Appunti di Geometria e algebra lineare

GEOMETRIA: si occupa di classificare oggetti geometrici

lineari (punti, rette, piani) identificati da certe trasformazioni

ALGEBRA: studia numeri e polinomi lineari (grado 1)

Fissato un sistema di coordinate, equazioni polinomiali lineari

corrispondono a oggetti geometrici lineari.

3

1. Vettori dello spazio R

3 t

R = terna di numeri reali = R x R x R = (x,y,z)

3

Tutti i vettori dello spazio R partono dall’origine e arrivano a un punto P

Sono caratterizzati da una direzione, che è la retta su cui giace la freccia, da

un verso, che è la semiretta su cui giace la freccia, e da un modulo, la

lunghezza del vettore.

mi restituisce un vettore → R 3 3 3

Somma di vettori: x R = R

Una coppia di vettori v e w viene associata ad un altro vettore v+w, detto

vettore somma. Graficamente, disegnati i due vettori v e w, il vettore somma

v+w è dato dalla diagonale (con partenza dall’origine) del parallelogramma

che ha come lati proprio i due vettori.

Prodotto di un vettore per uno scalare (λ): mi restituisce un vettore λ x v

che ha: direzione uguale a v; verso uguale a v se λ > 0, opposto se λ < 0;

lunghezza uguale o multipla a quella di v.

Vettori non come frecce, ma come terne:

t

v = (x , y , z ) = coordinate nel punto finale di v

1 1 1 t

w = (x , y , z ) = coordinate nel punto finale di w

2 2 2 t

w + v = (x + x , y + y , z + z )

1 2 1 2 1 2

Proprietà della somma tra vettori

- transitiva: ∀ v, w, z ∈ R → (v + w) + z = v + (w + z)

3

- commutativa: ∀ v, w ∈ R → v + w = w + v

3

- esiste un vettore particolare (VETTORE NULLO) che agisce come

elemento neutro per la somma t.c. ∀ v ∈ R → v + 0 = v = 0 + v

3 t

0 = vettore nullo = freccia che ha lunghezza 0 = (0, 0, 0) = origine

- ogni vettore ha un opposto (-v) rispetto alla somma: ∀ v ∈ R , Ǝ (-v)

3

∈ R

3 t.c. v + (-v) = 0 (vettore nullo)

Le prime quattro proprietà si riassumono dicendo che: l’insieme dei vettori con

3

l’operazione di somma (R , +) è un gruppo abeliano.

PSEUDO-DISTRIBUTIVITÀ tra somma e prodotto per scalare

- ∀ λ, μ ∈ R, ∀ u ∈ R 3 ,

μ)・u = λ・u μ・u

(λ + + somma di numeri reali e somma tra vettori

∀ λ ∈ R, ∀ u, v ∈ R 3

- ,

= λ・u λ・v

(u+v)・λ + somma tra vettori

PSEUDO-ASSOCIATIVITÀ per il prodotto di vettori per scalari

- ∀ λ, μ ∈ R, ∀ v ∈ R 3 ,

λ・(μ・v) = (λ・μ)・v prodotto vettore per scalare e prodotto tra numeri reali

Ultime 2 proprietà:

DIMOSTRAZIONI:

2. Rette e piani

- Retta // alla direzione di v che passa per l’origine (con t ∈ R)

OP = t・v

- Retta che passa da P con direzione individuata da v

0 OP = OP + t・v

0

- Piano che passa da P individuato dai vettori v e w (non paralleli, cioè il piano

0

è parallelo sia alla direzione di v che a quella di w) + s・w (t,s ∈

OP = OP + t・v

0

R)

3. Basi e coordinate

Ogni vettore v = (x, y, z) si può scrivere a partire dai versori i, j, k, usando le

operazioni di somma e prodotto per scalare + y・j + z・k

(x, y, z) = x・(1, 0, 0) + y・(0, 1, 0) + z・(0, 0, 1) = x・i

3

Una base di R è data da un insieme ordinato di 3 vettori (v , v , v ), che ha la

1 2 3

3

proprietà che ogni vettore di R si può scrivere in UNO e UN SOLO MODO

come combinazione lineare di v , v , v

1 2 3

Combinazione lineare: usando le operazioni di somma e prodotto per scalare

∈ R)

si ha che: v = λ v + λ v + λ v (λ , λ , λ

1 1 2 2 3 3 1 2 3

Questi 3 coefficienti sono le coordinate di v rispetto alla base B = (v , v , v )

1 2 3

(x, y, z) ∈

La base B = (i, j, k) è una base (standard); infatti, ogni vettore v =

R + y・j + z・k

3 si può scrivere come (x, y, z) = x・i

Come faccio a capire se una terna di vettori forma una base? Devo vedere se

ogni vettore si può scrivere come loro combinazione lineare, cioè se, per ogni

(x, y, z) esistono e sono unici i coefficienti λ , λ , λ t.c v = λ v + λ v + λ v

1 2 3 1 1 2 2 3 3

ES. v1 = (1, 2, 1); v2 = (0, -1, 2) v3 = (0, 0, 2)

