Appunti di Geometria

X

(()

(natrice considero

di e M ordine

sottomatrice

B con

numero una 2x2

di

3 ,

aggiunta = =

son /2)

Al a (M1 trovato

allora r(B)

+ sottomatrice

da ho

antid perche

2

A -1

=

esper una o

=

o

=

passare

per e

Se continuo altre sottomatrici

.

=o con

Ala) la

devo dividere per = lineari

trasformazioni

delle

devo fare

il

io volessi rango

se R2r() RRR

(

Fi]

A= =

quindi BENE

NOTA : ha

ad

matrice

se 3x4

esempio

una

(2)

2Rs- indipendenti

Rs significa

Re la

che righe

r

+( sono

3 3

> =

3

- = one

infatti

( perche

-ReRRRatR)

L re

LINEARI

SISTEMI 2

D =

= caredeva e se

rigr

G

(x xm)

xz

,, ...., TEOREMA

APPUCANDO IL )()

( =

①a =

camb possibile

e'

il

r()

r(A)

r()

r(a) 2 sistema

2

Mate =

c o m e =

= ?

e possibile determinato indeterminato

esempio o

↳

* determinato

il è

incognite)

il r(a)

m(cioè di allora sistema

lineare se

e numero

sistema n =

.

z)

( r(A) r() m

2 =

= =

3 ,

, (iia)

[i]

① ②

di

forma

lo matrice

in

scriviamo =

[ r(t) 1r() r(a) r()

matrice +

2

incompleta

t = =

c[ impossibile

Sistema

incompleta

matrice (22]c (22)

③ A =

=

rouche r(a)

capelli

di r(x)

Teorema 1 1

=

= =

r())

r(t)

dei lineari indeterminato

Necessaria =

sufficiente

risoluzione sistema

la sistemi Condizione 1

X e m

=

= 6.

il

(cioè libera

soluzioni)

è l'incognita

possibile ammette

sistema trovare

Teo solo

un se come

se

e

: E

*

l'uguale

rango Rango

incomleta al

matrice matrice completa

della

della 68

4

m =

r(c)

r(1) il impossibile

e'

sistema

se = . c

esempio

& r()

x (2 1) xil

(1) di

2 m

( y) SBI DETERMINA teorema

= = =

, , il e i

& sistema p .

.

sonogute c

m-(

libere i e

n . .

2

S( incontro a

t

z

+ =

-

*

y) impossibile

. sare soluzioni

soluzioni di

al t

la variare e

queste sono y

SE POSSIBILE E sele

( (2)

y) =

S RMINATO Notaperaagnin

t)

sely

In

=

4 0

=

, ..

.

&

=

esempio

) A

indeterminato

possibile

libera r()

(

incognita

1

mc 2 2m

= =

S 2

+ (2 ) r(1) (y z)

2 salgo

4

2y

+ 2

m =

=

- -

, .

S

* 0)

(y z y z

+ , , ,

PARAMETRO

LINEARE

SISTEMA CON

E

ax t 1

+

z

2y =

+ - 0aE

2t

+ z +

X =

3at

2y

+ +

2x a

=

delle IND

SISTEMA .

.

ep

4)

m Imp

O

-

= .

j

!

30 a

220

↓

ca

il di di

AeC

studio al variare

r a 402

v(x)

r(a)

a 2

2

sea m

0a 1

11 = =

= =

1 =

= - r(a) 481

3 r()

3 3a 1

a seat

0 3

=

- = 1 = m

= =

a 1

=

a

1 0

=

-

REGOLA DI CRAMER esempio

C 211

,

b Laplac

di

A) metodo

X dinXn |

I diz +

a =

t

+ 1 1

lineare 1

nxn -

, =

Sistema

, -

...

AzzXzt

X

Az AznXn Da

+

+ = 120

...

,

· i)

1(!) r(A)

cioe'

21 (A) 3

0

6

An

AnnXn =

X Anat = = m

-

+ =

+

n , ... il

quindi det

e

sistema .

Al

-1(3 11

Al : ? l

|

determinato 6

Supponiamo possibile =

che e =

sia +

↓ quindi

(A) + 0 Xn

a = 2(z) )

1) !

2(t")

5 (a") 1

=

z = = - =

. -

-

IA) e 2)

(1

dimostrazione L'unica soluzione . 0 -

,

B

AX (Alfo e

la invertibile

matrice

allora

= in teo bi

h

AX A

B moltiplico per

= AB

AAX A "A identità

matrice possibile ind.

r(a)

r(c)

4 =

m 2

= m

=

= = =

ATTENZIONI

=

-

X A B SBAGATO

ABBAM

IA)

= 0

=

e

aggiun

matrice

A e =E == 10k

= A

A ! )

1/y 2y)

1(x 3x 34

z 2x

= y =

+ -

= -

-

y)

1/ 2y)

(2x

(3)

(5) t

i 2y 4x 4)

= 2x +

+

esempio caso 1 +

in =

=

= -

Fai (X 4y)

SOLUZIONI SONO

LE 4x

3y

3x +

y - -

, , .

IA)

IAI ELIMINAZIONE GAUSS

METODO DI

DI

I 3

2z

+

x+ y = - lo

è qualsiasi sistema

molto per

usare

posso

laborioso

Cramer

usare

3y z

2x + = 10

-

z

2y 3

X = -

+

- renderlo e

e a -

↳

[

c

I INDETERMINATA

POSSIBILE

SISTEMA z)

varared

al i

incognite

SET seg 4

e di

il RC

teo è

il impossibile

X indeterminato

sistema o

c

I ) sistema impossi

i

E' impossibile

(PRIMO )

METODO GAUSS-JORDAN 0

DI CHE 0

0 1

+

ES +

0 =

+ -

.

