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Fondamenti di Automatica
si basa su l'Analisi dei Sistemi Dinamici e la Sintesi di controller
si può da un modello matematico
- modello algebrico
es. circuito RCt
per descrivere un certo fenomeno però è necessario un oggetto astratto che non coincide con il modello matematico
- infatti fenomeni diversi possono avere lo stesso modello
- es. V(t): R.i(t)
- es. F(t) = m.a(t)
- oppure uno stesso fenomeno può essere descritto da più modelli
- es. u(t): R.i(t) ↔ i(t) = y(t)/R
- es. p(t) = ep(t) ↔(t-t0) = ∫ p(t)dt
Classi di Equivalenza dei Modelli
questo è l'equivalente astratto di un fenomeno e che si formalizza come un
in particolare il sistema studiato sarà:
- a Orientato
- Ingressi (cause)
- Uscite (effetti)
- Causali: L'effetto dipende da una causa passata o più presente (mai futura)
- Istantaneo (Senza Memoria): L'effetto dipende dalla causa all'istante t
- Dinamico (con memoria)
L'effetto dipende dalla storia della causa fino a to
- "induttore"
dove lo stato è quella variabile di cui bisogna conoscere il valore iniziale
Esempi di Sistemi Dinamici:
- Circuito RC
come evolve vR?
parto dal modello matematico
i(t) = C vC(t) => poniamo vg = u, vC = x, vR = y vR(t) = R i(t)
e rappresentiamo la dinamica attraverso u, x, y:
se x = vC => C x'(t) = i(t) = bR(t) = 1/R y(t) => x'(t) = 1/RC y(t)
inoltre dall'equazione di equilibrio alle tensioni:
vR(t) = vg(t) - vC(t) => y(t) = u(t) - x(t)
quindi si arriva a:
- y(t) = u(t) - x(t)
- x'(t) = (1/RC)(u(t) - x(t))
es. #2
con:
x1 = s
x2 = ṡ
u = FM
M¨s = u - bṡ - ks
ẋ1 = x2
ẋ2 = (1/M)(u - bx2 - kx1)
y = x1
corrisponde a:
(ẋ1⁄ẋ2) = (0 1⁄-k/M -b/M) (x1⁄x2) +(0⁄1/M) u
y = (1 0) x1 + 0 ⋅ u
Linearità
la proprietà di linearità equivale a dire che
f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)
se ho 2 sistemi
(x(0) = 0⁄u(t) = u1(t))→ y(t) = y1(t)
(x(0) = 0⁄u(t) = u2(t))→ y(t) = y2(t)
⇒ si ha u(t) = αu1 + βu2 (perché x(0) = 0)
⇒ y(t) = αy1(t) + βy2(t)
oppure
(x(0) = xo1⁄u(t) = 0)→y(t) = y1(t)
(x(0) = xo2⁄u(t) = 0)→ y(t) = y2(t)
⇒ x(0) = αxo1 + βxo2 (u(t) = 0)
⇒ y(t) = αy1(t) + βy2(t)
Invarianza nel Tempo
un sistema è tempo invariante se u(t + T) ⇔ u(t)
che è simile ad A è fatta così:
AT = P J2 P-1
∅ ∅
dim (Ji) = n
- matrici quadrati
Blocchi di Jordan
n* di autovalori distinti della matrice A ∈ Rn*n
come è fatto il desimo blocco?
Ji,1
una matrice
vuoto
∅ ∅
∅
dim Jl,k = ma (Ji)
sale anche nel caso mg() = ma()
blocco di Jordan Jl,k è una matrice così:
| λ1 1 0
| λ1 1
| 0 ...
| | λj λp ...
MATRICE ESPONENZIALE:
eAt è ≈
| eJt |
bisogna calcolare l'esponenziale di Jtk
p.c. mg(Ji) = 1
ma (Ji) = 3
dim (Ji) = 3
allora Ji:
c'è solo 1 blocco
m di
| 0 1 0
eJti + eJtj,t eJtp
matrici nilpotenti
| 0 0 1
| 0 0 e
J1 J2
allora eJit eJit coi
Jit e
eAT...
prodotti successivi fiamo ...
eJtt
Espansione di eJTt
caso 1: Riga nulla → il sistema sicuramente non è AS
sucede solo per righe dispari
b si considera
su prima colonna (altrimenti fino alle zero)
danno informazioni sugli zeri d1(λ) d2(λ)
d2(λ) ha solo potenze pari con coefficienti pari ai valori sopra la "riga" nulla
d2(λ) ≡ λ2i + α2i - 2λ2i - 2 + ... + α0
si sostituisce la riga nulla con una riga contenente i coefficienti ottenuti derivando
d(1(λ)) d2(λ)
≡ 0 0 0 0 → α2i, 2i α2i - 2, (2i - 2) … … 0
Risposta forzata
per un sistema LSTC
x(t) ≡ eAtx0 + ∫0t eA(t - τ) Bu(τ)dτ
evoluzione forzata nello stato/nell'uscita
y(t) ≡ CeAtx0 + ∫0t (CeA(t - τ)B + Dδ(t - τ))u(τ)dτ
e si definisce
{ H(t) ≡ eAtB → Risposta impulso nello stato
{ W(t) ≡ CeAtB + Dδ(t) → Risposta impulso nell'uscita
perché se un ingresso ho un impulso: U(τ) ≡ dt
allora
∫0t H(t - τ)dt ≡ H(t) → risposta a un impulso
∫0t W(t - τ) δ(τ) dt ≡ W(t)
quindi se ci sono di coincidenti con m≥1 bisogna ecceccellare W(t)caso m non compare nulla perché le evoluzioni su C1 e C2 sono uguali e laloro differenza zeronel caso di autovalori multipli in W(t) compaiono al più m modi:
∫tk-1 e eλt dt e λte λt1 e λt2 ... e λtk dimensione del blocco di Jordanpiù grande
Analisi in Frequenza - Trasformata di Laplace nei Controlli Automatici
data una funzione del tempoft L{ft} ↔ F(s) = ∫ e-st f(t) dtt t F(s) = e ∞ 0tempo dominio di es s + α jωconvergente a un valore finito per certi valori di s tali che Re(s) > σ
Imσ →Re
ascissa diconvergenza → s = σ → f è L trasformabile
negli integrali concorre soloH(t) = 0 cioe si perde ilcomportamento di f(t) prima dit = 0ovvero si consider f(t) δ- 0- tcon δ-dt
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