Appunti di Fondamenti di automatica 2 (magistrale)

O

B

Mr AB =

= d/m2

1/M -

- 1/m2

(Mr)

det +0

0

= =

. -

2

Osservabilità: caso C = [1 0] misuro la posizione X1

y =

ch - i

Mo =

(Ma

det 0

-0

1 1 = 0

= . .

caso C = [0 1] misuro la velocità y X2

=

C f

O

Mo = CA d/m

O -

det (Mo) o

=

Tutto questo si puo fare con Matlab. La matrice A si pup scrivere con le variabili simboliche ma di fatto

con un comando del tipo:

d variabili

MATLAB Syms dire che

real reali

m per sono

: -variabili

Se poi scrivo o -d/m]

[01 variabili

MATLAB simboliche

definisce matrici di

A B

A come

e

;

= :

1/m]

[0

B ;

= ;

[BAB]

M =

det (M) fa valori

parametrico rispetto

il

mi i

conto

(M)

rank

SCOMPOSIZIONE DI KALMAN

Esiste un opportuno, non univoco, cambio di base

X(t) TX(t)

=

Che mi permette di riscrivere il sistema come:

Ya 1

a ac

ab Ba

ad a

o

X b

Y 1 o

1 Ab B

A Bb C

Ab Abc

= =

= O = s

a

1 Acd

XC Ac O

O O

* 1

Ad

O

d &

O

O

Posso trovare una trasformazione non univoca (ma almeno una la trovo) e posso riscrivere il mio sistema in

4 macro parti a,b,c,d. L'ingresso agisce solo su a e b (prime due equazioni della matrice B) mentre l'uscita

misura solo la seconda e la quarta.

Queste sono le quattro combinazioni di : posso influenzare e osservare, posso influenzare ma non

osservare, posso osservare ma non influenzare, non posso influenzare e non posso osservare.

Posso trovare sempre una trasformazione che mi ristrutturare il sistema in macro parti.

Schema a blocchi: qualcosa

entra esce

ma

Ne fa dell'uscita

Parte

che non 1

Xa

Raggiungibile, non osservabile

⑧ Quelli osservabili

hanno un impatto

sull'uscita, quelli

Trasformazione

Yb

Il Raggiungibile e osservabile Y raggiungibili sono

di uscita funzioni

*

Non raggiungibile, non osservabile dell'ingresso.

⑧ c

Es agisce

L'ingresso non

di

su esse *

G d

Non raggiungibile, osservabile ·

Nella funzione di trasferimento l'equazione è funzione solamente della parte che trovo dentro il blocco

"raggiungibile e osservabile". Se G(s) è funzione solo di questo sottoblocco, attraverso la funzione di

trasferimento posso controllare solo questa parte quindi se le altre parti non sono asintoticamente stabili

per i fatti loro io non riesco ad accorgermene nella misura.

Se calcolassi la funzione di trasferimento:

- B

C(SI

G(s) A) D

+

= -

STRUTTURA GENERALE

>

Guardando la scomposizione canonica, essendo anche triangolare superiore e moltiplicando a sinistra per C e

destra per D: Bb

[b(SI Ab)

G(s) = -

Un sistema che sia completamente raggiungibile e osservabile si dice essere in forma minima. A quel punto

non si puo piu ridurre le variabili di stato per rappresentare quella particolare relazione ingresso-uscita.

Lezione 7/04

Teorema: STABILITÀ E MODI DEL SISTEMA

Un sistema LTI è stabile se e solo se tutti i movimenti liberi dello stato sono limitati;

È asintoticamente stabile se e solo se tutti i movimenti liberi tendono a zero per t >

L movimenti ai

associati poli ha

A

matrice

la

che

stabilità

proprietà A

le solo

dipendono da

di

=>

Guardo cosa succede al sistema, in particolare una traiettoria:

18xollSe è

lloc(t) (t)/kE stabile

X(t) traiettoria

allora la

* per

+

se =>

>0

- (t)Il

*

11

11 (t))) Cosa succede se parto da una condizione

vale

ovviamente = (t)

x

(t) X = -

- *

+Sx iniziale e evolvo con una traiettoria nominale

**

A

+X(0)

X(t)

permette X(0)

mi X(t)

questo discrivere e

e

e ma ora parto in un intorno della condizione

=

- = - iniziale? La mia nuova traiettoria x(t) quanto

iniziale

condizione

la

cui

Per : si discosta dalla traiettoria nominale x(t)?

-

*

Sxoll 118xoll Se

Ile E per At

At

La stabilità della traiettoria dipende dalla e , ma questo di fatto ci riporta a dire quando e è limitata

ovvero quando i suoi modi di risposta sono tutti limitati (e non deve aver radici/poli positive o poli con

At

parte reale =0 e molteplicità >2) At

Andando a maggiorare certe parti di A e ragionando come è fatta e :

E

1/5xoll max(le

può

si che

dimostrare n n At

dimensione di e

CANCELLAZIONI POLO / ZERI

Fare la differenza tra fare la sintesi tra un controllore nello spazio degli stati e un controllore sulla funzione di

trasferimento. Se prendo un descrizione dello spazio degli stati e vado a sviluppare un controllore che

garantisca la stabilità alla Lyapunov ho garantito che tutti gli elementi della matrice e hanno autovalori a

At

parte reale negativa (stabilità interna). Non mi limito a garantire la stabilità dal punto di vista di ingresso e

uscita ma garantisco la stabilità di tutto quello che è il mil sistema descritto dalle equazioni di stato. Se invece

vado a fare una sintesi usando la funzione di trasferimento (quindi la sola relazione ingresso-uscita) e vado a

rendere stabile, ho quella che si chiama stabilità esterna.

