Appunti di Fisica dell’edificio

I

asis-tx

H2 -dati

C12)

O I

-

=

42 I

x +

=

I 4x

+ parabole

T(x) G

= , +

- +

TX

Y(X) 64 rette

- = - al

condizioni

impongo contorno :

4)

hs[Ts 6

+ q

I =

- + -

- -

-

-

Se I membro

se membro

sommo a ,

termini

i vanno

c se ne

en

Ti se

=

Ts Ta

1 2

+

=> + +

-

a( )

ba Ts)

(d

(a Es)

=

+

+ + -

-

4x[ 2 Ts)

(d

(a s)

=

2 +

+ + -

-

termuni delle mutarie

che resistenze

alcuni

Osservo esprimono :

>

- Red 5 Revs 1 Rcd

Rad

= RT Rcv Rov d

S

= = + + +

= , ,

ha unità

[2]

oltre TLEPg de

definisco Potenza Generata sup

per

> .

- s) Ts)

(Ta

(Rad Ra

GdR

=> +

= -

- , (Tds)

= Rovd-Rovis

g Potrei

In

Sostituendo Trovare

due

Una delle

i C

+

. RT

(Td-Ts) e

-Rg(Rcvd IT

Pg(Rcv

s)

TX Rov s)

Rav

* d

Y( X

- ,

,

= - , +

=

- - - RT

Ho sempre un termine che dipende dalla generazione, lineare in X, e uno che non dipende da x che ha una differenza di

temperatura dove le due temperature sono le temperature dei due fluidi

Ho sempre la sovrapposizione degli effetti. )

(Ts

g(R(v T

s)

Rov

d

Y( -

x , - , +

= - RT Td)

(Ts

g(R(v s)

Rov

42) Ys d

P9

y(x = -

,

- - , +

= = - - RT

RT Se pg 0

,

>

(Ts Td)

2 Revis Rcvid-Rovs

Red Rcvid (generazione)

+

+

+ - >

+ -

- - termine

RT le

RT è negativo

Rcd/2 Red

Td) ITs-d)

(Ts 2RcvidtRd +

& Pg

- =

= - -

RT RT

I I

· C

Rcd RCUS

Ro de

FATTORE

S

, RIPARTIZIONE

Mo

-MK

o

· sinistra

a

Rcolz Red/2 Ns

·

Me-Me

- . . .

-2gTe(Rad-Rarst

Lista

(k)

e(x Yd

=

= - (Rad/2 Rust

-Tal

RCU +

p

, + g

R

RT FATTORE de

RIPARTIZIONE

destra

a

Sono dei pesi e ci dicono quali parti della potenza generata sono uscenti

Nd 1 No

Ns + = (o entranti) dal bordo destro e dal bordo sinistro

es= rid

es La potenza generata che si ripartisce verso

Rad

Rad/

Radk

Rovis destra sarà tanto maggiore quanto più sarà alta

M

Mano-Moo M

- ·

- la resistenza verso sinistra

-

d

R

RT 7

S ,

,

Dimostrazione dell’equivalenza dal solo punto di vista di e , tra il problema di Fourier di partenza, e la rete termica,

Yd

Ys

sfruttando il principio di sovrapposizione delle reti: Pg

Ts To 4 B

MetaMoto +

=

· Rad

Rad/

Rovis Radk F

&

Ts To rete X

MetaMoto

· Rad

Rad/

Rovis Radk Pg

T 0 reteß

TO

= MeteoMoto

· Rad

Rad/z

Ro Radk

s

,

TEN è elevato ad

X

non

>

-

Tg(d)

Ts risolte

le rete

Ta che

essere

possono imponendo

MetaMoto

· entranti

flussi sia

la de

Somma o

=

<

4jc IN

Ya(x) stazionario)

I regime :

entranti

positivi se

NOT : 49

4s -Incognita

0

+ = Ts Ta

+

Tg((tista)

-Tglx Tgld)

=

-Tg(x) Ta Ri

Ris d

Ta

Ts 0 ,

+

+

+ =

=

+ Rad

RT 1 =

s

R7 d

S

, +

, Ris

Ts RT

Ris

Rid To

↑ d

+

=T

s . ,

-

4d Ris RTd

smas

RBs

# - I

= -

misto RT

Rid

RTs

-

.

Ts-Ris

Ts-RTd

Ris. TA

- Ris To

Ts - -

I .

= =

=

- RTsRT

RTS Ris RT

- - . Td)

(Ts

4(d

RaTs-Ts-Ris

Ts To

Ris -

+ =

=> RT 494

= di

Stess) passaggi

Ris RT Td-Tg(d) (Td Ts)

'

4g - -

=... I

_ RT RT

d

RETEB ,

P9

y((B) ys

>

T 0 T 0

= MetaMoto =

· Tg(B) e

& o

4(B) Yd) Pg 0

+ =

+

-Tgle) [g(B) a)

Tg(B) Tg(d) P.

Pg 0 P9

+ = + =

+

- + = -

d

* Pg/

41 Rid )

Rus

Rid Pg

s No n

=>

pg =

=

= - - -

Ris

4q(3) Rid

- ) R

P9 Nd

*

· Pg

=

= =

-

- -

RT

RETE L B

+

[ &

4s 4) (3) Ts-Ta Nspg

Ys confronto con

+

= = -

RT (2)e4(X 4/2)

4(X =

= -

Yd' Ya(3) TATs -NdB

Yd + =

=

A parte la differenza di segno legata alle convenzioni, i flussi sono gli stessi.

Osservazione:

questa equivalenza è limitata, perché in realtà il profilo di T nella parete è parabolico e se adotto questo approccio è lineare,

mentre il profilo di flusso nella parete è lineare e se adotti questo approccio è a due fattori.