I C

3

2z

+

x+ y = -

considerur

ALTERNATIVO

INVERSA

MATRICE CON METODO

AER BERRUn +

/Alto A

B

!

7

= =

BA

AB Im

Im

= = :

[8] B

=

Esempio identita

matrice

aliji] AB-E3 rigate

=

b)

= (0

Fz

B = e se e)

]

I

S I

RTRORE

S

1Rz es

R oRz

1 + + =

, Im

e

vede corretta BA

controllo che =

se

X

-Gi INDIPENDENTI

VETTORI

RETTONGALARE LINEARMENTE

MATRICE INVERSA

Alk BEmin r(a)

BA eserciz

I m

sinistra

invertibile

· a = m

= (10

Alk (0

0) (0 -1)

CElkmim 537 (1 -1)

-2)

r(a)

AC V

I m 0

40

27

invertibile 1

0

destra 0

-1 = =

>

a = n

=

· .

, . . ,

. . ,

. .

(mettendo d)

sottoforma di primi quelli

mettiandi matrice per meno

esempio con

at

[]) ai ra ha

i vettori

se sono

= ( j)

)

= vettori

i .

r(a)

(a) (

sono

r(a) non

4

inverte se se i

-

- 2 m

=

= .

Birman r(1)

il

calcolo

l

(2) )

= r()

B BA 3

Em =

= = (6-4)

RC

I il indipendenti

teo unearmente

i vettori

libere 4

incognite

X non sono

ci 2 2

sono = songgugen

ase

B

↳ mettessi V4

se anchequestaa stori

· ind.

[ii) 2

AER r(a) invertib

A le

2 n

= =

=

( [i]

AC [2

c = =

= i

↳ )

= *

AE l'A"sinistra

r(a) esiste

A non

1

= SON VETTORIALE

SPAZIO. SP

BASE

UNA DI UNO

TROVARE

COME DIMENSIONE

E .

.

R IR

trovare di

base

una dimR"

dimensione

trovare la

① n

=

dimIR" lospazione

3

quando

= e .

La base canonica

IR

di

base

sennó Non canonica

)

(devo vettori 1 i

trovare 3 .

. 2)

(1

V

, 1

= - .

, ris

(()()S5

n = di

base

Va A

Vi Va sono una

, .

((x 03

z)E(3(x

v 2z

y y =

= -

-

. . ?

(1 1) EV

1 .

. perché x-y-zz 0

no = 2

1 2

1 = -

- -

?

EV

1)

(2 0 ,

. 0

2z

y =

x -

- trucchetto

si bas

e

questa

perche : e

2 0

2

0 una

=

- - componente

di

n incognite [3 27 (

= +

2 "bere

dimV

?

quanto dimV

vale quindi

3 1 =

- q dip

di .

n VETTORIALE

CARTESIANE

EQUAZIONI UNO SPAZIO

DI GEOMETRIA SPAZIO

NELLO zn

)()}

:

25(

VCIR v Oxyz

= "

(Xp

determinarel'eq cartesi zp)

se P yp

come = i

,

, b

A

Berett

.?

quante 1

ea = -X

. y'p

(xp' zp

P t) [p'yp

to =

se xp =

= , ,

,

= · PUNTO PROPRIO EP

esempio ZP =

1(z y) +(1) (3 2)

0

+ 5

=

+ p

- = - ,

. 1)

(3

=

0Uncar 5

X-y-z p 2

= - , ,

i ,

vett (

perche'

(6 2)

-10 4

,

. ,

(5 2) ?

-V No

v 1

= , , 2)

(3

P

= 5

= -

, ,

yzp

(p to

SOMMA(DIRETTA) = t) (x'

P. Po 0)

y' corrisponde

z'

se non

=

.

, , . , punto proprio

nessun

PUNTO IMPROPRIO

vettori nello spazio paralle a me anime

sono quand proporzionali

n

= n)

(l m .

,

(l ) I

i sonoperpendicolari seguale

m n quand

.. .

, , 0

ll nn 0

mm + =

+ ,

, ,

PIANI SPAZIO

NELLO zn # 'y

x d

axtby + omogenee

cordinate

cz

+ non

= 0

dt cordinate

by +

cz omogenee

+

ax + = o met plcodt)

( farlo

vedere punto appartiene

esempio se promo

per un a un

(1

: 2)

P

y

2x 0

z

+ 5 0

= =

- :

- , PXπ

1(0) 1(2)

2(1) 50

5 -

=

+ -

- L'EQ PIANO

RICAVA BEL

COME SI (x ,

P

(x y

z0) =

PP ,

y yp

Xo z

= -

-

- ,

. O

popt (0

Po

in E0)

= %0

, ,

a(x b(y zo)

c(z

y)

x0) + - + 0

=

-

- byo (zo)

+

fax

by cz o

+

+

ax =

- -

componenti del

Le

rap . d a l piano .

vettore

GEOMETRIA RETTE SPAZIO

NEL PIANO NELLO z

a

y

. i

Oxyz - Po E0)

(x0 Yo

=

· , ,

(

= n)

= m 3

j

1

+ ,

T ,

I

2 LX

(a b)

v = .

(2

V 1)

= , paralleli

Vettori

(a , (a2 b2

a)

V Vz

= =

.