0

ponendo ←→

(a, 0) a

possiamo identificare i numeri reali a come numeri complessi del tipo (a, 0). In questo senso il

campo è un ampliamento di

C R.

Consideriamo ora il numero (0, 1). Esso presenta una particolare proprietà:

·

(0, 1) (0, 1) = (−1, 0)

−1.

cioè il suo quadrato coincide con il numero reale Per questa ragione la coppia (0, 1) è indicata

con la lettera i e viene chiamata unità immaginaria.

1.1 Forma algebrica dei numeri complessi

Osserviamo che scrivendo semplicemente a invece di (a, 0) otteniamo:

·

(a, b) = (a, 0) + (0, 1) (b, 0) = a + ib

Con questa notazione valgono le regole di somma e prodotto viste all’inizio. La scrittura

←→

z = a + ib (a, b)

è detta forma algebrica dei numeri complessi; a si chiama parte reale di z e si indica con Re(z),

mentre b si chiama parte immaginaria di z e si indica con Im(z).

1

1.2 Piano complesso

In un piano cartesiano, rappresentiamo i numeri complessi a + ib come punti di coordinate (a, b).

In questo contesto il piano viene detto piano complesso o piano di Gauss; gli assi x e y si

dicono rispettivamente asse reale e asse immaginario. I punti sull’asse reale sono i numeri reali,

mentre i punti sull’asse immaginario sono i numeri complessi puri del tipo ib.

La somma di due numeri complessi è il numero che ha per coordinate la somma delle coordinate:

il significato geometrico di questo fatto è che il punto z + w si costruisce partendo dai punti z, w

in base alla ”regola del parallelogramma” utilizzata per la somma di vettori.

1.3 Coniugato e modulo

−

Il numero complesso a ib si dice complesso coniugato di z = a + ib e si indica con z̄. Eviden-

temente si ha: z + z̄ = 2a = 2 Re(z)

−

z z̄ = 2ib = 2i Im(z) √ 2 2 |z|.

a + b , che si indica con Se

Si chiama modulo di z = a + ib il numero reale non negativo |a|.

z = a è reale, il suo modulo si chiama valore assoluto e si indica sempre con Geometricamente

|z| rappresenta la distanza del punto (o numero complesso) z dall’origine.

1.4 Forma trigonometrica dei numeri complessi

I punti del piano possono essere individuati, oltre che dalle loro coordinate cartesiane, anche dalle

coordinate polari: ρ (raggio polare, ovvero la distanza del punto dall’origine) e θ (angolo polare

tra la retta congiungente il punto con l’origine e l’asse delle ascisse positive). Ogni coppia ρ, θ

(conρ > 0) individua un determinato punto del piano, mentre un punto del piano individua solo

la coordinata ρ, ma l’angolo θ è determinato solo a meno di multipli di 2π.

|z|

Dato un numero complesso z, il suo modulo coincide con il raggio polare ρ del punto che ne è

immagine nel piano complesso. Chiamiamo argomento di z, indicandolo con arg(z), uno qualsiasi

degli angoli θ relativi a z. Dato il numero complesso z = a + ib, dalla trigonometria ricaviamo le

relazioni tra le coordinate cartesiane a, b e quelle polari ρ, θ: a b

←→

a = ρ cos θ b = ρ sin θ cos θ = sin θ =

ρ ρ

Possiamo quindi riscrivere il numero complesso z nella sua forma trigonometrica:

z = ρ (cos θ + i sin θ)

Esempio: proviamo a scrivere il numero complesso (1, 1) in forma algebrica e trigonometrica:

√ 1 1

p p √ √

2 2 2 2

a + b = 1 + 1 = 2 cos θ =

z =1+ i ρ = sin θ =

2 2

√ π π

z = 2 cos + i sin

4 4

1.5 Forma esponenziale dei numeri complessi

Un modo molto comodo di scrivere un numero complesso è quello di utilizzare la forma esponenziale.