∀ x, y, z, questo sistema lineare ha soluzione UNICA

Verifichiamo se,

nelle incognite λ , λ , λ

1 2 3

3 POSSIBILITÀ:

1) Per qualche x, y, z il sistema non ha soluzione → (v , v , v ) non è

1 2 3

base

2) Per qualche x, y, z il sistema ha più soluzioni → (v , v , v ) non è

1 2 3

base

3) Per ogni x, y, z il sistema ha un’unica soluzione → (v , v , v ) è base

1 2 3

Nel caso dell’esempio, viene un’unica soluzione (v , v , v ) formano una base

1 2 3

Quindi: (x, y, z) = x・(1, 2, 1) + [2x - y]・(0, -1, 2) + [- 5x/2 + y +

z/2]・(0, 0, 2)

(Guarda dalle slide esempio in cui (v , v , v ) non è base)

1 2 3

- Dati 3 vettori v , v , v osserviamo che il vettore nullo 0 si può sempre

1 2 3

scrivere come loro combinazione lineare con tutti i coefficienti = 0:

0 (vettore nullo) = 0・v + 0・v + 0・v

1 2 3

Se esiste un’altra combinazione lineare λ v + λ v + λ v = 0 con coefficienti

1 1 2 2 3 3

non tutti zero (combinazione lineare non banale) allora (v , v , v ) non formano

1 2 3

una base.

Insieme di vettori linearmente indipendente: un insieme di vettori si dice

linearmente indipendente se l’unica combinazione lineare che da il vettore

nullo λ v + λ v + ….. λ v = 0 è quella banale (λ = λ =..... = λ = 0)

1 1 2 2 n n 1 2 n

(Guarda esempi sul quaderno)

3

- In R un sistema costituito da un solo vettore v è linearmente indipendente

v ≠ 0, con λ = 0

se e solo se

{v} è linearmente se e solo se viene risolta l’equazione λ・v =

Dim.

0 e ha soluzioni non banali:

- se v = 0, allora λ・v = 0 ∀ λ (quindi l’equazione ha infinite soluzioni

→ {v} non è linearmente indipendente)

- se v ≠ 0, allora λ・v = 0 ha un’unica soluzione, λ = 0 → {v} è

linearmente indipendente

3

- In R un sistema costituito da due vettori v e v è linearmente indipendente

1 2

se e solo se v e v NON sono paralleli (hanno direzioni diverse, non sono

1 2

l’uno il multiplo dell’altro)

non sono linearmente dipendenti → ∃ una

Dim. per ass. v e v

1 2

combinazione lineare non banale λ ≠ 0

v + λ v = 0. Supponiamo che λ

1 1 2 2 1

→ λ = 0 → λ → posso dividere per λ → v

v + λ v v = -λ v = -λ v / λ

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

quindi: v è multiplo di v , ma ciò è assurdo per quello che ho supposto

2 1

all’inizio, ovvero che v e v non dovevano essere paralleli, e quindi uno il

1 2

multiplo dell’altro.

Se v e v sono linearmente indipendenti, allora non sono paralleli?

1 2 = μ・v

Supponiamo per assurdo che v e v siano paralleli, allora v oppure

1 2 2 1

= μ・v ∈ R)

v (con μ

1 2 = μ・v → 1・v - μ・v = 0 questa è una

Consideriamo v 1 2 1 2

combinazione non banale che mi da il vettore nullo → ASSURDO,

perché v e v sono linearmente indipendenti, quindi l’unica combinazione

1 2

lineare che da il vettore nullo λ v + λ v + ….. λ v = 0 è quella banale.

1 1 2 2 n n

3

- In R un sistema costituito da tre vettori v , v e v è linearmente

1 2 3

indipendente se e solo se i tre vettori non sono complanari.

3

- In R un sistema costituito da quattro o + vettori non può mai essere

3

linearmente indipendente (in R abbiamo 3 spazi dimensionali, i vettori non

possono stare nello stesso spazio dimensionale)

∈ R , se Ǝ w ∈ R

3 3

Proprietà: v , v e v che si può scrivere come

1 2 3

combinazione lineare di v , v e v in due modi diversi,

1 2 3 ≠ μ

w = λ v + λ v + λ v oppure w = μ v + μ v + μ v (con λ , λ , λ μ

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1, 2,

μ )

3

allora v , v e v non sono linearmente indipendenti.

1 2 3

≠ μ è ≠ 0,

Poiché λ , λ , λ μ μ , allora almeno uno tra λ - μ , λ - μ , λ - μ

1 2 3 1, 2, 3 1 1 2 2 3 3

quindi questa è una combinazione lineare non banale che da il

vettore nullo.

