Appunti di Fisica sui moti

INTRODUZIONE FISICA

In questa parte della fisica chiamata cinematica bisogna esaminare il moto, limitandolo sempre a tre

condizioni fondamentali:

 il moto sia esclusivamente rettilineo, ossia segue una linea retta;

 le forze devono essere le cause del moto;

 l'oggetto in movimento può essere una particella oppure un oggetto che si muove come una

particella (tutte le sue parti si devono muovere solidamente nella stessa direzione e nella

stessa velocità contemporaneamente).

Per localizzare un oggetto spesso si prende in considerazione l'origine (o il punto zero) di un asse

come quello delle x. Il verso positivo dell'asse è nella direzione dei numeri crescenti. La direzione

opposta, invece, è il verso negativo. Il cambiamento di posizione da un punto x1 a x2 è detto

spostamento: Δx=x2-x1. Lo spostamento quindi come si può vedere, dipende solo dalla posizione

iniziale e quella finale. Esso, inoltre, è un esempio di grandezza vettoriale, cioè una grandezza che è

caratterizzata da una direzione, da un verso e da un modulo.

Un altro modo per descrivere la posizione di un oggetto consiste nel tracciare un grafico della sua

posizione x in base al tempo t: ossia, la curva x(t). In questo caso possiamo calcolarci quella che è

la velocità vettoriale media che è il rapporto fra lo spostamento Δx che si verifica in un intervallo di

tempo Δt, e l'intervallo stesso:

v=Δx/Δt=x2-x1/t2-t1

Nella curva x(t), la velocità vettoriale media, indica la pendenza della retta che unisce i punti x1(t1)

e x2(t2), ed è inoltre anch'essa una grandezza vettoriale definita da un modulo e da una direzione.

La velocità scalare media, invece, considera la lunghezza totale effettivamente percorsa (m),

indipendentemente dalla direzione:

u=lunghezza totale del percorso/Δt

Questa velocità però non include il verso e quindi manca di segno algebrico. Se invece vogliamo

conoscere la velocità di una particella in un istante dato, dobbiamo avvalerci della velocità

vettoriale istantanea, che si ottiene dalla velocità vettoriale media restringendo l'intervallo di tempo

Δt, in modo che si avvicini sempre di più allo 0:

v=limΔt->0 Δx/Δt=dx/dt

Quando la velocità di una particella varia si dice che la particella è sottoposta ad un'accelerazione.

Per il moto lungo un asse, l'accelerazione media a, durante un intervallo di tempo Δt, è:

a=v2-v1/t2-t1=Δv/Δt

L'accelerazione istantanea è, invece, la derivata della velocità rispetto al tempo:

a=dv/dt

Queste due equazioni possono essere combinate per definire che l'accelerazione di una particella in

un certo istante è la derivata seconda della sua posizione x(t) rispetto al tempo:

a = dv/dt = d/dt(dx/dt) = d2x/d2t (m/s2)

Anche l'accelerazione è una grandezza vettoriale. Dobbiamo dire però, che l'equazioni descritte sin

ora riguardano e sono applicabili solo quando l'accelerazione non è costante. Nel caso lo fosse

dobbiamo apportare alcune modificazioni. La distinzione fra accelerazione media e istantanea non

perde di significato e possiamo scrivere: a=a=v-v0/t-0. Dove v0 è la velocità al tempo t=0 e v è la

velocità nell'istante generico successivo t. Possiamo trasformare quest'ultima equazione in:

v=v0+at

In modo analogo possiamo trasformare anche la velocità vettoriale media che diventerà: v=x-x0/t-0

e quindi x=x0+vt. Quindi la velocità media sarà v=1/2(v0+v) sostituendo si ottiene: v=v0+1/2at.

Infine sostituendo a v la precedente equazione avremo:

x-x0=v0t+1/2at2

Le due equazioni principali (messe al centro) si possono ulteriormente combinare tra di loro in tre

modi diversi, ricavando tre equazioni aggiuntive, ciascuna delle quali implica una diversa “variabile

mancante”. Così per eliminare t:

v2=v02+2a(x-x0)