Questa notazione permette di svolgere prodotti e quozienti servendosi semplicemente delle regole

delle potenze, come vedremo più avanti. La forma esponenziale è cosı̀ definita:

iθ

←→

z = ρ (cos θ + i sin θ) z = ρ e

Per esercizio scriviamo in forma esponenziale il numero complesso dell’esempio sopra:

√ √

π π

π

i

−→

2 cos + i sin 2 e

z = z = 4

4 4

2

2 Equazioni in C

2.1 Le formule di De Moivre

La forma trigonometrica, cosı̀ come quella esponenziale, è comoda per esprimere prodotti e quozi-

enti di numeri complessi. Consideriamo i due numeri complessi:

z = ρ (cos θ + i sin θ ) z = ρ (cos θ + i sin θ )

1 1 1 1 2 2 2 2

Per calcolare il prodotto w si moltiplicano i raggi polari ρ e ρ per ottenere ρ(w), mentre si

1 2

sommano gli argomenti (arg(z) = θ) per ottenere arg(w):

·

ρ(w) = ρ ρ arg(w) = arg(z ) + arg(z ) = θ + θ

1 2 1 2 1 2

w = ρ ρ [cos (θ + θ ) + i sin (θ + θ )]

1 2 1 2 1 2

Questa formula si generalizza al caso di un qualsiasi numero n di fattori:

z z . . . z = ρ ρ . . . ρ [cos (θ + θ + . . . + θ ) + i sin (θ + θ + . . . + θ )]

1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n

Inoltre, quando i fattori sono tutti uguali otteniamo la formula (detta di De Moivre):

n n

z = ρ [cos (nθ) + i sin (nθ)]

Per quanto riguarda i quozienti il concetto è simile: il quoziente dei raggi ρ e ρ sarà il raggio

1 2

finale e la differenza degli argomenti sarà l’argomento finale:

ρ 1 − −

ρ(v) = arg(v) = arg(z ) arg(z ) = θ θ

1 2 1 2

ρ 2 ρ 1 − −

[cos (θ θ ) + i sin (θ θ )]

v = 1 2 1 2

ρ 2

Gli stessi risultati sono ottenibili sfruttando la forma esponenziale di un numero complesso, ricor-

dando le regole di prodotti e quozienti per potenze con la medesima base. Considerando i numeri

complessi z e z visti sopra:

1 2 iθ iθ i (θ +θ )

·

w = z z = ρ e ρ e = ρ ρ e

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

iθ

ρ e ρ

z 1

1 1

1 −θ

i (θ )

= = e

v = 1 2

iθ

z ρ e ρ

2

2 2 2

2.2 Radici n-esime n

Dato un numero complesso w, diciamo che z è radice n-esima (complessa) di w se risulta z = w.

∈ ̸ ∈ ≥

Teorema 1: Sia w w = 0 e n 1. Esistono esattamente n radici n-esime

C, Z,

complesse z , z , . . . z di w. Posto w = r (cos φ + i sin φ) e z = ρ (cos θ + i sin θ )

0 1 n−1 k k k k

abbiamo: √ φ + 2kπ

1/n −

n r θ = con k = 0, 1, . . . , n 1

ρ = r = k

k n

Graficamente queste radici si dispongono ai vertici del poligono regolare di n lati iscritto nella

1/n

circonferenza di centro 0 e di raggio r . n

Questo teorema ci dice che un polinomio del tipo z + a (con a complesso) ha in esattamente

C

n

n radici. Nel campo reale invece questo non accade, cioè un’equazione del tipo x + a = 0 può

avere due, una o nessuna radice reale, ma sappiamo che avrà sicuramente n radici complesse.

Teorema 2 (teorema fondamentale dell’algebra): Un’equazione polinomiale della forma

n ̸

a + a z + . . . + a z = 0 con a = 0

0 1 n n

con coefficienti complessi qualsiasi ha esattamente n radici in C.

3