Sistemi di vettori generatori

Dati v , v …. v consideriamo l’insieme di tutte le combinazioni lineari:

1 2 k ∈ R

span {v , v …. v } = {λ v + λ v + ….. λ v } dove λ , λ …. λ

1 2 k 1 1 2 2 k k 1 2 k

Esempi di span:

- Un insieme di vettori {v , v …. v } si dice SISTEMA DI GENERATORI se

1 2 k

→ ciò significa che ogni vettore w ∈ R

3 3

span {v , v …. v } = R si ottiene

1 2 k

(in almeno un modo) come combinazione lineare di v , v …. v

1 2 k

(Guarda esempio lezione 3 pag. 8)

Proprietà delle basi

Un insieme di tre vettori è una base se e solo se è LINEARMENTE

INDIPENDENTE E GENERATORE

3

Teorema: ogni base in R contiene esattamente tre vettori, infatti per essere

linearmente indipendenti devono essere < o uguali a 3; per essere generatori

> o uguali a 3.

Lemma: Prendiamo {v , v …. v } come insieme di vettori linearmente

1 2 n

∈ 3

indipendenti. Prendo v R . Allora anche v , come gli altri vettori, sarà

0 0

linearmente indipendente ma non farà parte dello span {v , v …. v }

1 2 n

∈ span

Dim. se v {v , v …. v }, allora {v , v …. v } non è linearmente

0 1 2 n 1 2 n

∈ span Ǝ ∈ R

indipendente. Dire che v {v , v …. v } significa che λ , λ …. λ

0 1 2 n 1 2 k

t.c. → 1・v = 0 → questa

v = λ v + λ v + ….. λ v - λ v - λ v + ….. - λ v

0 1 1 2 2 n n 0 1 1 2 2 n n

è una combinazione lineare non banale che ds il vettore nullo, quindi

l’insieme di vettori non è linearmente indipendente.

Dim. se (per assurdo) {v , v …. v } non è linearmente indipendente, allora v

1 2 n 0

∈ span {v , v …. v }. Dire che {v , v …. v } non è linearmente indipendente,

1 2 n 1 2 n

Ǝ

significa dire che una loro combinazione lineare non banale che da il vettore

= 0, quindi almeno uno dei

nullo, cioè che λ v - λ v - λ v + ….. - λ v

0 0 1 1 2 2 n n

coefficienti λ è ≠ 0. Può succedere che λ = 0? NO!!! Perché se fosse

0 = 0, sempre con

così, l’equazione diventerebbe λ v - λ v + ….. - λ v

1 1 2 2 n n

almeno uno dei coefficienti λ che è ≠ 0. Ma noi sappiamo che {v , v

1 2

≠ 0. L’equazione λ

…. v } è linearmente indipendente, quindi λ v - λ v -

n 0 0 0 1 1

(≠ 0)

λ v + ….. - λ v = 0 la posso riscrivere dividendo tutto per λ

2 2 n n 0

∈ span

quindi v {v , v …. v }

0 1 2 n

- 3 vettori che sono linearmente indipendenti, sono anche generatori, quindi

formano una base.

- 3 vettori che sono generatori, sono anche linearmente indipendenti, quindi

formano una base.

- ogni insieme di vettori linearmente indipendenti si può completare ad una

base

- Da ogni insieme di vettori generatori, posso estrarre una base

4. Prodotto scalare tra vettori 3 3

Prodotto che prende due vettori e mi restituisce un numero: R x R = R

・v

- si può scrivere in 2 modi: v ; <v , v >

1 2 1 2

- è definito come

Definizione di norma di un vettore: ||v|| = √< v, v > = √< x 2 2 2

+y +z >

Proprietà del prodotto scalare

1) Il prodotto scalare è simmetrico: < v, w > = < w, v >

2) Il prodotto scalare è bilineare: ∀ w ∈ R , ∀ ∈ R → <λ

3

v , v e λ , λ v

1 2 1 2 1 1

+ λ v , w> = λ <v , w> + λ <v , w>

2 2 1 1 2 2

3) Il prodotto scalare è definito positivo (≥ 0): infatti, < (x, y, z) , (x, y,

≥ 0;

2 2 2

z) > = x +y +z < v, v > = 0 se x = 0, y = 0, z = 0, quindi se v = 0.

- Il prodotto scalare ci permette di calcolare la distanza tra due punti

5. Punto medio di un segmento

In un segmento che unisce i due punti P e Q (non coincidenti), il suo punto

medio è quel punto M t.c. d (M, P) = d (M, Q)

Pt = P + t (Q-P) con t € (0,1)

se t = 0: Pt = P; se t = 1: Pt = P + Q - P = Q

Il punto medio M sarà nell’insieme Pt dei punti per qualche 0 < t < 1, che si

può determinare tramite l’equazione d (M, P) = d (M, Q)

∈ R , λ ∈ R, che relazione c’è tra la norma ||λ・v||

3

oss. Dato v e la

norma ||v||? ・<v,

= √<λ・v, = (bilinearità) √λ・<v, = √λ 2

||λ・v|| λ・v> λ・v> v> =

・√<v,

= √λ 2 v> = |λ|・||v||

Seguendo l’osservazione precedente:

- Baricentro di un triangolo

dati 3 punti P, Q, R non allineati, il baricentro del triangolo formato da questi 3

t

punti sarà M = [(x + x + x )/3, (y + y + y )/3, (z + z + z )/3]

p q r p q r p q r

6. Perpendicolarità tra vettori

↔ P ↔ P