Esempio: massa su una guida

h/m O 1/m

-

A B (d

c D 0

=

=

= =

1 O O h/m

S 1/m 1/M

+ O

funzione (10)

G(S)

trasferimento

La di =

: h/m

S

O

1 S +

-

è

funzione -h/m

Trasferimento polo

di presente

nella solo

un s =

è

il cancellato

polo stato

mentre s=o

Es che

l'integratore integra

è

esempio

questo

in posizione

la velocità dare la

per

Questo esempio ha una parte controllabile e osservabile e una parte controllabile e non osservabile, perche

l'uscita di quel sottosistema non va ad influenzare la y.

Se nella struttura del sistema ho delle cancellazioni allora la conoscenza della funzione di trasferimento non

permette di dare la risposta definitiva sulla stabilità del sistema.

=

Se adesso scegliessi (

1 1) G(s)

c >

= = /m)

Isomma posizione)

velocita e

LINEARIZZAZIONE DI SISTEMI NON LINEARI

Prendo un sistema con condizione iniziale

f(x xo)

x(t) u)

= Traiettoria nominale x*(t)

, =

e u(t) = u*(t)

Come rappresento lo scostamento dalle condizioni iniziali a questa traiettoria usando una approssimazione di f?

** (t)

I

Faccio lo sviluppo in serie di Taylor attorno alla traiettoria nominale:

+E

+

A

X(t) = superiori

ordini

Dinamica delle perturbazioni: of Sistema lineare ma

Gx

*

y y

Sx SX Sei SX A(t)SX B(t)Su

+ => +

= =

=

= - tempo variante (LTV)

yMx *

* =

x

= *

u u

=

*

u u

=

⑮

sistema che si muove in velocità su una linea retta

esempio :

mi F

D(u)

+ =

↳ rappresenta

mi

motrice che

funzione

il velocità

dreg della

in

mi F

av +q /Viv

+ =

I quadratica

parte parte

lineare E v

X =

Faccio la scelta e lo riscrivo mx daXIX

diX RISCRITTA

+ U con

+

- =

F STATO

VARIABILI DI

u = = da(X(x)

i (u dX -

-

= dX-dax2

X f(X

(M u)

considero

se X30 =

- ,

considero un certo x* > 0 e voglio linearizzare attorno a quel punto di equilibrio.

Qual è il comando u* tale che (x*,u*) è punto di equilibrio?

x deve essere = 0

·* =

y daxx

*

2)

*

* dix

*

(u *

d(x *

dax

+ u +

=

0

o =

= =

-

-

af a

-ok ad

=

&X

= x (

+ -2daxx

0

+

Si X ** y

x8x Su +

=

: =

- x ~

= -

x *

u u B

=

*

u u

= A dal

dipendono tempo

non caso

questo

In

dimensioni)

esempio (velocità in due

: dxqV

mix

E Ex

dxUx

+ + =

dygUE Fy

dy

mVy Vy

+ + = Fx

Scelgo VX M1

X1 =

= Fy

Vy

X2 12 =

=

E

Y1 dxqXi)

1/m(u1 dxx1

= - -

=> dyqX)

& 1/m(u2 dyxz

X2 = - - * equilibrio la

di

VX essere

per punto

*

attorno allo

Voglio linearizzare stato X = *

*, x

deve rendere

coppia X o

=

O

axqX

dxX +

* comando

u = O GX1

2x1 Edx20 2x1

of O

=

j

&

-X1 X2 -X2

le derivate

Calcolo =

EX O

&

-X 8X2 d a

20

2 a 0

& =

-X1 j

X2

-2 &

quindi A

= -by

* s

X X

= O

*

u

u =

Of 1/M O B

=

=

Gl *

X X

= 1/m

O

*

u

u =

ESEMPIO: Riprendo esempio del veicolo non olonomo

So

vseno

V

X coso

avevamo = w

qual è il punto di equilibrio? Tranne per u=0 ovvero quando sta fermo, questo sistema non ha un punto di

equilibrio considerando anche la x. Noi volevamo andare lungo una traiettoria retta y=0 ma per definizione

se il mio veicolo si muove sulla retta y=0 la x cresce all'infinito.

Faccio una linearizzazione attorno ad una traiettoria nominale.

TRATTORIA

LINCARI220 nomINQUE

ATTORNO UNA 2 x(t)

di

è f(X(t) u(t)

particolare Soluzione

una = , l'equazione è traiettoria

risolve

(t) allora nominale

M(t)

se

ovvero coppia che

prendo una

una X

e

=

distato w

il vettore

la

lettore controllo

posizione

scrivo di M

come ,

y

X =

:

E VE O

* * è condizioni

traiettoria

la

considero (t) iniziali

V =

(t) Xo

con

e O

x

o = =

O 2

I la combinazione è

, -

parucolare

Una sistema

del

Soluzione

prima

come calcolo :

-V seno &

O

& af

af Ucoso O

8

O F

= all

2x I

O

O O è parametro

O

O

& un

57

Of &

la velocita

non

v di

00 avanzo

=

EX

X parametro

U

-O controllo

e

CONTROLLO DEI SISTEMI

Raggiungibilità e gramiano di controllabilità S Y AX Bu

+ yERP

MERR

= XER"

Abbiamo vis