Appunti di Istituzioni di matematica su vettori e matrici

R

della mano destra l’indice indica l’asse x, il medio indica l’asse y e il pollice indica l’asse z) e

pertanto si ha: ∧ ∧ ∧

i i = 0 j j = 0 k k = 0

∧ ∧ ∧

i j = k j k = i k i = j

Le proprietà viste permettono di scrivere il prodotto vettoriale di due vettori v = ix + jy + kz

1 1 1

e w = ix + jy + kz in termini delle loro componenti:

2 2 2

∧ − − −

v w = i(y z z y ) + j(z x x z ) + k(x y y x )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Questa formula può essere riscritta in modo più sintetico e facile da ricordare usando la nozione di

determinante di una matrice.

1.9 Prodotto misto

Se u, v e w sono tre vettori nello spazio tridimensionale il loro prodotto misto è definito dal numero

reale · ∧

u v w

Si può dimostrare che il prodotto misto non varia permutando ciclicamente i tre vettori nella

formula scritta sopra: · ∧ · ∧ · ∧

u v w = v w u = w u v

Geometricamente il valore assoluto del prodotto misto rappresenta il volume del parallelepipedo

costruito sui vettori dati. ∧

Se il prodotto misto è nullo allora u è perpendicolare a v w ovvero giace nel piano individuato

da v e w. Naturalmente vale il contrario. Si conclude che:

· ∧ ⇔

u v w = 0 u, v, w complanari

che implica che i tre vettori siano linearmente dipendenti.

Questo fatto ci fornisce un metodo analitico per verificare che tre vettori nello spazio siano

linearmente dipendenti oppure no. Considerando

u = (x , y , z ) v = (x , y , z ) w = (x , y , z )

3 3 3 1 1 1 2 2 2

sappiamo che i tre vettori sono linearmente indipendenti se

· ∧ − − − ̸

u v w = x (y z z y ) + y (z x x z ) + z (x y y x ) = 0

3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2

4

2 Spazi vettoriali

Finora abbiamo visto come identificare i vettori nel piano e nello spazio, scelto un sistema di

riferimento cartesiano, attraverso coppie o terne ordinate di numeri reali. Abbiamo anche visto la

somma e la moltiplicazione per uno scalare operando direttamente sulle componenti dei vettori.

Consideriamo v = (v , v ) e u = (u , u ):

1 2 1 2

v + u = (v + u , v + u )

1 1 2 2

λv = (λv , λv )

1 2

Questo ci suggerisce che è possibile considerare n-uple ordinate di numeri reali come vettori di uno

spazio astratto a n dimensioni.

n

2.1 Lo spazio R n

Consideriamo l’insieme delle n-uple ordinate di numeri reali:

R n {(x ∈

= , x , . . . , x ) : x

R R}

1 2 n i

n

Possiamo indicare gli elementi di con x, y. Se per esempio consideriamo x = (x , x , . . . , x ),

R 1 2 n

chiamiamo gli x componenti del vettore x. Possiamo definire in modo naturale la somma e la

i n

moltiplicazione per uno scalare di due vettori in :

R

(x , x , . . . , x ) + (y , y , . . . , y ) = (x + y , x + y , . . . , x + y )

1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n

λ (x , x , . . . , x ) = (λx , λx , . . . , λx )

1 2 n 1 2 n

Queste operazioni godono delle stesse proprietà viste nel piano e nello spazio, con l’unica differenza

che non possono essere rappresentate o visualizzate (è impossibile visualizzare uno spazio con

n > 3).

2.2 Spazi vettoriali astratti

Definizione 2: Si dice spazio vettoriale su un campo numerico (per noi o un

K R C)

insieme V di elementi per i quali sono definite:

- un’operazione di somma che associa ad ogni coppia di elementi di V un altro (unico)

elemento di V .

- un’operazione di prodotto che associa ad ogni coppia formata da un elemento di V e da

un numero appartenente a un altro (unico) elemento di V .

K

Le operazioni cosı̀ definite devono possedere tutte le proprietà già viste nel piano e nello

spazio. Gli elementi di V si chiamano vettori, quelli di si chiamano scalari.

K n

L’insieme dei vettori nel piano, quello dei vettori nello spazio e lo spazio sono esempi di spazi

R

vettoriali sul campo R.

Definizione 3: Sia V uno spazio vettoriale e V un sottoinsieme di V . Se V , munito delle

1 1

stesse operazioni di V , risulta essere anch’esso uno spazio vettoriale, diremo che esso è un

sottospazio vettoriale di V .

Per verificare che V sia effettivamente un sottospazio non serve verificare le proprietà delle op-

1

erazioni che ne definiscono uno (se le proprietà valgono per V valgono anche per V ), ma si deve

1

verificare che eseguendo tali operazioni non si esce da V :

1

∀ ∈ ∈ ∈ ∈

v , v V , λ v + v V e λv V

R

1 2 1 1 2 1 1 1

Consideriamo l’insieme dei polinomi in una variabile V . Per esso sono definite le operazioni di

somma e prodotto per uno scalare con le stesse proprietà richieste per gli spazi vettoriali: l’insieme

dei polinomi in una variabile è uno spazio vettoriale (anche se non immaginiamo un polinomio

come un vettore!). ≤

Consideriamo ora l’insieme dei polinomi in una variabile di grado n 2. Anche in questo caso

parliamo di uno spazio vettoriale, che è sottospazio di V . Lo si può verificare immediatamente

≤ ≤

notando che la somma di due polinomi di grado n 2 è ancora un polinomio di grado n 2 e che

moltiplicando per uno scalare λ qualsiasi il grado n non aumenta.

