Appunti di Automatica

Trasformata di Laplace e equazioni differenziali

Equazione del II ordine:

Valore massimo della risposta

Differenza tra valore massimo e valore di regime

Risposte impulsive nel piano di Gauss poli dominanti

I nel piano di Gauss

sono i poli più vicini all’asse immaginario

perché hanno una dinamica più lenta.

Vincoli multipli nel piano di Gauss Vincolo

Tempo

Smorzamento

Pulsazione misto

di salita

vincolato

vincolata

Trasformata con poli complessi: equivalenza formale

Modello della funzione di trasferimento

Rappresentazione generale:

Poli: radici del denominatore che derivano dalla fattorizzazione del polinomio

Zeri: valori che sostituiti alla funzione di trasferimento mandano a 0 l’uscita del sistema dinamico. L’ingresso viene

assorbito dallo zero del sistema dinamico.

Piano di Gauss:

I poli a parte reale negativa sono poli instabili

Esiste un polo nell’ origine quindi il sistema è di tipo I

Gli zeri a parte reale positiva non influiscono sulla stabilità del sistema ma portano

a un processo dinamico rumoroso. Inizialmente la riposta è inversa e poi tende

al valore finale.

Modello dello spazio di stato

Stabilità asintotica: quando il tempo diverse, il sistema resta confinato a un valore che generalmente è nullo.

Stabilità non asintotica: il sistema si ferma in un punto o diverso da zero, ma finito.

Stabilità semplice: sistemi i cui poli sono nell’asse immaginario ma con molteplicità singola.

Instabilità: poli a parte reale positiva

Quarter car

Se si prende un veicolo, si considera il gruppo sospensione ruota: sistema che descrive la di amica di un potenziale

monociclo.

Massa sospesa: massa sospesa della macchina, grazie a una sospensione (molla e smorzatore)

La sospensione è collegata a una ruota —> massa non sospesa perché poggiata a terra

Considero una seconda molla che collega la massa non sospesa con l’asfalto (irregolare)

Le grandezze considerate sono:

• la posizione dell’asfalto • Posizione massa sospesa

• La posizione della massa non sospesa • Lunghezza molla a riposo

Voglio scrivere l’equazione della dinamica per scrivere la funzione di trasferimento.

Considero un sistema semplificato togliendo la molla che collega la ruota con l’asfalto.

Non considero più la pozione della ruota, ma solo della massa sospesa e dell’asfalto.

Scrivo il modello individuando gli ingressi e le uscite

Se aumenta il coefficiente di smorzamento,questo diventerà maggiore o uguale a 1, i poli complessi si spostano fino a

arrivare sull’asse reale, inizialmente uguale e poi distinti.

Forma di spazio di stato

Criterio di stabilità di Routh

Applicabile ai sistemi con polinomio caratteristico:

Condizione necessaria ma non sufficiente per la stabilità: tutti gli coefficienti del polinomio devono avere lo stesso

segno

Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità asintotica: gli elementi della prima colonna della tabella di Routh

devono avere lo stesso segno

TEOREMA: tutti gli elementi della prima colonna devono essere positivi o nulli, se i coefficienti sono tutti positivi allora il

sistema è stabile. Se i coefficienti cambiano segna, il numero di radici instabili è pari al numero di cambi si segno e il

sistema è instabile.

Casi singolari:

• ogni riga che inizia con un numero h di zeri viene sommata con la riga da essa ottenuta traslando di h posizioni verso

sinistra la riga di origine e moltiplicando tutti i termini per

• se tutta una riga è nulla, è possibile trovare le frequenze critiche ai limiti della stabilità del sistema dinamico lineare

dall’equazione ausiliaria sostituendo

Risposta in frequenza (armonica)

Proprietà dei sistemi asintoticamente stabili e lineari

Applicato in ingresso un segnale sinusoidale , esaurito il transitorio l’uscita varia con la legge sinusoidale:

• la pulsazione di uscita è la stessa della pulsazione in ingresso ω

• l’ampiezza è la fase dell’uscita dipendono dalla pulsazione d’ingresso ω

Se il sistema è lineare e stazionario, a regime, l’uscita y(t) del sistema è ancora un segnale sinusoidale avente la stessa

frequenza ω del segnale in ingresso u(t). Il rapporto in termini di ampiezze fra i segnali (amplificazione dinamica) e lo

sfasamento variano al variare della frequenza ω del segnale di ingresso.

La risposta in frequenza di un sistema (di misura) consiste nell’indicazione di come l’amplificazione e lo sfasamento

variano al variare di ω.

• sistema attenuato: l’uscita ha un’ampiezza inferiore all’ampiezza di ingresso

• sistema amplificato: l’uscita ha un’ampiezza maggiore all’ampiezza di ingresso

Diagramma di Bode

Diagramma di modulo (ampiezza)

Diagramma di fase I diagrammi possono essere ottenuti sommando

i contributi i termini corrispondenti alle fanzine

elementari

Funzioni elementari

GUADAGNO COSTANTE

POLO NELL’ORIGINE

POLO REALE τ > 0 L’errore commesso con una rappresentazione asintotica del

diagramma di modulo è massimo nel punto di rottura e si riduce

simmetricamente rispetto a esso

Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:

il diagramma ha un massimo

• per

• per il diagramma interseca l’asse a destra del punto

• per il diagramma interseca l’asse a sinistra del punto

• per il diagramma non interseca l’asse delle ascisse ed è tutto al

di sotto della sua approssimazione asintotica.