METODO A PARAMETRI CONCENTRATI II SPECIE

CC In

4[T0 T10)] 6

x

I 0

I = =

- - 0

=

si può

() incrementale

rapporto

con

T approssimara un

T(X) .

h *

m # TK) Te

-

= L

T(0) B

Tas FLUIDO

del SALTO dEl

CAVALLO SOLDO

TERMICO

A

SALTO CAVALLO

TERMICO A

--

I I T()

[T(0 [T(0)

[To T(0 * T()]

h - +

=

-

7 > =

-

-

po "L X [T( TK) = M gestamente

-

I

I (0)]

[To T e

- ↑ Bi de BIOz

NUMERO

=

POSSIBIL

VALORI BIOT

per : grandezza

Almeno I

de

de un'ordine I

~

• Se Bi >> 1, il salto termico convettivo è molto minore di quello conduttivo;

Si può fare un’approssimazione del problema: si può far degenerare la cc T(L) -

-

convettiva in una di prima specie dicendo che la temperatura in x=0 è la

temperatura del fluido T()

• se Bi <<1, il salto termico convettivo è molto maggiore di quello conduttivo; - -

↓ ATCOND

T(0)

si può assumere che là temperature all’interno nel solido sia uniforme, quindi -

*

trascuriamo le variazioni termiche all’interno del solido; questo modo di ATCOND

procedere ci porterà ad adottare un metodo di risoluzione del problema detto -CONV

metodo a parametri concentrati T(0) ↑

-

↓

• se Bi = 1, i due salti termici sono confrontabili come ordine di grandezza, ATCONV >

I

quindi non posso trascurare ne l’uno né l’altro; dovrò quindi trattare il x

I

problema di Fourier con una condizione al contorno di tipo convettivo. (

X 0

=

Se invece che avere una geometria monodimensionale, avessimo un solido, il numero di BIOT potrebbe essere definito

attraverso una dimensione caratteristica del solido, che rappresenta il rapporto tra il volume del corpo e la sua superficie di

scambio -

G =

h L L

Bi

E .

= H

↑ Blot

t)

T(X) generale de

formulazione

, E

& ita Bi +1 depende

sia temperatura ,

omogenea non

2 da solo

T(t) dal

X ma

y tempo

ez

T ,

=

( Tas

T(0) #

To

sia = DINAMICO

PROBLEMA

→ con che legge varia la temperatura nel tempo?

Per rispondere non posso usare Fourier perché se la T non è funzione di x, y, z, l’equazione di Fourier degenera;

Utilizziamo allora un bilancio energetico ma a livello macroscopico:

C'È GENERAZIONE

NON

N 4

E = It I

+ tutto

un'unica ,

ho

N e

+in

Corpo

7

hA[To

pi q

& -

=

= CAPACITÀ TERMICA

Ve ~

-ï

cdT

U

E IN M

F dt

dt transizione

no

de fase

quiete

in LA[To-T] (Tet

McA separabil

variabili

differenziale

equazione a

=> = dt(2) 1

[t)

-T]dt -

hATTo --

mcdT dT

hAdt

mcd = - =

+ =

= -

Tc]

[Tc T] [T -

- "E

E TEMPERISTICO

A M

-al =

= -

T(0) To

= membro

integro membro

a

f 42 e te

1 5

e(a) +

- T(t To

T Ta

- =

=

+

= +

= - To-Tas tende 0

a

To T Dopo quanto tempo dall’inizio la temperatura del corpo è

A sostanzialmente T

Tos Quando il salto termico tra il corpo e il fluido è diventata

ASINTO TO

----

. . .

- ~

- - - - - - -

Ri una frazione molto piccola del salto termico iniziale, si può

considerare conclusa la transizione

AT(t 0

= em T(t) Tos

To =

tas

+ +

.

- . . . - - 1

-

AT(t)

2

t 368

0

e

= =

=

> ,

+ 0)

-T(t

E = PUO' ASSUMERE

SI

( TEMPO

COME IL

SOSTANZIALMENTE

3 REGIME

ANDARE

PER A

-

57sT(t)

t 0

e 007 dell'1

(è )

= %

=

> = , meno

- 0)

-T(t =

I e c

k

mc V =

= =

Il tempo caratteristico dipende quindi da diversi fattori:

• dalla proprietà del solido (quanto più è alta la capacità del corpo, tanto più è alto il tempo caratteristico e quindi lenta la

risposta del corpo (alta inerzia termica, ovvero non attitudine del corpo a non variare la sua temperatura)

• dalla geometria (quanto più Lc è alto, tanto più il tempo caratteristico del corpo è grande; a parità di volume, corpi con

forme particolarmente compatta avranno un Lc grande e quindi sono forme con inerzia termica più grande, e quindi

rispondono più lentamente)

• Dal coefficiente convettivo, che è una caratteristica del problema di convezione che si instaura tra il corpo e il fluido;

(all’aumentare del coefficiente convettivo, il tempo caratteristico diminuisce)

T 71

Se io avessi un altro corpo tale per cui ne risultasse un > , allora l’andamento sarebbe sempre di tipo esponenziale, ma

2

se il tempo di risposta fosse più lento vorrebbe dire che l’andamento sarebbe più lento

inoltre : Bi

t/2 *

-

sT(t) htt

-hA E . A

Bi

C = =

= = .

-

17(0) ↑ DIFFUSIVITà

& TERMICA

di

Ma Velocità

=

# e

lar

dimensioni areo

una

- = "tempo

"[t][1]

[2] [t)

[Fo]

& adimensionali