Appunti di Fisica II

Si definisce comunque il campo elettrico generato da quella di distribuzione delle cariche sorgenti, come il

rapporto F/q purché la carica di prova q sia abbastanza piccola da produrre una perturbazione

trascurabile nella configurazione delle cariche circostanti.

Teorema di Gauss

Si ha dato un campo vettoriale A è immersa nel campo una superficie S cui si assegna convenzionalmente

una faccia come positiva, quella rivolta verso l’esterno. consideriamo una porzione elementare dS , noto che

è uguale a ndS , con n il versore normale alla superficie. Allora sia che il flusso elementare è definito da:

Da cui si enuncia il teorema di gauss: il flusso del campo elettrostatico nel vuoto E attraverso una superficie

chiusa, qualunque S è pari alla somma algebrica delle cariche contenute all’interno di esse, divisa per

Prima legge di Maxwell

Per ricavarla, dobbiamo enunciare il teorema del divergenza.consideriamo un campo vettoriale e definito

all’interno di un dominio spaziale di variabili X,Y e Z. Il flusso del campo vettoriale uscente dal volume

definito da dXdYdZ è dato da:

Potenziale elettrico

Integrando da una posizione A di riferimento ad una posizione P generica di

coordinate X, Y, Z:

In cui si definisce potenziale elettrostatico generato dalla carica Q che corrisponde all’energia

potenziale di dimensione

Potenziale elettrico in coordinate polari

Dipolo elettrico

Il dipolo elettrico è un sistema formato da due cariche q uguali e opposte poste a distanza caratterizzato

da un momento dipolare

Dipolo in un campo elettrico esterno

Sopendo che l'energia potenziale U è esprimibile in termini di potenziale

Che rappresenta l'energia potenziale di un dipolo di momento P immerso nel campo

Con cui possibile definire

Rotore

In virtù della conservazione, il campo elettrostatico ammette un potenziale cui è legato dalla relazione:

Questa è la condizione necessaria e sufficiente perché il campo sia conservativo, diremo che la caratteristica

dei campi conservativi è di avere circuito nulla su qualunque linea chiusa L.

Teorema di stokes

Consideriamo una linea chiusa L orientata è una superficie aperta S che abbia la linea L come contorno; il

sensore della normale n ad S sia orientato in modo da vedere come antiorario e il verso positivo di L. Sia V

un qualunque campo vettoriale che abbia componenti continue insieme alle loro derivate parziali prime su tutti

i punti di esse e di L ,allora si dimostra che:

Conduttori

Un conduttore è un oggetto indeformabile, all’interno del quale vi sono elettroni liberi di muoversi.poiché le

cariche interne a un conduttore se sottoposte a un campo elettrico, si muovono, implica che in elettrostatica

il campo elettrico internamente ai conduttori è nullo. Se un conduttore S viene immerso in un campo

elettrico in prima fase, l’elettroni interni del conduttore cominciano a muoversi alla ricerca di una

configurazione di equilibrio: quando la loro disposizione tale da annullare il campo elettrico presente

internamente al conduttore, la configurazione di equilibrio è raggiunta.

Capacità

Il rapporto tra la carica fornita da un conduttore e il potenziale che assume è definito come carica:

Quando due conduttori sono posti in una configurazione tale che l’induzione che ha uno sull’altro è

completa facendo passare le linee di flusso da uno all'altro, questo tipo di sistemi è detto condensatore

elettrostatico o capacitore.

I due conduttori che formano il condensatore vengono detti armature del condensatore, quando tra queste

viene stabilita una differenza di potenziale e su di esse si distribuiscono cariche uguali in modulo e di segno

opposto.

Se l’induzione è completa, la superficie della seconda armatura che affaccia verso la prima armatura viene

a essere dotata di carica -Q e la superficie più lontana ha carica Q.

Se l’armatura viene messa a terra (collegata ad un conduttore di capacità infinita) la carica +Q si disperde

a distanza inifinita e l’armatura esterna viene dotata di carica Q2=-Q.

Energia elettrostatica

Un sistema di cariche possiede una certa energia elettrostatica:tale energia è misurata,operativamente, dal

lavoro, di forze esterne necessario per portare le cariche nella configurazione è considerata a partire dalla

configurazione in cui le cariche stesse si trovano a distanza reciproca infinita (configurazione energia nulla).

Creando un sistema di riferimento in cui è posto a una carica, per spostarla da distanza infinita fino al punto

non si compie alcun lavoro perché nel sistema non vi è alcun altra carica. Inserendo una seconda carica si

compie lavoro poiché influenzato dalla prima.

Pressione elettrostatica

Considero un conduttore carico, le interazioni di repulsione fra cariche generano una forza che quando

giunge alla superficie del conduttore, si traduce in una pressione elettrostatica.