Se ξ < 0.3 occorre evidenziare bene il picco di risonanza.

Al contrario il caso di ξ =1 rappresenta il caso limite di due poli reali.

Calcolo del picco di risonanza

Calcolo della fase

RITARDO PURO

Diagramma di Nyquist

Rappresentazione in forma polare della risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento di un sistema lineare.

È graduato in funzione della pulsazione ω.

Se una funzione di trasferimento G(s) è data in forma fattorizzata, la corrispondente funzione di

risposta armonica è:

Scompongo il numero complesso G(jω) nella parte reale e nella parte immaginaria, valutando le

coppie di valori {Re(G(jω)),Im(G(jω))} al variare della pulsazione ω. Il luogo delle radici permette l’analisi grafico

Luogo delle radici visuale della variazione dei poli in catena

chiusa al variare di uno o più parametri

(eventualmente introdotti da un controllore)

Gli zeri di una funzione di trasferimento che rappresenta il sistema

dinamico lineare e stazionario sono invarianti del sistema rispetto alla chiusura dell’anello.

Il numero di radici a ciclo chiuso è uguale al numero di poli della funzione a ciclo aperto

• il numero di rami del luogo è pari al numero di poli, al variare di K

• Il luogo parte, per K=0, dai poli a ciclo aperto

• Il luogo evolve sino a terminare, per K= , degli zeri a ciclo aperto al finito o all’infinito

Tutto l’asse reale appartiene al luogo delle radici. Se K>0 il luogo lascia alla

propria destra un numero dispari di punti critici sull’asse.

Per la condizione di fase

• se K > 0, appartengono al luogo tutti i punto dell’asse reale che lasciano alla propria destra un numero dispari di

singolarità

• se K < 0, appartengono al luogo tutti i punti dell’asse reale che lasciano alla propria destra un numero pari di singolarità

Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale Le frecce escono dai poli ed

entrano negli zeri, indicando

cioè la variazione del

guadagno dal valore zero,

sino ad arrivare al valore

Regola generale: il luogo delle radici ha rami che non si sovrappongono mai, al massimo si incrociano in punti singolari,

detti punti multipli

I rami uscenti (o entranti) in poli (o zeri) di molteplicità > 1 divideranno il piano complesso in parti ancora equiangole e

simmetriche rispetto all’asse reale.

Il centro degli asintoti si trova nel baricentro individuato da poli e zeri:

Caso di 2 poli e 1 zero al finito

Il luogo delle radici è una circonferenza centrata nello zero

Trasformata Z

La Z trasformata viene usata per trattare in modo formale i sistemi a dati campionati (segnale tempo discreto)

La Z trasformata è definita in una regione del piano complesso z detta dominio di

convergenza: insieme dei punti z per i quali la serie converge.

f(t) converse per un valore complesso —> la serie converge in tutta la

regione del piano complesso definita dalla condizione

Raggio di convergenza: estremo inferiore ρ* dell’insieme dei valori ρ per cui la

Z trasformata esiste (cioè la serie converge)

Funzioni elementari

IMPULSO UNITARIO

GRADINO UNITARIO

POTENZA

ESPONENZIALE

SENO

Proprietà della Z trasformata

Linearità: la Z trasformata è un operatore lineare

Cambiamento di scala: moltiplicazione per

Traslazione nel tempo:

Differenziazione complessa:

Teorema del valore iniziale

Teorema del valore finale

Trasformata di funzione periodica

Sono infinite le ricostruzioni della funzione continua di origine a partire dalla successione

dei campioni. I campioni corrispondo esattamente al modulo del segnale continuo negli

istanti campionati. La Z trasformata permette una ricostruzione univoca della successione

estratta dal segnale origine negli istanti di campionamento —> teorema di Shannon

Dato un segnale f(t) il cui spettro ha banda limitata B,si può ricostruire completamente il segnale a partire da un suo

campionamento solo se la frequenza di campionamento è

Metodi per antitrasformare una funzione X(z):

• scomposizione in fratti semplici

Poli con molteplicità maggiore di 1

Corrispondenza tra piano complesso s e piano complesso z

I punti del piano s a parte reale negativa σ < 0 sono in corrispondenza con i punti del piano z all’interno del cerchio unitario

I punti sull’asse immaginario σ = 0 vengono mappati sul cerchio unitario

I punti a parte reale positiva σ > 0 vengono mappati all’esterno del cerchio unitario

Punti del piano s la cui pulsazione differisce di un multiplo intero della pulsazione di campionamento vengono

trasformati nello stesso punto del piano z. Quindi la relazione non è

biunivoca e ogni punto del piano z corrisponde a infiniti punti del piano s.

C’è analogia nella stabilità tra il semipiano a parte reale negativa nel caso

tempo continuo e l’interno del cerchio unitario nel caso tempo discreto.

È possibile suddividere il piano s in strisce orizzontali di ampiezza tali

che ogni striscia sia in corrispondenza biunivoca c