Appunti di Fondamenti di automatica

Osservazioni

Immaginiamo di avere a che fare con un sistema di ordine = 10.

Quanti numeri ci servono per descriverlo?

Nel dominio del tempo serve:

• ⇒ 100

10 × 10

Matrice di stato numeri

• ⇒

10 × 1

Matrice di ingresso 10 numeri = 120 numeri

• ⇒

1 × 10

Matrice di uscita 10 numeri

Nel dominio delle trasformate il grado massimo del denominatore è 10, se non possono essere fatte

semplificazioni. Nel peggiore dei casi abbiamo un denominatore di grado 10 e un numeratore di grado 9, perché è

sempre per forza di grado più basso rispetto al denominatore.

9 8

+ + ⋯ +

1 2 10

10 9

+ + ⋯ +

1 2 11

Quindi, nella rappresentazione esterna, abbiamo 10 numeri di tipo e 11 numeri di tipo In questo caso abbiamo

.

a che fare con solo 20 numeri. C’è una parsimonia di rappresentazione nel dominio .

In generale, riguardo al dominio delle trasformate abbiamo notato alcuni vantaggi:

68

Matilde Simonini Ingegneria Informatica anno 2021/2022

1. Conti più semplici

L’interconnessione si tratta in modo più semplice

2.

3. Parsimonia di rappresentazione (= meno numeri per rappresentare)

4. Permette di introdurre il concetto della risposta in frequenza, che vedremo nel capitolo successivo, che

offre una nuova rappresentazione sul sistema dinamico.

Relazione: rappresentazione nel tempo e trasformate

al fine di rappresentare un sistema lineare

L’insieme a sinistra contiene tutti i sistemi lineari dell’universo rappresentati nel tempo, in cui ogni punto è dato da

tre matrici di dimensioni dove è lasciato libero e può essere qualunque numero, così

(, , ), × , × 1, 1 × ,

come i coefficienti delle matrici.

L’insieme a destra contiene tutti i rapporti di polinomi dove il grado di è strettamente superiore al

()/()

grado di dove il grado di è lasciato libero, così come i coefficienti dei polinomi.

,

Ciò che noi sappiamo è che se prendiamo un oggetto nel mondo di sinistra, ossia un sistema, e ne calcoliamo la

⇒

funzione di trasferimento finiamo nel mondo di destra. Quindi la funzione di trasferimento è una mappa che lega

i due mondi.

1. È possibile che due oggetti del dominio di sinistra siano mappati nello stesso rapporto N/D, ossia che

abbiano la stessa funzione di trasferimento? In altre parole, è possibile che la mappa, ossia la funzione

di trasferimento sia tanti a 1?

2. In relazione alla domanda 1, possibile che due sistemi diversi abbiano la stessa f.d.t. pur non essendo

legati da un cambiamento ti base?

Dato un punto nell’insieme a destra, è sempre possibile trovare un punto dell’insieme di sinistra che gli

3. corrisponde?

In modo più formale: la mappa da sinistra a destra riempie tutto lo spazio di arrivo? Ossia la mappa è

suriettiva? ()/() >

In altri termini ancora, è vero che qualunque rapporto con è una funzione di

trasferimento? 1

La prima affermazione è VERA.

È possibile accomunare in sottoinsiemi tutti i punti dell’insieme che mappano la stessa funzione di

{(, , )}

trasferimento.

Procedendo in questo modo stiamo partizionando il mondo di sinistra in classi di equivalenza, dove in ogni

classe ci sono tutti i sistemi che hanno la medesima funzione di trasferimento. Ne consegue che il mondo di destra

è molto più parsimonioso del mondo di sinistra. Le funzioni di trasferimento forniscono una rappresentazione

completa del mondo esterno.

Se fossimo interessati al solo mondo esterno, tutto quello che troviamo in una classe di equivalenza è qualcosa in

più. La differenza che c’è tra i sistemi di una stessa classe di equivalenza è una differenza inefficacie e che non

serve per la rappresentazione del mondo esterno.

Abbiamo infatti già visto un esempio di questo quando siamo passati dalla rappresentazione con 120 numeri alla

rappresentazione con solo 21 numeri.

È chiaro poi che se ad una funzione di trasferimento corrispondono diversi punti vuol dire che a partire

(, , )

dalla f.d.t. non siamo in grado di risalire al punto corrispondente. In questo caso passando dal dominio in al

dominio in otteniamo un insieme di sistemi corrispondenti.

69

Matilde Simonini Ingegneria Informatica anno 2021/2022

La trasformata di Laplace, che è una mappa particolare, è invertibile, ossia ad un sistema corrisponde una e una

sola trasformazione, e viceversa ma si tratta solo di un caso particolare. In questo caso stiamo parlando di un

sistema che ha una rappresentazione nel dominio del tempo e nel dominio delle trasformate e la relativa mappa,

non è biunivoca.

Esempio – sistemi diversi con la stessa f.d.t.

Dato il seguente sistema, è possibile trovarne un altro che ci porti alla stessa

funzione di trasferimento? −1 3 1 [7 4]

=[ ] = [ ] =

7 −5 2

La soluzione coincide nell’operare con un cambiamento di base. Infatti, anche

operando con un cambiamento di base, quello che andiamo a cambiare sono le

variabili di stato ma la e la non cambiano. La funzione di trasferimento, infatti e comunque data da ↓

() (())

() = =

() (())

Ed è la stessa per entrambi i sistemi.