Esistono due metodi per determinarla:

Considerando lo stesso conduttore, la forza genera una deformazione del volume superficiale del conduttore di

uno spessore infinitesimo e il lavoro effettuato è dato da:

Costante dielettrica

Dielettrici a livello microscopico

a livello microscopico il dielettrico è composto da elettroni che sono legati ai nuclei dei rispettivi atomi(a

differenza dei conduttori, che sono liberi). Quando attraversato da un campo, il materiale produce

anch’esso un campo interno; modificando il campo esterno, se possiede un momento dipolare diverso da

zero. Il fenomeno per cui il dielettrico acquista un momento dipolare è detto Polarizzazione elettrica, la

quale può essere di due tipi: Se l’atomo è posto all’interno di un campo E (campo locale), si

deforma sotto la forza F=ZeE, acquistando un momento dipolare, e

il baricentro del nucleo si sposta di r(parallelo a E)

Quando, invece, agisce un campo su molecole polari, esse tendono ad orientarsi lungo le linee del campo.

A livello macroscopico

Teorema di Gauss nei dielettrici

Corrente elettrica

Considero un condensatore piano carico,tra i punti A e B vi è, quindi, una differenza di potenziale

Una volta collegato l’interruttore T si notano alcuni fattori: la differenza di potenziale tende a zero, tendono a

zero le cariche delle armature (quelle positive si spostano verso quelle negative), il filo conduttore si scalda.

Considerando una sezione del filo S, per ogni istante di tempo fluisce una certa quantità di carica, definita

come corrente elettrica I.

Dal punto di vista microscopico

Dal punto di vista microscopico, l’azione del campo elettrico attivo internamente al conduttore per

conseguenza della d.d.p, è quella di sovrapporre all’agitazione termica degli elettroni o moto di deriva

nella direzione del campo elettrico, tale moto avviene con velocità media V che è molto minore della

D

velocità disordinata V propria dell’agitazione termica (V è la velocità media delle particelle per

T T

Boltzmann, V è la velocità limite massima delle particelle). il trasferimento di cariche da un elettrone a

D

un altro avviene attraverso gli urti.

In un sistema isolato la carica totale si conserva( principio di conservazione della carica)

Se la carica contenuta all’interno di un certo volume cambia nel tempo, in virtù della conservazione

della carica tale variazione non può che essere dovuta alla carica che fluisce attraverso la superficie S che

racchiude

In condizioni, la somma algebrica delle correnti uscenti da un nudo e nulla.

Su ogni maglia di un circuito, in condizioni

stazionari, e nulla la somma algebrica delle

differenze di potenziale tra gli estremi dei diversi

lati che costituiscono una maglia stessa.

All’interno di una batteria carica vi è una certa quantità Q di cariche, che creano

un campo elettrostatico al suo interno, dal polo positivo al polo negativo. Quando la

batteria è collegata , dal polo positivo al polo negativo, si crea un passaggio di

corrente, all’interno della batteria vi è un campo che trasferisce cariche dal polo

negativo al polo positivo, per fare ciò vi è l’esistenza di una forza definita forza

elettromotrice, la quale rappresenta il lavoro fatto dal campo elettromotore per

spostare la carica positiva unitaria dal morsetto negativo a quello positivo.

Ovviamente il campo elettro motore non è conservativo, poiché varia a seconda del

percorso (se esterno o interno alla batteria)

In termini pratici, però, al passaggio di corrente dal polo negativo a quello

positivo, si oppone una resistenza r, che fa diminuire la differenza di

potenziale, considerando comunque la forza elettromotrice che spinge le

cariche.

A.si individua un certo numero di percorsi chiusi (maglie) realizzati con rami della rete, con le seguenti

condizioni:

-che ogni ramo risulti presente in almeno una delle maglie scelte;

-che le maglie scelte siano tali che le rispettive equazioni siano indipendenti. Un modo per scegliere

maglie indipendenti consiste nell'assicurarsi che ciascuna maglia abbia almeno un ramo che non faccia

parte delle maglie scelte precedentemente. Si dimostra, nella teoria dei circuiti, che il numero di maglie

indipendenti di una rete è legato ai numero di rami e di nodi dalla relazione:

Maglie indipendenti = Rami-Nodi+1

B. si assegnano un verso positivo convenzionale a ogni maglia e una corrente (fittizia) di maglia;

C.si applicano le leggi di Kirchhoff delle maglie e dei nodi;

D.si ricavano le correnti (una per maglia) e quindi (equazione dei nodi) le correnti per ciascun ramo. Se

la corrente di maglia risulta negativa, significa che il suo verso effettivo è opposto a quello

arbitrariamente scelto come positivo.

Come conseguenza della linearità delle leggi di Kirchhoff , e considerato che una rete

comunque complessa può essere risolta applicando tali leggi alle sue maglie indipendenti, si

ha che le correnti sono funzioni lineari delle f.e.m.

Questa proprietà può essere espressa nella forma di teorema di sovrapposizione: la corrente

che passa in un ramo di una rete può essere espresse come somma delle correnti che

circolerebbero se ogni f.e.m. operasse singolarmente. Il concetto di circuito equivalente può

essere generalizzato al caso di una qualunque rete lineare comprendente generatori di f.e.m.

e resistori. con un circuito semplice rappresentato da un unico generatore di forza

elettromotrice f , opportuna e di opportuna resistenza interna r . Al riguardo di tale

E E

equivalenza, ci limitiamo qui a enunciare il fondamentale teorema di Thevenin che, oltre a

stabilire l'equivalenza, consente di calcolare la forza elettromotrice fe e la resistenza interna r

del generatore equivalente. Data una rete comunque complessa di resistenze e generatori e

due punti A