5

2.3 Indipendenza lineare, base e dimensione

In uno spazio vettoriale qualunque si può definire la nozione di combinazione lineare di vettori

e di indipendenza lineare in modo analogo a quanto fatto per i vettori nel piano e nello spazio.

Si dice combinazione lineare di n vettori v . . . v ogni vettore del tipo

1 n

w = α v + α v . . . α v

1 1 2 2 n n

∈

con α Si dice che n vettori sono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione

R.

i

lineare, a coefficienti non tutti nulli, che dà il vettore nullo. si dicono linearmente indipendenti se

α v + α v . . . α v = 0

1 1 2 2 n n

implica che α = 0 per i = 1, 2, . . . , n.

i

Definizione 4: Sia V uno spazio vettoriale e supponiamo che esistano n vettori e , e , . . . , e

1 2 n

tali che:

– e , e , . . . , e sono linearmente indipendenti.

1 2 n

– ogni altro vettore di V può essere scritto come combinazione lineare di questi, ossia: per

∈

ogni v V esistono n coefficienti reali v , v , . . . , v tali che

1 2 n

n

X

v = v e

i i

i=1

Allora si dice che e , e , . . . , e costituiscono una base per V e che esso ha dimensione n.

1 2 n

Può accadere che non esista alcun n per cui V ha una base di n vettori; in tal caso si dice che V

ha dimensione infinita. Un esempio è l’insieme dei polinomi in una variabile V visto nella pagina

precedente: il sottospazio V ha dimensione 3, ma lo spazio V ha dimensione infinita, poiché ci

1

sarà sempre un polinomio che non è combinazione lineare dei precedenti.

I coefficienti v , v , . . . , v si chiamano componenti scalari di v rispetto alla base e , e , . . . , e .

1 2 n 1 2 n

Se la base è fissata possiamo individuare v scrivendo  

v 1

v 2

 

v = (v , v . . . v ) o v =  

.

1 2 n ..

 

 

v n

Chiamiamo il primo vettore riga e il secondo vettore colonna. Naturalmente cambiando la

base cambiano le componenti. 3

Un esempio di base è quella detta canonica in formata dalla terna i, j, k. In generale la base

R n

canonica è quella preferita e può essere scritta in come:

R

e = (1, 0, 0, . . . , 0)

1

e = (0, 1, 0, . . . , 0)

2 ...

e = (0, 0, 0, . . . , 1)

n

Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n e V uno spazio vettoriale di V di dimensione m si

1

avrà sempre m < n, a parte il caso banale in cui V = V .

1

Se V è uno spazio vettoriale e v , v , . . . , v i vettori di V , l’insieme S di tutte le combinazioni

1 2 n

lineari di questi vettori costituisce un sottospazio di V che chiamiamo sottospazio generato da

tali vettori: ( )

n

X ∈

S = v : v = α v , α i = 1, 2, . . . , n

R,

i i i

i=1 6

n

2.4 Prodotto scalare in R

Nel piano e nello spazio, oltre alle due operazioni caratteristiche di ogni spazio vettoriale, abbiamo

definito anche il prodotto scalare e il prodotto vettoriale. Sebbene il secondo sia caratteristico

3 n

di , il primo può essere definito anche in . Consideriamo due vettori x = (x , x , . . . x ) e

R R 1 2 n

y = (y , y , . . . y ):

1 2 n n

X

·

x y = x y

i i

i=1 2 3

Questo prodotto scalare ha le stesse proprietà che aveva nel caso di e :

R R

· ·

v w = w v

· ·

u(v + w) = u w + u v

· ·

(tv) w = t (w v)

n

X 2

· ≥ ∀ · ⇔

v v = v 0 v e v v = 0 v = 0

i

i=1 n

In analogia a quanto accade nel piano e nello spazio, si dirà che in :

R

·

- due vettori v, w sono ortogonali se v w = 0. ∈

- due vettori v, w sono paralleli se v = λw per qualche λ R √ 1

n

2

P

·

|v| 2

v v = .

v

- definiamo modulo (o norma) di un vettore v il numero = i

i=1

Se V è uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare come descritto sopra e V è un sottospazio

1

di V , definiamo ⊥ {v ∈ · ∀ ∈ }

V = V : v w = 0 w V 1

1

⊥

In altre parole V è l’insieme dei vettori ortogonali a tutti i vettori di V . Si verifica che questo

1

1

insieme è un sottospazio di V , che prende il nome di spazio ortogonale a V . In uno spazio

1

vettoriale con prodotto scalare è definita la distanza tra due vettori come:

|u −

d (u, v) = v|

2.5 Basi ortonormali

Consideriamo uno spazio vettoriale di dimensione finita n, dotato di prodotto scalare. Fissata una

base e , e , . . . , e calcoliamo il prodotto scalare di due vettori

1 2 n n n

n

X X X

−→ · ·

v e u v = u v e e

u e v =

u = i j i j

i i j j i,j=1

i=1 j=1

Questa formula risulta particolarmente comoda quando gli n vettori risultano ortonormali, ossia:

· ̸

- sono a due a due ortogonali: e e = 0 per i = j

i j 2

· |e |

- ogni vettore ha modulo unitario: e e = = 1 per i = 1, 2, . . . , n.

i i

Una base di questo tipo si dice ortonormale. La formula scritta sopra diventa:

n n

X X

2 2

· |v| ·

u v = u v = v v = v se u = v

i i i

i=1 i=1

Notiamo subito che la formula risulta identica a quella definita per il prodotto scalare euclideo in

n 3

. Un esempio di base ortonormale è la base canonica in formata dalla terna di vettori i, j, k.

R R

Uno spazio vettoriale di dimensione n finita, dotato di prodotto scalare, ha sempre una base