Questa è la dimostrazione del fatto operando con cambiamenti di base si ottiene la stessa f.d.t.

Un’altra dimostrazione dello stesso fatto è la seguente: 2

La risposta è Sì.

In una classe di equivalenza ci sono anche altri sistemi, oltre a quelli legati da un cambiamento di base.

In una classe di equivalenza ci possono essere sistemi diversi tra loro, anche per dimensioni e non legati da un

cambiamento di base. Ci possono anche essere sistemi che hanno delle parti nascoste, ossia non osservabili e/o

non raggiungibili.

Abbiamo visto che se abbiamo a che fare con un sistema non completamente

osservabile è possibile porlo in una nuova forma, attraverso la scomposizione di

Kalman, in modo che esso assuma la forma canonica i Kalman per l’osservabilità, che

ci permette di vedere più chiaramente cosa è osservabile e quale parte non lo è. Il

⇒

procedimento che ci porta alla forma di Kalman è un cambiamento di base ci

troviamo ancora sicuramente dentro la stessa classe di equivalenza di partenza.

⇒

La parte non osservabile non influenza la parte osservabile la funzione di trasferimento rimane sempre la

()

stessa, anche se dovessimo eliminare la parte non osservabile del sistema.

()

() = ()

La parte non osservabile infatti, non entra nella funzione di trasferimento.

In questo senso comprendiamo che la funzione di trasferimento toglie di mezzo le parti nascoste del sistema in

quanto non hanno influenza sull’uscita. Lo stesso ragionamento vale per le parti non raggiungibili del sistema.

−1

Tale fatto lo ritroviamo anche sfruttando la formula per il calcolo di ossia

(), () = ( − )

70

Matilde Simonini Ingegneria Informatica anno 2021/2022

è una matrice triangolare a blocchi e per invertirla dobbiamo invertire tutti i blocchi che ci sono sulla

( − )

diagonale e per il blocco in basso a sinistra sfruttiamo il fatto che la matrice di partenza moltiplicata per la sua

inversa risulta la matrice identità. Chiamiamo * l’elemento in basso a sinistra, che vogliamo calcolare.

La prima riga della matrice inversa per la prima colonna della matrice di partenza risulta mentre la prima riga per

la seconda colonna della matrice di partenza risulta 0.

Passando alla seconda riga, e quindi al primo elemento in basso a sinistra della matrice prodotto, otteniamo 0,

mentre sappiamo che l’ultimo elemento deve essere ed è quello che ci permette di calcolare il valore di *:

−1

̃ ̃ ̃

∗⋅ ( − ) + ( − ) (− ) = 0

11 22 21

−1 −1

̃ ̃ ̃

E in questo modo ricaviamo il valore che ci interessa: .

∗= ( − ) ( )( − )

22 21 11

Il risultato è dato da:

Dove l’* non conta e possiamo lasciarlo tale in quanto non entra nel risultato (si può notare calcolando il prodotto).

− ̃

̃

Il risultato scritto in termini più compatti è dato da , ossia la funzione di trasferimento della parte

̃(

− )

osservabile. In questo modo è stato dimostrato che la funzione di trasferimento del sistema complessivo coincide

con la funzione di trasferimento della sola parte osservabile del sistema.

Il fatto che la f.d.t. elimini le parti nascoste del sistema e questo è del tutto ragionevole in quanto si tratta di un

descrittore esterno completo e dall’esterno tali parti non contano. Si tratta di uno strumento che elimina il superfluo

alla descrizione esterna.

Nel dominio del tempo c’è un certo livello di soggettivismo. Colui che ha a che fare con un sistema reale deve

scegliere come descriverlo a livello matematico e le scelte prese per la descrizione sono contenute nelle matrici

La funzione di trasferimento è più snella in quanto priva di tale soggettività.

, , . 3

La risposta alla terza domanda è VERA, la mappa di sinistra riempie tutto il sistema di destra – è suriettiva.

Quindi, una qualunque razionale fratta rappresenta una funzione di trasferimento per un qualche sistema.

Lo spazio di arrivo è completamente coperto, ogni razionale fratta di destra ha certamente un corrispettivo nello

spazio di sinistra.

Per un momento immaginiamo che la risposta a tale domanda fosse falsa. Questo vuol dire che c’è una sotto-parte

del sistema di destra nella quale non si arriva mai. Questo costituirebbe un disastro. L’ingegnere si lavora molto

spesso nel mondo di destra e questo implicherebbe il fatto di dover stare molto attenti a caratterizzare la zona delle

razionali fratte che sono anche f.d.t. per scegliere rappresentazioni solo al suo interno. Ma fortunatamente questo

non è necessario.

Vogliamo dimostrare che l’applicazione è suriettiva.

Prendiamo quindi un punto qualsiasi dello spazio di arrivo e sappiamo che si tratta di una razionale fratta propria,

ossia con > . −1 −2

+ + ⋯ +

1 2

−1

1 + + ⋯ +

1

71

Matilde Simonini Inge