Appunti di Fondamenti di automatica sulle specifiche in frequenza

CF

diagramma di Bode degli argomenti interseca la retta a -180 gradi (si veda la

successiva sezione sui margini di stabilità).

Come per la banda passante, anche le pulsazioni di crossover di guadagno e fase

devono essere opportunamente elevate.

Come è stato già accennato, con riferimento alle specifiche sul transitorio relative alla

stabilità, non si tratta di stabilire se il sistema sia stabile o no, poiché un requisito

necessario e implicito del sistema in anello chiuso è proprio la sua asintotica stabilità,

quanto piuttosto la misura di quanto soddisfacente sia il suo comportamento dinamico

(stabilità relativa).

In altre parole, si tratta di valutare grandezze opportune che misurino quanto il

sistema è lontano dalla instabilità, ovvero quantifichino la distanza dei poli dominanti

in anello chiuso dall’asse immaginario. Considerando un tipico sistema in anello

chiuso del secondo ordine con poli complessi e coniugati (eventualmente dominanti),

di smorzamento δ

nel dominio del tempo tali grandezze sono espresse dal coefficiente

(valori tipici 0.28÷0.7) e dalla massima sovraelongazione percentuale della risposta al

gradino (valori tipici corrispondenti 5÷40%): 

 2



 1 .

M 100e

P

Infatti, se la massima sovraelongazione percentuale M assume un valore molto alto

P



(il coefficiente di smorzamento è molto piccolo), le oscillazioni nella risposta

indiciale sono eccessive in modulo e tendono a smorzarsi lentamente, dunque la

stabilità relativa del sistema può essere insoddisfacente.

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Nel dominio della frequenza le specifiche di stabilità relativa vengono espresse in

termini di pulsazione e picco di risonanza. In particolare, nel caso di sistema con

funzione di trasferimento G (s) del secondo ordine con poli complessi e coniugati, è

0 2

  

 0

G ( j )

noto che la funzione presenta un massimo, quando risulta , nel

0 dB 2

punto 2

    

1 2

R n

In particolare, il valore del picco di risonanza è  

1 2

    

  

, .

M | 20log 2 1

M R dB 10

R  

2

  

2 1

Così come sono desiderabili una elevata larghezza di banda e una massima

sovraelongazione percentuale contenuta, sono opportune una elevata pulsazione di

risonanza e un picco di risonanza contenuto.

Due ulteriori specifiche di stabilità molto importanti sono i margini di stabilità, ossia

il margine di guadagno (o margine di ampiezza) e il margine di fase, definiti nel

seguito. Il margine di guadagno si esprime in dB ed ha valori tipici di 6÷12dB,

mentre il margine di fase si esprime in gradi (o in radianti) con valori tipici di 30÷60

(π/6÷π/3 radianti).

gradi Anche questi indici delle prestazioni del sistema devono

essere il più possibile elevati per garantire la stabilità del sistema in anello chiuso in

presenza di dinamiche trascurate o perturbazioni di qualsiasi genere, come ad

esempio derive termiche o invecchiamento dei componenti.

MARGINI DI STABILITÀ

I margini di stabilità sono specifiche che vengono qui definite solo per sistemi con

funzione di trasferimento di anello G(s) aventi le seguente caratteristiche: 1) assenza

di poli in anello aperto nel semipiano destro (ossia con P=0, secondo la notazione

introdotta con il criterio di Nyquist); 2) sistema strettamente proprio (ovvero m<n);

3) diagramma polare di Nyquist che interseca al massimo una sola volta il cerchio di

raggio unitario (diagramma di Bode delle ampiezze che interseca al massimo una sola

volta la retta a 0 dB); 4) diagramma polare di Nyquist che interseca al massimo una

  

nell’origine per

sola volta il semiasse reale negativo oltre all’intersezione

(diagramma di Bode delle fasi che interseca al massimo una sola volta la retta a -);

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|G(jω)| che è una funzione

5) modulo della funzione di risposta armonica di anello

monotonicamente decrescente di ω.

Si noti che G(s) è in generale la funzione di anello, ottenuta anche in presenza di una

retroazione non unitaria. Per semplicità, la figura rappresenta il caso di retroazione

unitaria.