Questa equazione è utile se non conosciamo t e non ci viene chiesto di calcolarlo. Nel caso di a

avremo:

x-x0=1/2(v0+v)t

Nel caso di v0:

x-x0 = vt-1/2at2

EQUAZIONE GRANDEZZA MANCANTE

v = v0+at x-x0

x-x0 = v0t+1/2at2 v

v2 = v02+2a(x-x0) t

x-x0 = 1/2(v0+v)t a

x-x0 = v0t+1/2at2 v0

Le prime due equazioni di questa tabella sono l'equazioni fondamentali da cui sono derivate tutte le

altre. Queste due equazioni si possono ottenere integrando l'espressione dell'accelerazione per

a=costante. Come sappiamo la definizione di a (vedi accelerazione istantanea) è: dv=adt → se

operiamo l'integrale indefinito di entrambi i termini otterremo → ∫dv=∫adt → dato che

l'accelerazione è costante, si può portare fuori dall'integrale, ottenendo → ∫dv=a∫dt, ossia:

v = at+c

Per valutare la costante c poniamo t=0 e quindi v=v0. Sostituendo questi valori nell'equazione

x=v0t+1/2at2+c risulta v0=(a)(0)+c=c. Con questa sostituzione l'equazione x=v0t+1/2at2 prende la

stessa forma dell'equazione v=v0+at. Per ottenere l'altra equazione fondamentale x-v0=v0t+1/2at2

riscriviamo la definizione di velocità: dx=vdt → e calcolando l'integrale indefinito di entrambi i

membri, si ottiene ∫dx=∫vdt. Normalmente la velocità non è costante, per cui non possiamo portarla

fuori dall'integrale. Ma possiamo sostituire v con l'espressione v=v0+at → ∫dx=∫(v0+at)dt. Dato che

v0 è una costante, come l'accelerazione, possiamo scrivere: ∫dx=v0∫dt+a∫tdt → a questo punto

l'integrazione ci darà l'equazione da noi cercata:

x=v0t+1/2at2+c' dove c' è la costante di integrazione

Se lanciando un oggetto verso l'alto o verso il basso, si potesse riuscire ad eliminare l'effetto

dell'aria sul suo moto, si troverebbe che la sua accelerazione verso il basso ha un particolare valore

ben definito, il cui modulo viene indicato con il simbolo g, ed è chiamato accelerazione di gravità o

di caduta libera. L'accelerazione g è indipendente dalle caratteristiche dell'oggetto, quali la massa, la

densità, la forma ect. Il valore di g varia leggermente con la latitudine e anche con la quota. A

livello di latitudini medie il valore è di 9,8 m/s2. L'equazioni del moto uniformemente accelerato si

applicano alla caduta libera vicino alla superficie della Terra. L'accelerazione di gravità in

prossimità della superficie terrestre vale a=-g=-9,8 m/s2, e il modulo dell'accelerazione è g=9,8

m/s2. Non bisogna attribuire a g il valore -9,8 m/s2.

Il moto in due e tre dimensioni

POSIZIONE E SPOSTAMENTO

Un modo usuale di localizzare un oggetto assimilabile ad una particella è per mezzo del vettore

posizione r, un vettore che si estende da un punto di riferimento (di solito l'origine del sistema di

coordinate) al punto in cui si trova l'oggetto. Secondo la notazione dei vettori unitari, possiamo

scrivere:

r=xi+yj+zk

in cui xi, yj e zk sono i vettori componenti di r, e i coefficienti x,y e z sono le sue componenti

scalari. Inoltre, quest'ultimo forniscono la posizione dell'oggetto rispetto all'origine lungo i tre assi.

Per esempio: r=(-3m)i+(2m)j+(5m)k. Quando un corpo si muove il suo vettore posizione cambia in

modo da puntare sempre dall'origine verso le diverse posizioni da questo occupate. Se è individuato

dal vettore posizione r1 al tempo t1 e r2 al tempo t2 il suo vettore spostamento Δr durante

l'intervallo del tempo vale: Δr=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k

VELOCITA' VETTORIALE MEDIA E ISTANTANEA

Se una particella subisce uno spostamento Δr in un intervallo di tempo Δt, la sua velocità vettoriale

media v è: velocità vettoriale media=vettore spostamento/intervallo di tempo ossia:

v=Δr/Δt

Scrivendo questa equazione in termini di componenti vettoriali avremo:

v=Δxi+Δyj+Δzk/Δt=Δxi/Δt+Δyj/Δt+Δzk/Δt

Quando parliamo di velocità solitamente intendiamo velocità istantanea v in un dato istante. Questa

v è il valore limite a cui tende v al tendere a zero dell'intervallo di tempo a quell'istante. Nel

linguaggio dell'analisi matematica possiamo scrivere v come una derivata: v=dr/dt. Usando i

versori: v=d/dt(xi+xy+zk)=dxì/dt+dyj/dt+dzk/dt, che si può semplificare scrivendo:

v=vxi+vyj+vzk

ACCELERAZIONE MEDIA E ACCELERAZIONE ISTANTANEA

Quando la velocità di una particella cambia da v1 a v2 in un intervallo Δt, la sua accelerazione

media a durante tale intervallo è: a=variazione di velocità/intervallo di tempo, ossia:

a=v2-v1/Δt=Δv/Δt

Se riduciamo a zero Δt, si tende all'accelerazione istantanea a nell'istante t: a=dv/dt. Utilizzano la

nozione dei versori: a=d/dt(vxi+vyj+vzk)=dxi/dt+dyj/dt+dzk/dt, che possiamo riscrivere come:

a=axi+ayj+azk

nella quale le tre componenti scalari del vettore accelerazione sono date da ax=dvx/dt, ay=dvy/dt e

az=dvz/dt.

Il moto dei proiettili

Consideriamo ora una particella che si muove in due dimensioni, in caduta libera, con velocità

iniziale v0 e accelerazione di gravità g costante diretta verso il basso. Alla particella in queste

condizioni viene dato il nome di proiettile.

Il proiettile è lanciato ad una velocità v0 che si può esprimere:

v0=v0xi+v0yj

Conoscendo l'angolo θ0 fra v0 e il verso positivo dell'asse delle x, si possono ricavare le

componenti v0x e v0y:

v0x=v0cosθ0 e v0y=v0senθ0

Durante il suo moto in due dimensioni il vettore posizione r e il vettore velocità v del proiettile

cambiano continuamente, ma il suo vettore accelerazione è costante e sempre diretto verso il basso.

Il proiettile, inoltre, possiede accelerazione orizzontale nulla. Quindi affermando che nel moto del

proiettile, il moto orizzontale e quello verticale sono indipendenti l'uno dall'altro, possiamo scindere

questo problema di moto a due dimensioni in due distinti e più semplici problemi unidimensionali,

uno di moto orizzontale (con accelerazione nulla) e l'altro di moto verticale (con accelerazione

costante diretta verso il basso).

ANALISI DEL MOTO DEI PROIETTILI

Dal momento che l'accelerazione in direzione orizzontale è nulla, la componente orizzontale vx

della velocità rimane invariata e pari a v0x durante tutto il moto. Lo spostamento orizzontale x-x0

dalla posizione iniziale x0 è determinato, come abbiamo già visto, in ogni istante t dall'equazione:

x-x0=v0t+1/2at2, nella quale poniamo a=0 → x-x0=v0xt e sostituendo v0x con v0cosθ0:

x-x0=(v0cosθ0)t

Il moto verticale invece è quello che abbiamo esaminato per una particella in caduta libera. Siccome

a vale -g e la variabile spaziale è y possiamo sostituire l'equazione x-x0=v0t+1/2at2 in:

y-y0=vgt-1/2gt2=(v0senθ0)t-1/2gt2

E di conseguenza le altre equazioni diventeranno:

v=v0+at → vy=v0senθ0-gt

v2=v02+2a(x-x0) → vy2=(v0senθ0)2-2g(y-y0)

Ora possiamo inoltre trovare l'equazione del percorso del proiettile (la traettoria) sostituendo

nell'equazione y-y0=vgt-1/2gt2=(v0senθ0)t-1/2gt2 alla variabile t la sua espressione ricavata

dall'equazione x-x0=(v0cosθ0)t ed avremo:

y=(tanθ0)x-[(gx2)/2(v0cosθ0)2)]

Questa ultima equazione risulta sotto forma di y=ax+bx2, con a e b costanti. Si tratta dell'equazione

di una parabola e quindi il percorso è parabolico. La gittata R del proiettile, invece, è la distanza

orizzontale coperta dal proiettile all'istante in cui ripassa alla quota di partenza (quota di lancio). Per

ricavarla poniamo x-x0=R nell'equazione x-x0=(v0cosθ0)t e y-y0=0 nell'equazione y-

y0=(v0senθ0)t-1/2gt2 e avremo: R=(v0cosθ0)t e 0=(v0senθ0)t-1/2gt2. Eliminando t fra queste due

equazioni otteniamo: R=(2v02/g)senθ0cosθ0. Applicando l'identità sen(2θ0)=2senθ0cosθ0 si

ottiene: R=(v02/g)sen(2θ0)

Si noti che la gittata orizzontale R è massima quando l'alzo (angolo di lancio) è di 45° (R

nell'equazione precedente ha valore massimo per sen(2θ0)=1, che corrisponde a 2θ0=90° ovvero

θ0=45°). N.B. In tutti questi casi abbiamo ammesso che l'aria nella quale il proiettile si muove non

abbia alcun effetto sul suo movimento, ipotesi ragionevole a basse velocità, ma per alte velocità

l'aria si oppone al moto.