Nonostante queste proprietà specifichino una classe particolare di funzioni di

trasferimento, esse sono godute dalla maggior parte dei sistemi che si incontrano nei

campi di applicazione tradizionale dei controlli automatici.

y

r G(s)

+ - Im(G(jω))

G(jω )

-1+j0 A CG Re(G(jω))

O

M F ω

C cG

Un diagramma polare tipico di un sistema del genere è rappresentato in figura, dove è

messo in evidenza il punto C di intersezione del diagramma con la circonferenza di

raggio unitario. Evidentemente in tale punto si ha:

   

| G( j ) | 1 | G( j ) | 0 dB

, .

CG CG dB

Dunque la pulsazione ω è la pulsazione precedentemente definita detta di crossover

cG

del guadagno, nella quale il diagramma di Bode dei moduli interseca la retta a 0 dB.

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Tenuto conto dell’ipotesi di stabilità in anello aperto fatta su G(s), in base al criterio

di Nyquist ridotto (si ha P=0 per ipotesi) il sistema in retroazione è asintoticamente

stabile (ossia risulta Z=0) se e solo se, come avviene nel caso in figura, il diagramma

 

non abbraccia il punto critico ( ), ovvero, detta la fase del fasore

G( j )

N 0 CG

nell’intervallo [-π, π]

individuato dal punto C e misurata con le convenzioni

introdotte con i diagrammi di Bode, risulta:

 >-π.

G( j )

CG

Se si suppone che sul ramo diretto in serie al plant con funzione di trasferimento G(s)

sia presente un amplificatore dal guadagno generico K, ne consegue che il sistema in

questione è dunque condizionatamente stabile: si ha stabilità in anello chiuso solo per

valori piccoli del guadagno, mentre se quest’ultimo supera un certo limite K , per il

cr

quale il diagramma interseca il punto critico, allora il diagramma corrispondente per

guadagni superiori a K abbraccia il punto critico. In altre parole, per guadagni

cr

elevati l’intersezione del diagramma di Nyquist con la circonferenza unitaria si trova

al di sopra dell’asse reale e si ha instabilità in catena chiusa.

Nyquist Diagram

1 C

3 O

0 C

2

C

-1 1

-2

Axis -3

Imaginary -4

-5

-6

-7

-8 -2 0 2 4 6 8 10

Real Axis

Ad esempio, come si vede dalla figura precedente, il diagramma passante per il punto

C è più vicino alla situazione di instabilità rispetto a quello passante per C . Ancora,

2 1

il diagramma passante per C corrisponde ad una situazione di instabilità in anello

3

quanto più piccolo è l’angolo formato dal segmento OC

chiuso. Riassumendo, con il

i

semiasse negativo delle ascisse, tanto più il corrispondente sistema in catena chiusa è

vicino ad una situazione di instabilità. Per formalizzare questo fatto si definisce il

margine di fase:

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   

M G( j )

F CG

ovvero tale che risulti     .

G( j ) M

CG F

è l’angolo che deve sottrarsi alla fase

Pertanto il margine di fase della funzione di

–π

risposta armonica, misurata a partire da nel valore della pulsazione di crossover di

per ottenere l’angolo –π.

guadagno,

Evidentemente il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se

risulta: M >0.

F

Inoltre, se il margine di fase è negativo allora il sistema è instabile, mentre se esso è

    

nullo allora risulta non solo ma anche e quindi il

| G( j ) | 1 G( j )

CG CG

nella pulsazione ω

diagramma passa per il punto critico , ovvero vi sono dei poli

CG jω

immaginari puri nella funzione di trasferimento in anello chiuso di valore .

CG

Ancora, quanto più il margine di fase (positivo) è ampio, tanto maggiore è la stabilità

relativa del corrispondente sistema in catena chiusa.

A titolo di esempio, la figura successiva riporta il diagramma di Nyquist di un

sistema con margine di fase negativo (ovvero con il punto C disposto nel secondo

quadrante) e quindi instabile in anello chiuso.

Im(G(jω))

M ω

F C cG G(jω )

-1+j0 A CG Re(G(jω))

O

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Consideriamo ora la figura seguente, che riporta, opportunamente ingranditi, ancora i

tre diagrammi di Nyquist precedentemente confrontati e ne evidenzia le intersezioni

B con il semiasse reale negativo. Come per il caso precedente, si vede facilmente che

i

condizione necessaria e sufficiente perché il sistema in anello chiuso sia

l’intersezione B

asintoticamente stabile è che si trovi a destra del punto critico -1+j0.

i

Ancora, quanto più a destra è tale intersezione tanto più robusta è la stabili