Il moto circolare uniforme

Una particella si definisce in moto circolare uniforme se si muove su una circonferenza o su un arco

di questo a velocità di modulo costante (uniforme). Al procedere del moto entrambi i vettori (vettori

velocità e accelerazione) restano costanti in modulo, ma le loro direzioni variano continuamente.

La velocità è sempre diretta lungo la tangente al cerchio nello stesso verso del moto.

L'accelerazione, invece, è sempre diretta radialmente verso il centro. Per questo motivo

l'accelerazione associata al moto circolare uniforme è detta accelerazione centripeta (ossia “che

tende al centro).

Il modulo di questa accelerazione è dato da:

a=v2 (velocità scalare della particella)/r (raggio della circonferenza)

Inoltre durante questo moto a velocità scalare costante la particella percorre una circonferenza (di

lunghezza 2πr) nel tempo t data da:

T=2πr/v

PRIMA LEGGE DI NEWTON, LA FORZA E LA MASSA

Un'interazione che imprime un'accelerazione ad un corpo è detta forza, che corrisponde nel

linguaggio comune, ad un urto, una spinta, una trazione. Questa relazione concettuale tra la forza e

l'accelerazione provocata di deve a Isaac Newton (1642-1727) per questo si è dato il nome di

meccanica newtoniana.

Se facciamo scivolare un libro spingendolo su di un tappeto effettivamente ad un certo punto si

ferma. Se invece lo facciamo scivolare su una pista di pattinaggio esso andrà molto più lontano.

Siamo indotti quindi a concludere che non serve una forza per mantenere un corpo in moto a

velocità costante.

E questo ci porta alla prima legge di Newton: se su un corpo non agisce nessuna forza, la velocità

del corpo non può cambiare, ossia il corpo non può accelerare. In altre parole, se il corpo è in stato

di quiete, resterà in stato di quiete.

Se, invece, il corpo si sta muovendo, continuerà a muoversi alla stessa velocità (in modulo e

direzione).

Per definire l'unità di misura della forza poniamo un corpo campione su di un tavolo orizzontale

privo di attrito e tiriamo il corpo verso destra, in modo che, per successive approssimazioni,

otteniamo che esso subisce un’accelerazione di 1 m/s2. Diremo allora per definizione, che stiamo

esercitando sul corpo campione una forza, la cui intensità e di 1 newton (N). Quindi una forza si

può misurare dall'accelerazione che essa produce. A quest'ultima possiamo, a sua volta, assegnare

facilmente una direzione, un modulo e un verso, in modo tale che, quando su un corpo agiscono due

o più forze, possiamo comporle, per trovare la forza netta o forza risultante, semplicemente

operando l'addizione di tutte le singole forze. Questa proprietà è detta principio di sovrapposizione

delle forze. Inoltre, bisogna ricordare, che la prima legge di Newton non è verificata in tutti i sistemi

di riferimento ma solo in quei sistemi definiti inerziali. Per esempio, possiamo assumere che il

terreno sia un sistema inerziale purché sia lecito trascurare gli effetti del moto astronomico della

Terra (come la sua rotazione). Inoltre, anche la massa interagisce sull'accelerazione (es. diamo un

calcio a una pallina da tennis ed una da baseball, chi avrà la maggiore accelerazione?).

SECONDA LEGGE DI NEWTON

Le definizioni, gli esperimenti e le osservazioni che abbiamo descritto finora si possono sintetizzare

in una semplice equazione vettoriale. La seconda legge di Newton, ci dice, infatti, che la forza netta

agente su di un corpo è uguale al prodotto della sua massa per l'accelerazione assunta dal corpo. In

forma di equazione, quindi avremo:

Fnet=ma

Questa equazione è semplice ma va usata con cautela in quanto: la Fnet è la somma vettoriale

risultante di tutte le forze che agisce su quel corpo ed inoltre come tutte le equazioni vettoriali,

equivale a tre equazioni scalari, ottenute proiettandola su ciascuno dei tre assi di un sistema di

coordinate xyz:

Fnet,x=max ; Fnet,y=may ; Fnet,z=maz

ALCUNE FORZE PARTICOLARI

La forza gravitazionale Fg agente su un corpo è la forza che lo attrae verso un secondo corpo ( che è

di solito la Terra). Supponiamo che il corpo di massa m, sia in caduta libera con accelerazione di

gravità di modulo g. Trascurando quindi la presenza dell'aria, la sola forza che agisce sul corpo è

quella gravitazionale Fg. Possiamo quindi mettere in relazione questa forza diretta verso il basso

con l'accelerazione di gravità mediante la seconda legge di Newton (F=ma):

-Fg=(m)(-g) → Fg=mg

In altre parole, il modulo della forza gravitazionale è uguale al prodotto di mg. Questa stessa forza

agisce sul corpo anche quando non è in caduta libera ma su tutti gli oggetti terrestri. Il peso P, di un

corpo, invece, è il modulo della forza netta (Fnet) richiesta per evitare che il corpo cada e quindi

controbilanciare la forza di gravità agente su quel corpo. Supponiamo che il modulo di questa forza

gravitazionale sia 2 N, allora il modulo della forza che dobbiamo applicare per controbilanciare

darà 2 N, e quindi il peso della palla è 2 N: P=Fg → P=mg

Se ci sdraiamo su di un materasso, la Terra “ci tira giù” ma noi restiamo fermi. La ragione sta

nell'elasticità del materasso, che si deforma schiacciandoci verso il basso a causa della nostra

presenza e simultaneamente ci sostiene spingendoci verso l'alto nel tentativo di riguadagnare la sua

forma naturale. Questa spinta che il materasso esercita su di noi è detta forza normale e di solito si

indica con N. Il nome si riferisce all'accezione matematica della parola normale che significa

“perpendicolare”. Le forze Fg e N sono le sole due forze che agiscono su di noi e sono entrambi

dirette verticalmente. Scriviamo dunque la seconda legge di Newton (Fnet,y=may): N-Fg=may

siccome Fg=mg avremo N-mg=may. Di conseguenza il modulo della forza normale è:

N=mg+may=m(g+ay)

Se non si sta accelerando rispetto al terreno avremo: ay=0 quindi N=mg. Se facciamo scivolare, o

tentiamo di far scivolare, un corpo su di una superficie, contro questo moto fa resistenza un vincolo

che si stabilisce fra il corpo e la superficie. La resistenza è considerata come una singola forza f,

detta forza di attrito, o più semplicemente attrito. La forza agisce parallelamente alla superficie ma

in verso opposto alla direzione del moto desiderato.

TERZA LEGGE DI NEWTON

Si dice che due corpi interagiscono quando si respingono o si attraggono a vicenda, ossia quando

ciascuno di essi esercita una forza sull'altro. Supponete ad esempio di collocare un libro B in modo

che si appoggi inclinato ad una cassetta C. Ebbene il libro e la cassetta interagiscono: la cassetta

esercita una forza orizzontale FBC sul libro e il libro esercita una forza orizzontale FCB sulla

cassetta. La terza legge di Newton stabilisce che: quando due corpi interagiscono, le forze esercitate

da un corpo sull'altro sono uguali in modulo e direzioni ma opposte in verso.

Quindi:

FBC=-FCB (uguali di intensità e direzione, ma verso opposto)

Possiamo chiamare le forze tra i due corpi interagenti coppia di forze azione-reazione.

Forza e moto: attrito

Se un blocco è in stato di quiete sul piano di un tavolo, la sua forza di gravità Fg è bilanciata da una

forza normale N. Se si esercita sul blocco una forza F, tentando di tirarlo verso sinistra, in risposta si

ha una forza di attrito fs, diretta verso destra, di modulo esattamente pari alla forza applicata. La

forza fs è detta forza di attrito statica fs. Il blocco non si muove. Aumentando l'intensità della forza

applicata (F), aumenta anche l'intensità della forza di attrito statica e il blocco resta ancora fermo.

Ma quando la forza applicata supera un certo valore, il blocco “strappa” bruscamente il suo contatto

con il piano e accelera, spostandosi verso sinistra. La forza di attrito che si oppone al moto è detta

forza di attrito dinamica fk.

LE PROPRIETA' DELL'ATTRITO

Quindi quando un corpo è premuto contro una superficie, in assenza di umidità e lubrificazione, e

una forza F tende a far slittare il corpo lungo la superficie, la forza d'attrito risultante ha tre

proprietà:

Se il corpo non è in moto, la forza di attrito statica fs e la componente di F parallela alla superficie

hanno la stessa intensità, e fs, è diretta nella direzione della componente F ma in senso opposto;

L'